平均沖量在解電磁學題目中的妙用

王建國

（甘肅省甘谷縣第四中學）

在電磁學問題中，運動的帶電體所受到的合力往往不是恒定的，會隨著電流或者磁場的變化而呈非線性變化，因此有些問題無法通過直接求值的方法進行分析，這為解題帶來了一定困難.然而，學習了沖量后，我們會發現，力的沖量的大小等于力的大小和力的作用時間的乘積，當力變化時，我們可以直接用該變化的力的平均值乘作用時間求得該力的沖量.這一規律為我們打開了一扇解題的便捷之門，在電磁學問題中，它同樣適用.在電磁學問題中，我們可先求出一段時間內電路中流過的電荷量q，或者求出研究對象所受安培力的平均沖量，或者通過電路中磁通量的變化量ΔΦ求解.具體思路如下.

思路分析如圖1所示，在一水平放置、長度足夠長的導軌上，垂直放置一根長為L的金屬棒.已知空間內存在一方向垂直軌道平面向上的磁感應強度為B的勻強磁場，金屬棒與導軌接觸良好組成一回路，且二者間的摩擦力忽略不計、回路電阻為R.當給金屬棒一個水平向右的初速度后，金屬棒向右運動時間t后停止，回路中的感應電流的平均值為ˉI，通過回路的電荷量為q，回路中磁通量的改變量為ΔΦ，則此過程金屬棒所受安培力的平均沖量大小IA＝BˉILt＝BLq.又由

圖1

它對解決電磁學問題究竟有什么用呢?下面我.們就用例題來說話.

例1如圖2所示，兩根電阻不計、長度足夠長的光滑金屬導軌MN、PQ，用一阻值R＝3Ω的電阻相連，平行固定在水平面上，兩根導軌之間的距離L＝0.5m，垂直水平面方向向下有一磁感應強度B＝2T的勻強磁場.現將一阻值r＝1Ω、質量m＝0.2kg的金屬細桿垂直導軌跨接在導軌之上，用水平向右的力F＝2N拉動金屬細桿使其由靜止開始運動.問：

圖2

(1)金屬細桿能達到的最大速度vm有多大?

(2)在金屬細桿從速度為0至達到最大速度的整個過程中，電阻R產生的熱量QR＝10.2J，這個過程持續了多長時間?

(3)在金屬細桿達到最大速度時即撤去拉力，金屬細桿可在導軌上繼續運動的距離為多長?

解析

(1)在水平方向上，金屬細桿受拉力F和安培力FA的共同作用，當金屬細桿在水平方向上受力平衡即兩個力的大小相等、方向相反時，金屬細桿達到最大速度，由此可得

代入數據解得vm＝8m·s－1.

(2)設金屬細桿達到最大速度時運動時間為t，運動距離為s，金屬細桿上產生的熱量為Qr，金屬細桿所受安培力的沖量為IA，由系統的功能關系可得

由動量定理可得Ft－IA＝mvm，因此

因為金屬細桿與電阻R是串聯關系，可得解得Qr＝3.4J.

由以上各式及數據可解得t＝2.05s.

(3)設在撤去拉力后金屬細桿可在導軌上繼續運動的距離為x.當撤去拉力后，金屬細桿只受安培力作用，故由動量定理得I′A＝mvm，其中

代入可得x＝6.4m.

例2如圖3所示，在光滑水平面內有一垂直水平面向下的勻強磁場(磁感應強度為B)，其左右邊界平行且清晰.現有一正方形金屬框以初速度v0沿光滑水平面向右運動穿過磁場，金屬框的邊長小于勻強磁場的左右邊距，測得金屬框完全進入勻強磁場后的速度為v1，完全穿出勻強磁場后的速度為v2，則下列判斷正確的是( ).

圖3

解析

設金屬框的邊長、質量和電阻分別為l、m、R.在金屬框從開始進入到最終穿出勻強磁場的過程中，金屬框內的磁通量會產生變化，從而產生感應電流，由楞次定律和安培定則可知金屬框做減速運動.當金屬框運動速度為v時，其所受安培力顯然，其所受安培力與v成線性關系，是一個變力，只有在金屬框完全進入勻強磁場的一段時間內其不再受安培力作用，而做勻速運動.金屬框進入勻強磁場和穿出勻強磁場的兩個過程中，由動量定理得IA1＝mv1－mv0，IA2＝mv2－mv1.這兩個過程中，金屬框所受安培力的沖量的平均值為即mv1－mv0＝mv2－mv1.故本題正確選項為B.

由以上分析，不難看出，平均沖量雖然是一個很小的知識點，但是在解決一些復雜的變力作用問題時，有著出乎預料的便利效果.而在電磁學問題中，往往因為電流和磁通量的變化，使得受力分析中出現很多變化的力，直接求解就會變得復雜.如果我們換個思路，利用平均沖量的思想來分析問題，就能清晰準確得出結果.