雷達伺服驅動機械傳動系統諧振分析*

劉偉華，包曉軍，劉遠曦，楊精波

（廣東納睿雷達科技股份有限公司，廣東珠海 519080）

0 引言

雷達伺服驅動機械傳動系統性能對于雷達整體控制系統響應的快速性、準確性、穩定性等工作性能的好壞有決定性的影響，而扭轉振動是影響軸系動力裝置安全運行的重要動力性能之一，軸系裝置之所以能產生扭轉振動，其內因是軸系本身不但具有慣性，而且由于材料和尺寸的原因，還具有彈性，因此可能引起自由扭轉；其外因則是作用在軸系上周期性變化的激振力矩。軸系按激振的頻率進行強制振動，當激振頻率與軸系某一階固有頻率相同時，就會產生諧振現象，當扭轉應力超過軸系所能承受的應力時，軸系將會發生斷裂[1]，對于有高精度要求的雷達伺服驅動機械傳動系統，共振即使不會引起破壞，但也會影響機構系統的運行質量[2]，甚至導致系統不穩定損壞系統的精密傳動部件[3]。因此對雷達伺服驅動機械傳動系統振動特性的研究一直備受關注，人們進行了大量的理論分析和實驗研究，取得了很多成果。但是雷達伺服驅動機械傳動系統形式具有多樣性，不同的傳動形式，其機械性能和分析方法也存在著差異，王昱忠[4]將伺服機械傳動系統簡化為電機和負載的二慣量系統；而李云松等[5-6]將伺服機械傳動系統簡化為電機和負載的三慣量系統。

本文針對某型號雷達方位旋轉伺服驅動機械傳動系統的特殊形式，將機械傳動系統簡化成五慣量系統，建立數學模型，并推導出伺服電機輸出轉矩和雷達方位旋轉角速度之間的系統開環傳遞函數和系統諧振頻率計算公式。基于系統諧振頻率計算公式，分析影響機械傳動系統諧振的因素和影響效果。

為抑制系統諧振發生，國內外已經做了大量的研究。黃梁松[7]提出了一種基于擾動反饋觀測器的諧振抑制方法，提出了可調慣量比的控制策略，實現了伺服系統在低頻諧振環境下對大慣量負載的有效控制；唐濤等[8]提出了一種負載加速度反饋控制算法來減小伺服系統諧振的影響；韋鳳[9]提出了一種基于陷波濾波器的相位補償方案，在應用中能較好地抑制彈性負載條件下伺服系統定位時的末端抖振問題。上述文獻提到方法雖然有不錯的效果，但是也在存在一定的局限性。本文通過引入反饋校正函數，使系統形成閉環控制，并通過Matlab仿真分析對比驗證，得出引入反饋校正的閉環控制系統對抑制系統諧振效果明顯。

1 數學模型

1.1 物理模型簡化

該型號雷達方位旋轉伺服驅動機械傳動系統包含主傳動系統、消隙傳動系統，以及圓柱大齒輪，兩套傳動系統圍繞著圓柱大齒輪對稱布置，且兩套傳動系統采用完全相同的配置，即主傳動系統和消隙傳動系統均由電機、行星齒輪減速器、圓柱小齒輪組成。考慮消隙傳動系統對主傳動系統的耦合影響[10]，系統不能簡化成傳統的兩慣量或三慣量模型。本文考慮將整個系統簡化成五慣量系統進行分析，構建傳動系統的動力學模型如圖1所示。圖中TM1、TM2、JM1、JM2、bM1、bM2分別為伺服電機輸出轉矩、 轉動慣量、 黏滯阻尼系數；JR1、JR2、KR1、KR2、bR1、bR2、iR1、iR2分別為減速機高速軸端轉動慣量、低速軸端扭轉剛度、黏滯阻尼系數、減速比；JH1、JH2、JG、KHG1、KHG2、bHG1、bHG2、iHG1、iHG2分別為圓柱小齒輪轉動慣量、圓柱大齒輪轉動慣量、圓柱大小齒輪嚙合剛度、圓柱齒輪黏滯阻尼系數、圓柱齒輪減速比；JL、bL、TL分別為轉臺和雷達頭轉動慣量、黏滯阻尼系數、作用在轉臺和雷達頭的負載轉矩；ωM1、ωM2、ωH1、ωH2、ωG分別為電機輸出軸轉速、圓柱小齒輪轉速、圓柱大齒輪轉速；THG1、THG2、TG1、TG2分別為小齒輪軸轉矩、大齒輪主傳動端轉矩、大齒輪消隙傳動端轉矩。

圖1 伺服驅動機械傳動系統動力學模型

1.2 動力學微分方程

根據簡化的物理模型，可以得出以下微分方程：

考慮到實際傳動系統中，各軸段阻尼系數非常小，同時阻尼主要影響系統諧振幅值的大小，而不影響諧振頻率的大小，所以可以忽略阻尼的影響，以達到簡化的目的。

另外，主傳動端和消隙傳動端所用電機、減速機、以及圓柱齒輪都是一樣的，忽略制造和裝配誤差的影響，可以認為主傳動端和消隙傳動端電機、減速機、以及圓柱齒輪的物理特性完全相同，即：

1.3 系統傳遞函數

對上述方程組聯立求解并進行拉普拉斯變換可得主傳動電機輸出轉矩TM1與方位旋轉軸（圓柱大齒輪）轉速ωG的傳遞函數為：

式中：

系統結構圖如圖2 所示。圖中G1、G2、G3分別為各子系統傳遞函數，數值表達式如下所示：

圖2 伺服驅動機械傳動系統結構

由式（10）～（12）可知，系統諧振頻率為：

1.4 諧振頻率影響因素分析

影響伺服機械傳動系統諧振響應的主要因素有干擾力矩和軸系的動態特性，兩者的共同作用決定了軸系諧振響應的特性[11]。對于伺服機械傳動系統，軸系的動態特性主要針對特定的干擾力矩而言，軸系在整個工作轉速內的扭振響應越小越好。影響伺服機械傳動系統諧振響應的主要因素在于軸系動態特性3個方面的性質：（1）工作轉速內的諧振頻率，是系統產生共振的關鍵；（2）系統的振型，即幅值和相位的關系，其決定了系統扭振響應的強弱；（3）阻尼對扭振的抑制作用，適當的阻尼可以消耗干擾力矩的輸入能量，削弱諧振響應的峰值。

本文主要探討軸系工作轉速內的諧振頻率對諧振響應的影響，考慮到雷達通常在低轉速范圍下工作，所以工程設計應盡可能提高系統諧振頻率值，使其不在工作轉速頻率范圍內，根據式（16）可以看出，系統諧振頻率值是傳動系統結構剛度、各傳動零部件轉動慣量、以及減速比的綜合影響值。總結各機械結構參數對系統諧振頻率影響效果有以下幾點規律：（1）隨減速機扭轉剛度KR和圓柱齒輪嚙合剛度KHG增大而增大；（2）隨電機轉動慣量JM、減速機轉動慣量JR、負載轉動慣量JL增大而減小；（3）隨圓柱齒輪減速比iHG增大而增大；（4）隨減速機減速比iR增大而減小。其中減速機減速比iR和圓柱齒輪減速比iHG對諧振頻率的影響效果正好相反，所以當總減速比一定時，應盡可能減小減速機減速比iR的值。

2 系統諧振仿真分析

以該型號雷達伺服驅動機械系統為研究對象進行仿真分析，該機械傳動系統各零部件實際配置參數如表1所示。

表1 系統各零部件實際配置參數

將表1 數值代入式（10）中，并通過Matlab 仿真分析可得系統階躍響應和系統諧振伯德圖分別如圖3和圖4所示。從仿真結果可以看出，系統存在一個38.4 Hz的諧振頻率點，這與將表1 數值代入式（16）的計算結果相吻合，由于該傳動系統存在較低諧振頻率，將很容易導致系統出現不穩定現象。

圖3 開環系統階躍響應

圖4 開環系統諧振伯德圖

3 系統諧振抑制

第3 項的諧振分析是基于開環傳動系統得到的，為消除開環傳動系統的諧振情況，考慮引入反饋校正函數[12]，使傳動系統形成閉環控制。同時，為使閉環控制系統消除諧振，要求閉環系統傳遞函數應為一階系統。結合開環傳遞函數式（10），可以得出系統閉環傳遞函數和反饋校正函數。

式中：H(s)為反饋校正函數；A為反饋調節系數。

當A=K時，可使閉環傳遞函數與開環傳遞函數具有相同的調節系數。即閉環傳遞函數SYS閉環和閉環反饋校正函數H(s)分別如下所示：

同樣將表1各項參數代入閉環傳遞函數式（19），并繪制傳遞函數階躍響應圖如圖5 所示。從圖中響應曲線可以看出，閉環系統諧振情況得到有效控制。

圖5 開環與閉環系統階躍響應對比

4 結束語

本文通過對某雷達伺服機械傳動系統的分析，得出以下結論。

（1）采用五慣量模型簡化機械結構，并進行方位旋轉速度和伺服驅動電機輸出轉矩之間的開環傳遞函數和系統諧振頻率計算公式的推導，根據諧振頻率計算公式，分析影響系統諧振頻率的各機械因素，在進行工程設計時，具有一定的參考意義。

（2）針對特定的機械結構參數，采用Matlab 仿真軟件對開環傳遞函數進行仿真分析，結果顯示機械傳動系統存在較低的諧振頻率點，將會導致系統出現不穩定現象。

（3）根據反饋校正理論，設計在開環系統中引入反饋校正函數，使系統形成閉環控制，并根據系統開環傳遞函數推導出反饋校正函數的數值表達式，通過使用Matlab 仿真驗證，引入反饋校正的閉環系統對抑制系統諧振效果明顯。