深溝球軸承回轉誤差建模與分析

李 聰，王德倫

（大連理工大學機械工程學院，遼寧大連 116024）

0 引言

軸承目前被廣泛應用于各類機械產品，例如高端精密加工機床等各種高端重大設備中[1-2]。軸承已經成為了機械設備的基礎與核心部件，其可靠性和回轉運動的精度與主機的可靠性和工作精度息息相關[3-4]。而軸承的回轉精度又受到多種因素的影響。因此，建立軸承回轉誤差模型，研究各種因素對軸承回轉精度的影響，對提高軸承回轉精度，指導軸承設計制造與裝配具有重要理論意義。

楊小高等[5]研究了加工誤差因素對油膜軸承的影響。涂文兵[6]從表面波紋度的角度分析了對軸承振動的影響。張魁[7]以圓柱滾子軸承為研究對象，研究了元件波紋度對圓柱滾子軸承振動特性的影響。河南科技大學石文祥[8]研究了軸承旋轉的精度，分析了滾道幾何誤差與軸承回轉精度二者之間的關系。王寶坤，陳觀慈等[9]建立了圓柱滾子軸承二自由度靜力學模型，研究了軸承元件幾何誤差對軸承回轉精度以及載荷分布的影響。吳柏華等[10]分析了工況條件對于軸承回轉精度的影響。上述研究分析了多種影響因素對于軸承靜態與動態精度的影響，但是大多是從三自由度軸承模型的角度對軸承回轉精度進行分析，且對軸承的角擺誤差分析較少，對于軸承各元件幾何誤差對于軸承回轉精度影響研究較少。在建立軸承回轉精度模型時大都對于軸承元件幾何誤差進行簡化處理，或者直接將零件進行理想化建模，缺少對于真實幾何誤差對于軸承回轉精度的研究。

綜上，本文以深溝球軸承為例，基于軸承零件幾何運動方程與力平衡方程，將軸承零件的物理屬性、幾何誤差與工況載荷因素考慮在內，建立深溝球軸承六自由度回轉誤差模型。

1 軸承回轉精度模型建立

1.1 軸承溝道幾何形狀描述

深溝球軸承的溝道曲面可以看作是滾道截面繞軸承軸線旋轉得到的圓弧輪廓[11]。因此滾道的曲面輪廓上任一點Pij都可以通過3 個參數進行描述：圓弧點處的軸向截面角θ、圓弧點夾角φ與圓弧點處的曲率半徑。因此，可以通過擬合實際誤差滾道各截面的采樣點來描述深溝球軸承滾道的幾何形狀。

設點Pij(xij,yij,zij)是軸承軸向截面滾道上的一點，如圖1 所示。用測量儀對軸承滾道輪廓進行采樣，得到其坐標值。設該截面的溝道曲率中心坐標為（a，b，c），則有:

圖1 軸承溝道擬合原理

式中：L為溝道曲率中心到外圈軸線的距離；θ為軸向截面的夾角；Z為溝道曲率中心在固定坐標系下的軸向坐標。

令Pij(xij,yij,zij)為在軸承(φ,θ)處截面溝道曲面處坐標，r為在該點處測得的曲率半徑。再由上面求得的在軸承θ處截面的曲率中心坐標，便可得到誤道曲面G的函數如下：

1.2 空間運動坐標系的建立

以外滾道建立全局固定坐標系Of Xf Yf Zf和內滾道建立局部坐標系On Xn Yn Zn，以滾動體圓心建立滾動體坐標系Og Xg Yg Zg，坐標系原點分別為Of, On, Og，如圖2 所示。

圖2 軸承空間坐標系建立

1.3 滾道曲面建立

通過圓度儀測量得到滾道幾何誤差數據，對測量得到的數據點(θ,φ,r)進行數據處理，轉化為參數平面與（x，y，z）對應關系，然后進行曲面擬合，如圖4所示。

圖3 內滾道幾何誤差檢測

圖4 內滾道誤差放大1 000倍后滾道曲面

式中：Pij為各個網格點；Bi,3(φ)、Bj,3(θ)分別為節點向量φ、θ的3階樣條基函數。

滾道曲面及其法線如圖5 所示。內滾道局部坐標系的坐標原點在固定坐標系下的方向矢量為ROn，在固定坐標系下點P的坐標可用下式表示：

圖5 滾道曲面及其法線

對上式求偏導，便可求得點P在兩個方向上的切向量為：

通過對兩個切向量進行叉乘然后單位化，便可求得點P處的法向量如下：

同樣的方法對外溝道曲面進行曲面擬合。外溝道曲面在固定坐標系Of Xf Yf Zf下的誤差曲面方程和以及任一點的法向量如下：

1.4 幾何位移方程

（1）滾動體與外滾道位移方程建立

滾動體與外滾道位姿關系如圖6 所示?；A坐標系Of Xf Yf Zf固定于軸承外滾道，外滾道曲面由前面的曲面擬合已知為ΣPnf，已知滾動體在基礎坐標系下的初始位置為Rg(xg,yg,zg)，由公式可求得滾動體與外滾道的近似接觸角φ：

圖6 滾動體與外滾道位姿關系

位置角θ：

由近似接觸角φ與近似位置角θ可在外滾道擬合曲面P搜索確定最大接觸點Rw，定義接觸位置變形量為δw，接觸點的單位方向矢量為Nw，則滾動體與外滾道的位移方程為：

由方程可以求得δw，若δw＜0，則滾動體與外滾道未接觸，若δw＞0，則滾動體與外滾道接觸，且變形量為δw。

（2）滾動體與內滾道位移方程建立

滾動體與內滾道位姿關系如圖7所示。

圖7 滾動體與內滾道位姿關系

坐標系On Xn Yn Zn固定于軸承內滾道，內滾道曲面已知為ΣPnf。已知滾動體在基礎坐標系下的位置為Rgf:(xg,yg,zg)，根據坐標變換矩陣可求得滾動體在運動坐標系下坐標：

式中：Bfn為由基礎坐標系向內圈運動坐標系的坐標變換矩陣；ROn為內滾道局部坐標系的坐標原點在固定坐標系下的方向矢量。

由下式可求得滾動體與內滾道的位置角θ：

并可以求得內滾道在該位置角下在運動坐標系的曲率中心坐標(Xin,Yin,Zin)，進而求得初始接觸角φ：

由初始接觸角φ與初始位置角θ可在內滾道擬合曲面ΣPnf搜索確定最大接觸點Rnn，定義接觸位置變形量為δn，接觸點的單位方向矢量為Nnn，則滾動體與內滾道的位移方程為：

由方程可以求得δn，若δn＞0，則滾動體與內滾道接觸，且變形量為δn。

滾動體與接觸點在運動坐標系On Xn Yn Zn下的單位方向矢量為Nnn，通過坐標變換方程轉化為固定坐標系Of Xf Yf Zf下的單位方向矢量為Nn：

式中：Bnf為由內圈運動坐標系向基礎坐標系的坐標變換矩陣。

（3）保持架與滾動體位移方程

本部分只考慮保持架兜孔與滾動體間的法向力與摩擦力，并且假設保持架始終保持著理想轉動，保兜孔與滾動體的位置關系如圖8所示。

圖8 保持架兜孔與滾動體的位置關系系

保持架質心Rb、滾動體質心Rgi和兜孔質心Rhi三者的幾何位移方程如下：

兜孔與滾動體i在接觸點的法矢為兩者質心的矢量差Nb，變形量δbi等于兜孔半徑與滾動體半徑差減去滾動體質心與兜孔質心的距離的差值，且變形量δbi等于結果的絕對值，如下所示：

式中：Rb為保持架質心位置；rb為保持架兜孔半徑；rg為滾動體半徑；Rp為兜孔半徑與滾動體半徑差值減去滾動體質心和兜孔質心的距離的值；δbi為接觸點處的彈性變形量。

1.5 受力平衡方程

內滾道與滾動體受力如圖9 所示?；谇拔牡膸缀挝灰品匠?，建立內滾道和滾動體的力平衡方程組。

圖9 內滾道與滾動體受力示意圖

滾動體與內外滾道之間的接觸剛度Kn可由下式求得：

式中：為根據曲率差函數值通過查表得到的參數；Σρ為曲率和函數值。

由幾何位移方程可求得各滾動體與軸承內外圈的接觸情況與變形量δw、δn，則可求得各滾動體與內外滾道的法向接觸力與摩擦力：

根據位移方程求得各接觸位置的變形量，便可分別列出滾動體與內滾道的力平衡方程組。某一滾動體i受內外滾道和保持架的作用力，建立該滾動體的力平衡方程如下：

同理，在固定坐標系下，內滾道的力平衡方程如下：

式中：(Fnx,Fny,Fnz)(Fwx,Fwy,Fwz)分別為滾子與內外滾道接觸力在固定坐標系下X、Y、Z方向的分力；(Tnx,Tny,Tnz)(Twx,Twy,Twz)分別為滾子與內外滾道摩擦力在固定坐標系下X、Y、Z方向的分力；(Fx,Fy,Fz,Mx,My)為內圈的載荷；Fg為滾子對內滾道的反作用力；Tg為滾子對內滾道的反向摩擦力；Rn為滾子與內滾道接觸點的矢量在XY平面投影的長度；θi為各滾子的位置角。

2 模型求解

上述方程組中的滾動體的位置Rgi與內外溝道的誤差曲面ΣP以及滾道在固定坐標系下的位姿有關，而且載荷接觸剛度Kn為非線性，因此無法求解精確數值解，需要通過優化求解，過程如下。

（1）首先擬合得到滾道誤差曲面的擬合方程Σpw和ΣPnf，并給定滾動體初始值(xgi,ygi,zgi)與內滾道的初始位姿( xn,yn,zn,αn,βn)。

（2）通過軸承各元件間的位移方程，求解出滾動體質心位置Rgi以及內滾道的質心位置Rn，各滾動體與內外圈滾道和保持架的接觸情況，發生接觸位置處的變形量與法矢(δni,Nni,δwi,Nwi)。

（3） 根 據 （2） 求 得 的 接 觸 變 形 量 與 方 向(δni,Nni,δwi,Nwi)，求得接觸力與摩擦力，代入滾動體受力平衡方程，計算力不平衡量，根據平衡量修正滾動體位姿參數(xgi,ygi,zgi)，返回第（2）步。當不平衡量滿足精度要求時停止迭代。

（4）第（3）步的所有滾動體不平衡量精度均滿足要求后，根據位移方程，確定滾動體與內滾道的接觸變形量與接觸點法矢(δni,Nni)。

（5）根據（4）求得的變形量與方向(δni,Nni)求得各滾子對內圈的接觸力與摩擦力，代入內圈受力平衡方程，根據力不平衡量修正內圈位姿參數( xn,yn,zn,αn,βn)，返回第（2）步。直至內圈不平衡量達到求解精度，最終計算求得的內圈位姿即為該角度下的求解結果。

3 算例分析

以6312 深溝球軸承為例，其參數如表1 所示。通過改變滾動體直徑誤差與徑向游隙研究對回轉精度的影響，評價指標為基于不變量的評價方法[12]。使用Matlab 編寫模型程序，計算得到軸承回轉精度情況。

表1 6312軸承參數

（1）不考慮元件誤差純徑向載荷回轉精度

不考慮元件誤差純徑向載荷回轉精度如圖10 所示。再由作圖法得到軸承在承受純徑向載荷下的軌跡圖，得到理論值，與程序計算結果進行對比，如表2所示。

圖10 不考慮元件誤差純徑向載荷回轉精度

表2 軸承回轉精度計算值與理論值比較

（2）軸承滾動體直徑誤差對回轉精度的影響

本節主要討論多個滾動體存在直徑誤差時，滾動體的不同排布方式對于軸承回轉精度的影響。該部分將8個滾動體半徑誤差分為4 組，分別為-2 μm、-1 μm、1 μm、2 μm，滾動體進行不同的排布如表3所示。

表3 滾動體誤差值及其排布方式

計算得到不同排布方式下軸承的回轉精度，如圖11所示。圖中，δR0為最小球面像圓與擬合軸線的半錐頂角，來表示角擺誤差的大??；rRc表示徑向平移誤差的大小；ΔRu表示軸向平移誤差的大小。由圖可知，排布7的排布形式的回轉精度遠大于其他排布形式，當滾動體存在誤差時，滾動體排布對軸承回轉精度存在顯著影響，合理的滾動體排布方式可使軸承角擺誤差相較于最大角擺誤差減小83.3%，可使軸向平移誤差相較于最大軸向平移誤差減小23.5%，徑向平移誤差相較于最大徑向平移誤差減小71.4%。

圖11 滾動體排布方式對不變量精度的影響

（3）軸承徑向游隙對回轉精度的影響

本節主要討論徑向游隙對于軸承回轉精度的影響，以6312軸承為研究對象，在準靜態情況下，軸承同時承受軸向預緊載荷100 N，徑向載荷300 N，通過將徑向游隙由4 μm 增加到28 μm，研究徑向游隙對回轉精度的影響。得到的結果如圖12所示。整體來看，隨著徑向游隙的增大，軸承回轉精度變差，徑向游隙為20 μm 時的角擺誤差比10 μm 時增大了890%，徑向平移誤差增大了926%，軸向平移誤差增大了434.4%，且隨著游隙的等比例增加，軸承回轉精度的降低越來越明顯，軸承回轉精度迅速變差。

圖12 徑向游隙對不變量精度的影響

4 結束語

本文以深溝球軸承為研究對象，基于軸承零件幾何位移方程與力平衡方程，綜合考慮了零件物理屬性、幾何誤差與工況載荷的耦合效應，建立了深溝球軸承六自由度回轉誤差模型。本文通過算例分析滾動體直徑誤差和軸承徑向游隙對軸承回轉精度的影響得到以下結論：多個滾動體存在誤差時，滾動體排布對軸承回轉精度存在顯著影響，合理的滾動體排布方式可使軸承角擺誤差相較于最大角擺誤差減小83.3%，可使軸向平移誤差相較于最大軸向平移誤差減小23.5%，徑向平移誤差相較于最大徑向平移誤差減小71.4%；隨著徑向游隙的增大，軸承回轉精度變差，徑向游隙為20 μm 時的角擺誤差比10 μm 時增大了890%，徑向平移誤差增大了926%，軸向平移誤差增大了434.4%，且隨著游隙的等比例增加，軸承回轉精度的降低越來越明顯，軸承回轉精度迅速變差。