利用“對稱性”巧解碰撞問題

李維富

（云南省昭通市第一中學）

碰撞問題是動量守恒定律應用中的經典問題.在求解碰撞后的速度時，如果是完全非彈性碰撞，計算會很簡單，但如果是彈性碰撞，涉及二元二次方程組的求解，計算難度比較大.通過分析，可以看出彈性碰撞中蘊含“等差數列”的思想，彈性碰撞是關于共速時刻“對稱”的，利用這種“對稱性”可以很容易地對碰撞后的速度進行求解，對這種“對稱性”進行拓展運用，還可以快速分析其他一些碰撞類問題.

1 問題的引出

例1如圖1所示，在光滑水平地面上，質量分別為m1＝3kg、m2＝1kg的A、B兩小球分別以速度v1＝10m·s－1、v2＝2m·s－1開始同向運動，發生彈性碰撞，求碰后的速度v′1和v′2.

圖1

分析在彈性碰撞過程中，遵循動量守恒定律和機械能守恒定律，所以有

聯立上面兩式求得

將數據代入式③④可得

解決上述例題需要學生求解二元二次方程組，比較困難，所以經常要求學生記住③④兩式.然而在教學過程中發現，很多學生記不住，即使記住了也很可能混淆.能不能找到一種既不需要記公式又能快速求解的方法呢?答案是“能”.

2 對于彈性碰撞問題的巧妙解答

在圖1的碰撞情境中，根據碰撞條件可知，兩小球碰撞之前有v1＞v2，碰撞之后有v′1＜v′2，由此可推知在碰撞過程中一定有個時刻兩小球速度相等，設為v共.根據碰撞全程動量守恒，可得

根據數學關系可看出上述的v1、v共、v′1構成等差數列，公差為還可以看出v2、v共、v′2也構成等差數列，公差為.利用這一思想，可以快速計算前面例1中的問題.

由式⑤可以算得v共＝8 m·s－1，再由v1、v共、v′1構成等差數列，可得v′1＝6m·s－1.同理可得

式⑤相比式③、④要好記得多，也可以不用記憶，直接根據動量守恒定律快速求解出v共，然后再利用等差數列的思想快速求解碰后速度v′1和v′2.

3 關于“等差數列”的思考

對于“等差數列”的思想，還可以換個角度來證明.在圖1的碰撞情境中，根據彈性碰撞的特點，我們得到了①、②兩式.

式①變形可以得到

式②變形可以得到

用⑦÷⑥可得到v1＋v′1＝v2＋v′2，或改寫成

式⑧中v1－v2代表碰前A、B兩小球相互靠近的相對速度，v′2－v′1代表碰后兩小球逐漸遠離的相對速度，二者相等.

在圖1的碰撞過程中，因為小球A、B之間的相互作用，A會減速(也可能是減為0后反向加速)，B會加速，可將兩球碰撞過程的速度—時間(v-t)圖像畫出，如圖2所示(考慮到兩小球并不是做勻變速直線運動，故將之畫為虛線).

圖2

碰撞過程在0～t2這段時間完成.在這段時間內小球A的速度從v1(C點)減為v′1(G點)，小球B的速度從v2(D點)增為v′2(F點)，在碰撞過程中的t1時刻兩小球共速(E點).CD段長度代表兩小球碰前的相對速度v1－v2，FG段長度代表兩小球碰后的相對速度v′2－v′1，前面已經證明二者相等，由此很容易看出△CDE≌△GFE.因為△CDE≌△GFE，故C、G兩點關于E點對稱，所以v1、v共、v′1構成等差數列；同理，v2、v共、v′2也構成等差數列.

從圖2中還可以看出，兩小球碰撞過程中共速的時刻t1剛好是整個彈性碰撞全程0～t2時間的中間時刻，彈性碰撞碰前和碰后的速度是關于共速時刻“對稱”的.

4 關于“對稱性”的拓展應用

我們還可以換個角度來認識碰撞類問題.

從圖2可以看出，碰撞不會在t1時刻之前結束，因為在那之前A球速度大于B球速度，與碰撞情境相悖，碰撞可能結束的時刻t應滿足t1≤t≤t2.

若碰撞在t1時刻就結束，那就是完全非彈性碰撞，碰后兩小球共速，相對速度為0.

若碰撞在t2時刻結束，那就是彈性碰撞，碰后兩小球相對速度(A對B)等于碰前相對速度(B對A).

若碰撞在t1～t2之間的某個時刻結束，則是一般的非彈性碰撞，這時A球速度還未減到v′1，B球速度還未增到v′2，兩小球的相對速度小于v′2－v′1，也就是小于碰前的相對速度.

綜上分析可知，無論什么碰撞，碰后的相對速度不會大于碰前的相對速度.

例2如圖3所示，在光滑的水平地面上質量為m的物體A以速度v0與靜止的質量為2m的物體B發生碰撞，則碰撞后物體A的速度大小可能是( ).

圖3

分析本題未說明A、B之間發生什么碰撞，需要分類討論.若A、B發生完全非彈性碰撞，碰后的共同速度根據動量守恒很容易算出，為若A、B發生彈性碰撞，根據“對稱性(等差數列)”的思想可算出碰后A、B的速度分別為.因為碰撞結束時刻只能在t1≤t≤t2范圍內，借助v-t圖像，可以看出碰后B的速度范圍是同時可以看出碰后A的速度大小的范圍是的速度范圍是，如圖4所示，故選C、D.

圖4

例3如圖5所示，質量相等的A、B兩球，初始時在光滑水平面上沿同一直線相向做勻速直線運動，A球的速度為6 m·s－1，B球的速度為－2m·s－1，不久A、B兩球發生碰撞，對于碰后A、B速度的可能值，不可能的是( ).

圖5

分析本題常見的解題思路是根據碰撞前后系統動量守恒以及碰撞后系統的機械能不大于碰前的機械能聯立求解.不過這一思路計算量相對較大，建議用前面的結論去分析，因為碰后的相對速度不會大于碰前的相對速度，所以選D.