考慮柱體搖擺效應的半剛性榫卯柱架彈性抗側剛度簡化計算方法

張錫成，胡成明，韓乙楠

(西安建筑科技大學 土木工程學院；結構工程與抗震教育部重點實驗室，西安 710055)

中國傳統木結構建筑風格鮮明，結構形制獨特，具有極其重要的歷史、藝術及科學研究價值，其最為鮮明的結構特點是梁柱之間采用榫卯連接。據歷史資料記載，木結構古建筑在遭遇強烈地震時的震害往往是“墻倒而屋不塌”[1]，榫卯連接而成的柱架完好無損或柱腳略微滑移，表現出了優良的抗震性能。因此，研究榫卯節點在反復荷載作用下的力學性能具有重要的科學價值和現實意義。

目前，關于木結構古建筑中柱架力學性能的研究主要集中在榫卯連接受力機理以及柱腳連接受力性能等方面。在榫卯連接研究方面，方東平等[2]對西安北門箭樓進行了現場以及縮尺模型的激振試驗，證實了榫卯節點具有半剛性的結構屬性，且節點的剛度對結構整體剛度影響很大；姚侃等[3]、謝啟芳等[4]、張錫成等[5]通過典型榫卯連接的試驗研究和理論分析系統研究了節點的半剛性連接特性，提出了不同榫卯節點形式的恢復力模型及簡化分析力學模型；潘毅等[6]、周乾等[7]、高永林等[8]根據對透榫及燕尾榫節點試驗結果的分析，建立了以彈性點、屈服點與極限點為特征點的三折線多參數M-θ力學模型；淳慶等[9]、陳慶軍[10]分別對江浙地區、廣州地區榫卯榫節點進行了低周反復荷載試驗，研究了其抗震性能。Li等[11]采用基于等效框架的虛擬荷載法和基于等效框架的D值法對雙跨傳統木構架進行了研究；Chang等[12]研究了帶有縫隙的臺灣傳統木構建筑榫卯節點，基于Hankinson公式推導了該類節點的剛度計算式。

在柱腳連接方面，姚侃等[13]基于古建筑柱礎與柱架的特性分析，建立了柱與柱礎的摩擦滑移隔震體系模型，并給出柱腳摩擦滑移判定條件；賀俊筱等[14]、王娟等[15]發現木柱搖擺會產生較大的恢復力，柱腳在搖擺狀態下的受力性能對整體結構的穩定性和整體性有著重要的影響；高潮等[16]通過理論分析研究了受水平地震作用的古建筑木結構柱非線性響應，發現柱頂荷載對木柱抵抗傾覆有明顯效果。Lee等[17]通過柱腳局部受壓試驗得到了木柱轉角與水平力之間的關系；Maeno等[18]通過柱架的擬靜力試驗得出了整個構架的恢復力模型和榫卯節點的恢復力模型，計算得到了基于搖擺現象的木柱恢復力模型。

上述研究均未涉及半剛性榫卯柱架抗側剛度的計算分析問題，且未考慮柱體搖擺效應的影響。為此，筆者對半剛性榫卯柱架抗側剛度簡化計算方法進行研究，并考慮柱體搖擺效應的貢獻，提出考慮柱體搖擺效應的榫卯柱架簡化力學模型及抗側剛度簡化計算公式，并基于試驗研究驗證了該模型和公式的有效性。

1 柱體的搖擺效應

1.1 木結構古建筑中柱體的搖擺效應

木結構古建筑中柱腳采用平擺浮擱式做法(圖1)，直接將柱體平置于柱底的礎石之上，屬于典型的天然斷離式連接。在遭遇地震作用及橫風荷載等水平反復荷載作用下，柱體會由于柱腳的反復抬升和復位產生“搖擺效應”。一方面降低了強烈地震作用下柱架本身的延性需求，另一方面減小了礎石在傾覆力矩作用下的抗拉需求，減小了地震破壞，起到了

圖1 柱腳平擺浮擱式連接Fig.1 Flush pendulous connection of column

減震效果[19]。文獻[20]通過單層單開間空間柱架結構的振動臺試驗研究發現：結構水平地震作用下的變形主要集中在柱架層，柱架層的變形以側向變形為主，柱體產生明顯的搖擺效應。且由于柱架層和斗栱層剛度的較大差異，斗栱層側向變形很小，可以忽略不計，柱體的搖擺會導致上部荷載作用點的偏移，由上柱截面形心位置移動到最外側邊緣，如圖2所示。這種現象僅在單層帶斗栱建筑中被發現，多層木結構古建筑中是否存在此現象尚缺乏深入研究。

圖2 柱架的搖擺效應Fig.2 Rocking effect of column

若將柱體視為剛體(圖3)，水平荷載P和豎向荷載N共同作用下產生側向位移δ，由靜力平衡條件可推導出三者的關系式為

圖3 柱體搖擺的剛體計算示意圖Fig.3 Calculation diagram of rigid body

(1)

式中：P為由于柱體搖擺產生的傾斜恢復力,N；N為豎向荷載,N；dc、lc分別為木柱的直徑和高度,mm；δ為木柱側移變形。

根據上述剛體理論計算的柱體搖擺產生的P-δ曲線為一條傾斜的直線，如圖4所示，圖中的P0可看作將木柱視為剛體時由于豎向荷載引起的柱體搖擺恢復力。然而，由于木材的彈塑性性質，柱腳和柱頭的邊緣會由于壓力作用產生順紋方向的塑性變形，進而影響受力分析時合力作用點位置的確定。因此，考慮實際變形后柱體搖擺的P-δ曲線與剛體曲線相差較大，根據已有試驗研究結果[18]可知，試驗得到的P-δ曲線為一條曲線(圖4)。值得注意的是，P0是剛體柱在轉動過程中的最大恢復力。而實際上，考慮變形體變形后其柱腳轉動的最大恢復力Pmax應該小于P0，根據試驗擬合到二者的關系為[21]

圖4 柱體搖擺產生的P-δ恢復力曲線Fig.4 P-δ restoring force curve of rocking

(2)

1.2 考慮搖擺效應的柱體簡化模型

為便于建立簡化模型，忽略柱體的彎曲變形和剪切變形，并通過在柱腳引入一個轉動剛度為kf的旋轉彈簧(圖5)。考慮柱體在搖擺過程中產生的恢復力，根據靜力等效原則，建立二者的關系為

圖5 考慮搖擺效應的柱體簡化模型Fig.5 Simplified model considering rocking

Plc=kfθ

(3)

(4)

式中：kc為柱體搖擺產生的側向剛度，kc=P/δ。

1.3 柱體搖擺的恢復力模型

日本學者通過大量試驗研究，提出了木結構古建筑柱體搖擺狀態下的傾斜恢復力模型[22]，如圖6(a)所示。由圖6(a)可知，柱體的搖擺狀態可以分成3個階段(圖6(b))，狀態①：當δ≤0.1dc時，柱體側移較小，將產生抵抗側向變形的恢復力(正值)；狀態②：當0.1dc<δ≤dc時，柱體側移較大，但仍未超過柱徑，也將產生抵抗側向變形的恢復力(正值)；狀態③：當δ>dc時，柱體側移大于柱徑，將產生與側向變形方向一致的恢復力(負值)，結構發生倒塌。其中，狀態①可以作為計算柱架側向剛度的依據。

圖6 搖擺柱的恢復力模型及各狀態的受力情況Fig.6 Restoring force model of rocking column and stress distribution in each

由圖6(a)中的恢復力模型以及公式(4)可以得出圖5中所采用柱腳旋轉彈簧的恢復力模型，如圖7所示。

圖7 柱腳旋轉彈簧的恢復力模型Fig.7 Restoring force model of rotating spring representing

值得注意的是，此模型僅適用于柱體搖擺導致上部荷載作用點偏移到柱體上表面最外側邊緣的情況。對于荷載作用點位置不變的情況，仍需進一步引入新的恢復力模型，但此模型與圖7相比，僅在柱腳轉動剛度kf取值上有所區別，不影響后續的研究過程和研究結論。

2 柱架抗側剛度的簡化計算

2.1 基于彈性桿彈簧單元的計算簡圖

圖8 單層單跨榫卯柱架抗側剛度計算簡圖Fig.8 Calculation diagram of lateral stiffness of single floor and single-span column frame connected by mortise-tenon

2.2 柱架剛度計算

采用直接剛度法[23]計算柱架的整體剛度矩陣，為了便于求解柱架的抗側剛度，利用先處理法對節點位移進行編號，如圖9所示。其中，編號1是指柱架的側移(忽略額枋軸向變形)，編號2～7是指對應節點的轉角位移。

圖9 單元及結點編碼Fig.9 Unit and connection

采用直接剛度法，可以得到柱架的整體剛度矩陣，如式(5)所示。

(5)

由式(5)可知，考慮柱體搖擺效應的半剛性榫卯柱架與常規的框架結構相比，其剛度矩陣的形式并不相同，主要表現在彈簧單元在相鄰結點的剛度系數影響上(剛度矩陣中的相關主系數和副系數)。將結點力與結點位移寫成分塊形式，則有

(6)

令除了側向力F1之外的所有節點力F0為零，便可得到柱架的抗側剛度，由式(6)中的第2個表達式，可將Δ0用Δ1來表示。

Δ0=-k00-1k01Δ1

(7)

再將式(7)回代到式(6)中的第1個表達式，得

(8)

由式(8)可以得到柱架抗側剛度為

(9)

結合已有研究成果得出的榫卯剛度計算方法和柱體搖擺的恢復力模型，利用式(9)便可以計算柱架的抗側剛度。

3 計算公式試驗驗證

3.1 試驗簡介

文獻[24]按照《營造法式》設計制作了縮尺比為1∶3.52的透榫柱架，并進行了擬靜力試驗，參考此試驗結果作為理論分析的對照。模型采用俄羅斯紅松制作，試件尺寸如圖10所示，加載方式如圖11所示，實測得到木材的彈性模量為10 110 MPa。

圖10 透榫柱架模型節點構造Fig.10 Sketch of column frame model connected by half-penetrated tenon

圖11 加載示意圖

3.2 理論計算與試驗結果對比分析

采用式(9)計算柱架計算剛度，首先要確定透榫節點的轉動剛度kj。為此，將同尺寸同工況(豎向荷載均為20 kN)下獲得的M-θ骨架曲線進行平均化處理，得到其平均骨架曲線[24]，以消除木材材性離散性造成的誤差，如圖12所示。再將平均骨架曲線進行多項式擬合，得到其擬合曲線，如圖13所示，從而可知透榫節點的轉動剛度kj=48.40 kN·m/rad。將計算參數進行歸納匯總，列于表1。

圖12 透榫柱架模型M-θ骨架曲線Fig.12 M-θ skeleton curve of column frame model connected by half-penetrated tenon

圖13 M-θ平均骨架曲線和擬合曲線Fig.13 Average M-θ skeleton curve and fitting

表1 計算參數匯總Table 1 Summary of calculation parameters

將表1所示參數代入式(9)，通過Matlab進行矩陣計算，得到試驗透榫柱架的抗側剛度的計算值k=46.62 N/mm。

為了得到透榫柱架抗側剛度的試驗值，將測試得到的柱架P-Δ骨架曲線進行平均化處理，得到其平均骨架曲線，如圖14所示。再將平均骨架曲線進行多項式擬合，得到其擬合曲線，如圖15所示，從而可知透榫柱架的抗側剛度試驗值k=52.74 N/mm。

圖14 透榫柱架模型P-Δ骨架曲線Fig.14 P-Δ skeleton curve of column frame model connected by half-penetrated tenon

圖15 P-Δ平均骨架曲線和擬合曲線Fig.15 Average P-Δ skeleton curve and fitting

計算值與試驗值的誤差為(46.52-52.74)/52.74=-11.6%，表明二者的誤差較小，所提出的抗側剛度計算式(9)具有一定的精度，可以用于計算柱架的抗側剛度，進而為地震作用下結構的抗側變形驗算提供理論依據。值得注意的是，所引證的文獻無法考慮柱腳轉動剛度的影響，該方法有待后續更多科研人員進行進一步的試驗驗證。

4 抗側剛度參數分析

為了進一步研究榫卯柱架各物理參數對其抗側剛度的影響規律，仍以圖10所示的柱架為原型，選取木材彈性模量E、榫卯剛度kj、柱高lc及豎向荷載N為研究對象，基于式(9)，采用Matlab求解矩陣進行拓展參數分析。

4.1 彈性模量E的影響

設原型結構中木材的彈性模量為E0，計算模型中的為E，調整二者之間的比值就可以模擬不同木材類型的影響。表2列出了彈性模量不同時計算得到的柱架抗側剛度值。表中E/E0=∞表示桿件為剛性桿件，柱腳旋轉彈簧的轉動剛度kf按圖7中所示公式計算：kf=8×20 000×1 500=2.4×108N·mm/rad。

表2 彈性模量不同時抗側剛度計算值Table 2 Calculation value of lateral stiffness with different elastic moduli

圖16 彈性模量不同時抗側剛度計算值的變化曲線Fig.16 Variation curves of calculated values of lateral stiffness with different elastic

4.2 榫卯剛度kj的影響

設原始結構中榫卯節點的初始剛度為kj0，計算模型中榫卯節點的剛度為kj，調整二者比值的大小可以模擬不同的榫卯連接方式。表3給出了不同榫卯連接剛度下計算模型的抗側剛度及其比值k/k′。表中kj/kj0=∞表示節點為剛性節點。

表3 榫卯剛度不同時計算模型的抗側剛度Table 3 Lateral stiffness of calculation model with different mortise and tenon stiffness

將表3數據繪于圖17中。由圖17(a)可以看出，榫卯剛度相同時，考慮柱體搖擺時的柱架抗側剛度要大于不考慮柱體搖擺時的剛度。隨著榫卯剛度的增大，柱架抗側剛度均呈現出先升高后趨于穩定的變化規律，最終收斂于某一數值，即結點剛接時的抗側剛度值。總體而言，榫卯剛度對結構抗側剛度影響較大，由于節點剛度偏小，導致整個柱架的抗側剛度也較小，接近于柔性框架。由圖17(b)可知，隨著節點剛度比kj/kj0的逐漸增大，兩種計算模型得到的抗側剛度比值k/k′越來越小，并收斂于1.3，說明柱體搖擺對柱架抗側剛度的影響程度隨節點剛度的增大而逐漸降低。對于榫卯節點而言，隨著木材的老化及干縮變形，其剛度明顯退化，實際剛度會略小于或者遠遠小于原始剛度，即kj/kj0<1，此范圍為柱架抗側剛度的敏感區間，抗側剛度基本與榫卯節點剛度同比例變化。因此，在計算實際結構的抗側剛度時，有必要考慮柱體搖擺的影響。

圖17 榫卯剛度不同時抗側剛度計算值及其比值的變化曲線Fig.17 Variation curves of calculated values and ratios of lateral stiffness with different stiffness of mortise-tenon

4.3 柱高lc的影響

設原始結構中柱高為lc0，計算模型中柱高為lc，調整二者比值的大小可以模擬不同柱高的影響。表4給出了柱高不同時的抗側剛度計算值。

表4 柱高不同時計算模型的抗側剛度Table 4 Lateral stiffness of calculation model with different heights of column

續表4

將表4數據繪于圖18中，由圖18可以看出，柱高相同時，考慮柱體搖擺時的柱架抗側剛度也大于不考慮柱體搖擺時的剛度。隨著柱高的增大，柱架抗側剛度均呈現出逐漸下降的趨勢，表明柱高越大，柱架的抗側剛度越小，柱高對柱架的抗側性能有不利影響。

圖18 柱高不同時抗側剛度計算值的變化曲線Fig.18 Variation curves of calculated values of lateral stiffness with different heights of

4.4 豎向荷載N的影響

設原始結構中豎向荷載為N0，計算模型中豎向荷載為N，調整二者比值的大小可以模擬不同豎向荷載(屋蓋重量)的影響。表5給出了豎向荷載不同時抗側剛度的計算值。

表5 豎向荷載不同時計算模型的抗側剛度Table 5 Lateral stiffness of calculation model with different vertical loads

將表5數據繪于圖19中。由圖19可以看出，豎向荷載相同時，考慮柱體搖擺時的柱架抗側剛度也大于不考慮柱體搖擺時的剛度；不考慮柱體搖擺時，豎向荷載對柱架抗側剛度沒有影響；考慮柱體搖擺時，隨著豎向荷載的增大，柱架抗側剛度也逐漸增大，表明豎向荷載對柱架的抗側性能有明顯的提升作用，這也揭示了木結構古建筑的大屋蓋存在的合理性，厚重的大屋蓋可以大幅度提高柱架的抗側性能，降低水平荷載作用下的側移變形。

圖19 豎向荷載不同時抗側剛度計算值的變化曲線Fig.19 Variation curve of calculated values of lateral stiffness with different vertical

5 基于剛性桿彈簧單元的實用計算方法

5.1 實用計算方法及公式

圖20 剛性桿彈簧單元計算模型的側向變形及受力分析Fig.20 Lateral deformation and force analysis of calculation model with rigid rod-spring

由靜力平衡條件很容易推出水平力F與水平位移Δ之間滿足關系的表達式

(10)

(11)

進一步地，對于多開間、等高柱架結構，其抗側剛度簡化公式為

(12)

式中：n為開間數量，一般取1～11中的奇數。

5.2 實用計算方法誤差分析

為了進一步驗證式(11)的可靠性，選取榫卯節點剛度為基本變化參數，采用不同計算模型得到的柱架抗側剛度如表6所示，并將表6數據繪于圖21中。

表6 榫卯節點剛度變化時不同計算模型的抗側剛度Table 6 Lateral stiffness of different calculation models considering changing stiffness of mortise-tenon joints

圖21 榫卯節點剛度變化時不同計算模型的抗側剛度曲線Fig.21 Lateral stiffness curves of different calculation models considering changing stiffness of mortise-tenon

6 結論

1)在遭遇地震或橫風等水平作用時，木結構古建筑中的柱體會由于柱腳的反復抬升和復位產生“搖擺效應”，進而產生較大的恢復力。考慮柱體搖擺的柱架抗側剛度明顯大于不考慮時的剛度，因此，在計算榫卯柱架的抗側剛度時，柱體的“搖擺效應”不可忽略。

3)彈性模量對抗側剛度的影響很小；柱體搖擺對柱架抗側剛度的影響程度隨節點剛度的增大而逐漸降低；柱高越大，柱架的抗側剛度越小；豎向荷載對柱架的抗側性能有明顯的提升作用。