基于改進的灰色馬爾科夫模型的集裝箱吞吐量預(yù)測

曾 勇，沈最意

（1.浙江海洋大學(xué)船舶與海運學(xué)院，浙江舟山 316022；2.浙江海洋大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，浙江舟山 316022）

集裝箱吞吐量是指某一港口在一段時間內(nèi)船舶裝卸的集裝箱數(shù)量的總和，單位為TEU。港口集裝箱吞吐量的大小受諸多因素影響，例如港口地理區(qū)位條件、港口自身條件、社會經(jīng)濟發(fā)展水平、科學(xué)技術(shù)水平、對外貿(mào)易水平等因素。選擇合理的方法對其發(fā)展趨勢進行預(yù)測，可以為政府及相關(guān)的企業(yè)、部門等交通運輸發(fā)展規(guī)劃、產(chǎn)業(yè)布局和基本建設(shè)等提供依據(jù)。

縱觀綜合交通發(fā)展研究，在與交通相關(guān)的交通量預(yù)測方面已有豐富的研究成果。傳統(tǒng)的貨運量預(yù)測通常采用定性與定量相結(jié)合或主客觀相結(jié)合的方法[1]。對集裝箱吞吐量的預(yù)測，通常使用時間序列法、回歸分析法、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、指數(shù)平滑法和灰色系統(tǒng)模型法。周盛世等[2]融合了灰色理論與馬爾科夫鏈對青島市物流需求量進行預(yù)測，并證明了馬爾科夫方法預(yù)測序列能夠優(yōu)化灰色預(yù)測結(jié)果從而提高預(yù)測的精度。魏輝[3]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對大連港港口物流需求進行了預(yù)測，利用Matlab 軟件編程，得出預(yù)測結(jié)果，經(jīng)檢驗，顯示誤差較小。湯天辰等[4]利用灰色馬爾科夫模型對上海港集裝箱吞吐量進行預(yù)測，證明了融合模型的預(yù)測精度更高。這些模型已經(jīng)運用于不同領(lǐng)域，例如客流量預(yù)測、貨運量預(yù)測、消費預(yù)測等，均有較好的預(yù)測結(jié)果。

每種預(yù)測方法都有其優(yōu)點與缺點，與其他模型相比，灰色模型建模數(shù)據(jù)需求少、樣本無需規(guī)律性分布、計算量較小、短期預(yù)測精度較高。而馬爾科夫鏈的無后效性對中長期預(yù)測和波動性較強的序列預(yù)測效果較好，用其解決自然科學(xué)和實際問題可以得到滿意結(jié)果[5]。但集裝箱吞吐量受未知因素影響，存在一定的波動性，用單一的預(yù)測方法通常準確度較低，本文結(jié)合了2 種預(yù)測模型，并融入等維新息的思想，能充分發(fā)揮模型的優(yōu)點，削弱缺點，提高預(yù)測精度。本文首先利用灰色GM（1，1）模型對寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量進行建模獲取預(yù)測值，利用等維新息思想對吞吐量進行動態(tài)優(yōu)化，再引入馬爾科夫鏈對灰色預(yù)測值及等維新息灰色預(yù)測值進行修正，分別進行精度檢驗，最后進行新的預(yù)測。

1 灰色馬爾科夫模型

1.1 傳統(tǒng)灰色GM（1,1）模型

灰色模型GM（1,1）的基本原理是通過對原始數(shù)據(jù)的累加淡化數(shù)據(jù)序列隨機性，針對樣本量少、信息缺乏的不確定系統(tǒng)進行研究，建模數(shù)據(jù)最少4 個即可，目的是建立動態(tài)微分方程，尋找數(shù)據(jù)序列的內(nèi)在規(guī)律[6]，其過程如下：

（1）建立原始序列：

（2）對原始序列累加一次得到新序列：

（3）由原始序列構(gòu)造矩陣B 與向量Yn：

（4）建立灰色GM（1,1）模型的微分方程：

（5）求解灰色GM（1,1）方程（4）得到：

（6）累減運算，得還原序列值：

1.2 馬爾科夫模型

灰色預(yù)測模型在應(yīng)用時容易受到外界干擾而產(chǎn)生偏差，從而導(dǎo)致預(yù)測精度較低。馬爾科夫鏈是一種基于系統(tǒng)狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)換概念的方法，通過動態(tài)規(guī)劃來處理問題。在灰色模型的基礎(chǔ)上引入馬爾科夫鏈，可以減少長期預(yù)測數(shù)據(jù)產(chǎn)生的預(yù)測誤差[7-9]。馬爾科夫模型優(yōu)化步驟如下：

（1）劃分狀態(tài)區(qū)間：根據(jù)樣本劃分出n 個狀態(tài)區(qū)間：Ei=[e1i,e2i]（i=1,2,…,n）。其中e1i表示最小比值，e2i表示最大比值。

（3）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量：設(shè)A（0）為初始狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率初始向量，則狀態(tài)向量A（k）為：

（4）預(yù)測值修正：預(yù)測下一步的狀態(tài)可取狀態(tài)區(qū)間中間值作為修正值來計算組合模型預(yù)測值，公式如下：

式中：若預(yù)測值高于實際值時，公式（10）中的符號取+，反之取-。

1.3 等維新息灰色GM（1,1）模型

對于傳統(tǒng)灰色模型而言，模型僅適用于變化趨勢明顯且波動較小的數(shù)據(jù)序列，一旦數(shù)據(jù)波動較大，離時間原點越遠，傳統(tǒng)灰色模型的預(yù)測精度會明顯降低。等維新息灰色GM（1,1）模型是在傳統(tǒng)灰色模型的基礎(chǔ)上，引入動態(tài)建模思想，及時加入新的已知信息或灰色信息，將較長的原始數(shù)據(jù)序列分解為長度大于4 的新數(shù)據(jù)序列，依次建模預(yù)測，把經(jīng)過新的序列進行預(yù)測得到1 個預(yù)測值X（0）（n+1）加入預(yù)測數(shù)據(jù)序列最后摘除原始數(shù)據(jù)序列的第1 個數(shù)值X（0）（1）保持數(shù)據(jù)序列數(shù)據(jù)個數(shù)不變用構(gòu)成的新數(shù)據(jù)序列進行預(yù)測得出下一個預(yù)測值。如此不斷更新數(shù)據(jù)剔除舊數(shù)據(jù)直到得到需要的所有預(yù)測值為止[10-12]。等維新息灰色預(yù)測模型流程如圖1 所示。

圖1 預(yù)測流程Fig.1 Forecasting process

1.4 模型精度檢驗

灰色系統(tǒng)模型GM（1,1）是否優(yōu)良，需對模型進行檢驗。通過計算出的E、K、P 值查模型精度檢驗表可知模型是否可用[13]。

（1）平均相對誤差檢驗：

（2）計算后驗差檢驗比值：

（3）計算小概率誤差：

模型精度等級[14]劃分見表1。

表1 模型精度等級劃分表Tab.1 Model precision grade classification table

2 吞吐量預(yù)測實例

2.1 數(shù)據(jù)來源

寧波舟山港地處我國大陸海岸線中部，由寧波港和舟山港合并組成，分鎮(zhèn)海、北侖等19 個港區(qū)，是全球首個吞吐量破10×108t 的港口，是我國的主樞紐港之一。2021 年12 月16 日，寧波舟山港成為繼上海港、新加坡港之后，全球第3 個3 000×104TEU 級集裝箱大港。本文選取寧波舟山港2006—2021 年數(shù)據(jù)為樣本數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)見表2。

表2 2006—2021 年各年寧波舟山港集裝箱吞吐量Tab.2 Container throughput of Ningbo Zhoushan port during 2006-2021

2.2 灰色GM（1,1）預(yù)測

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，可進行如下操作：

第一步，建立序列X（0）=（741,943,…，2 873，3 108）。

第二步，進行累加得到累加序列X（1）=（741,1 684,…,26 798,29 906）。

第三步，對X（0）進行準光滑性檢驗，由檢驗公式p（k）=X（0）（k）/X（1）（k-1）得p（2）≈0.56,p（3）≈0.39,p（4）≈0.27,p（5）≈0.26…當(dāng)k＞3 時p 均小于0.5，知原始序列滿足光滑性檢驗[15]；對X（1）進行準指數(shù)規(guī)律檢驗，由檢驗公式σ（1）（k）=X（1）（k）/X（1）（k-1）得σ（1）（2）≈2.27,σ（1）（3）≈1.65,σ（1）（4）≈1.38,σ（1）（5）≈1.34,…當(dāng)k＞3 時σ（1）（k）∈[1,1.5]，p 均小于0.5，知累加序列滿足準指數(shù)規(guī)律檢驗，可進行GM（1,1）建模。

第四步，將X（0）、X（1）代入公式（3）-（5），可計算得灰色GM（1,1）模型的參數(shù)值a=-0.080 404 777 同時得出u=948.930 571 6。由（6）式可得出寧波舟山港集裝箱吞吐量的灰色GM（1,1）預(yù)測模型為e-ak+u/a=12 542.917 8e0.0804k-11 801.917 8。

根據(jù)上式可以得出2006—2021 年的集裝箱吞吐量的預(yù)測值見表3。

2.3 等維新息灰色模型預(yù)測

為進一步提高預(yù)測精度，現(xiàn)引入等維新息思想方法進行優(yōu)化。優(yōu)化過程如下：首先，以2006—2011 年為原始數(shù)據(jù)，設(shè)置數(shù)據(jù)長度為6，從而建立灰色模型得到響應(yīng)公式：X（1）（k+1）=8 711.193 259 e0.102210612t-7 970.193 259，對公式進行累減運算可計算出2007—2011 年的灰色模型預(yù)測值，再將X'（1）中的第一個值741 去除，計算出2011 年的預(yù)測值，將2011 年的值加入新的數(shù)列X″（1）。如此重復(fù)操作，就能得到GM（1,1）的等維新息灰色模型預(yù)測值，結(jié)果見表3。

表3 寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量預(yù)測表Tab.3 Container Throughput forecast table of Ningbo Zhoushan port 2006-2021

由表3 及公式（10）—（13）可計算得灰色GM（1,1）模型預(yù)測值的平均相對誤差E=0.041 7，S1=723.712 6，S2=84.894 021 26，后驗差K=0.117 3，小概率誤差P=1，查精度檢驗表可知預(yù)測模型精度等級為Ⅱ級（良好），等維新息灰色GM（1,1）模型預(yù)測值的平均相對誤差E=0.0198，S2=39.751 7，后驗差K=0.054 9，小概率誤差P=1，查精度檢驗表可知預(yù)測模型精度等級為Ⅱ級（良好），可繼續(xù)用馬爾科夫模型進一步優(yōu)化。

2.4 馬爾科夫模型預(yù)測

分別對傳統(tǒng)灰色模型及等維新息灰色模型進行馬爾科夫優(yōu)化，以減少長期預(yù)測數(shù)據(jù)產(chǎn)生的預(yù)測誤差，優(yōu)化過程如下：

2.4.1 灰色馬爾科夫模型預(yù)測

（1）狀態(tài)劃分：由灰色模型相對誤差區(qū)間[-0.174 6,0.521]將2006—2021 年的相對誤差分別劃分E1[-0.174 6,-0.129 3）E2[-0.129 3,-0.083 9）E3[-0.083 9,-0.038 6）E4[-0.038 6,0.006 8）E5[0.006 8,0.052 1]5 個狀態(tài)，劃分結(jié)果如表4 所示。

表4 灰色馬爾科夫模型相對誤差狀態(tài)劃分表Tab.4 Classification table of relative error states of Grey-Markov model

（2）建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：由公式（8）可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

（3）預(yù)測值修正：通過公式（10）對2006—2021 年灰色預(yù)測值進行修正。例如2007 年預(yù)測值為1 050.163 9，馬爾科夫狀態(tài)處于E4，經(jīng)過馬爾科夫鏈修正后的預(yù)測值為y=1 050.163 9/（1+0.5×|-0.038 6+0.006 8|）=1 020.141 1。同理可計算出2008—2021 年預(yù)測值如表5 所示。

表5 寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量灰色馬爾科夫模型預(yù)測表Tab.5 Grey-Markov model forecast table for container throughput of Ningbo Zhoushan port from 2006 to 2021

2.4.2 等維新息灰色馬爾科夫模型預(yù)測

按照同樣方法對等維新息灰色模型進行修正如下：

（1）狀態(tài)劃分：由相對誤差區(qū)間[-0.095 3,0.050 0]將2006—2021 年的相對誤差分別劃分E1[-0.095 3,-0.063 3）E2[-0.063 3,-0.037 2）E3[-0.037 2,-0.008 1）E4[-0.008 1,0.020 9）E5[0.020 9,0.050 0] 5 個狀態(tài)，劃分結(jié)果見表6。

表6 等維新息灰色馬爾科夫模型相對誤差狀態(tài)劃分表Tab.6 Classification table of relative error states of equal dimension and new information Grey-Markov model

（2）建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣：由公式（8）可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

（3）預(yù)測值修正：通過公式（10）對2006—2021 年等維新息灰色模型預(yù)測值進行修正。例如2007 年預(yù)測值為937.470 1，馬爾科夫狀態(tài)處于E4，經(jīng)過馬爾科夫鏈修正后的預(yù)測值為y=937.470 1/（1-0.5×|-0.008 1+0.029 0|）=971.935 1。同理可計算出2006—2021 年預(yù)測值見表7，對比圖如圖2 所示。

圖2 實際值、灰色預(yù)測值、灰色馬爾科夫預(yù)測值與等維新息灰色馬爾科夫預(yù)測值對比Fig.2 Comparison of actual value,gray predicted value and equal dimension new information gray predicted value with equal dimension new information Grey-Markov predicted value

2.4.3 預(yù)測模型效果分析及精度檢驗

通過表7 可計算知加入等維新息思想的灰色GM（1,1）模型經(jīng)過馬爾科夫鏈的修正平均相對誤差E 由傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型的0.028 9 下降到0.016 8；后驗差比值K 從0.094 6 下降到0.053 4，小概率誤差均為1。查精度檢驗表表1 可知此模型的精度為Ⅱ級（良好），證明了加入等維新息思想灰色馬爾科夫模型的預(yù)測精度更高，預(yù)測結(jié)果更加準確。從圖3 也可以看出灰色模型與灰色馬爾科夫模型預(yù)測結(jié)果趨勢線與實際值偏差較大而加入等維新息思想后的灰色馬爾科夫模型預(yù)測值偏差明顯更小。通過對后驗差比值K 的計算（0.094 6-0.053 4）/0.094 6=0.435 5，即模型精度提升了43.6%。

圖3 實際值、灰色預(yù)測值、等維新息灰色預(yù)測值與等維新息灰色馬爾科夫預(yù)測值相對誤差比較Fig.3 Comparison of relative errors between actual value,gray-predicted value,equal dimension new information gray predicted value and equal dimension new information Grey-Markov predicted value

2.5 寧波舟山港2022—2024 年集裝箱吞吐量預(yù)測

根據(jù)2.3 中求出的等維新息灰色GM（1,1）預(yù)測公式可計算得出2022—2024 年寧波舟山港集裝箱吞吐量預(yù)測值，由表4 可知2021 年馬爾科夫狀態(tài)為E3，得初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移向量A（0）=（0，0，0，0，1），由公式（9）可計算2022 年狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量A（1）=A（0）*P=（0.5，0，0，0.5，0），同理可計算出2023 及2024 年：A（2）=（0，0，0.214 3，0.214 3，0.571 4），A（3）=（0.285 7，0，0.177 6，0.506 1，0.030 6），取狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率向量A（1）中概率的最大值作為未來狀態(tài)，可知2022 年吞吐量均處于E1或E4的狀態(tài)概率相等，取E1及E4的中值，同理2023 年取狀態(tài)E5，2024 年取狀態(tài)E4。考慮到2020 年爆發(fā)的新冠疫情，全球海洋運輸受到?jīng)_擊，各航運企業(yè)和相關(guān)領(lǐng)域受到影響，國際貿(mào)易減少使得集裝箱運輸量減少。目前海運業(yè)逐漸恢復(fù)，但影響還在持續(xù)，為體現(xiàn)疫情對寧波舟山港集裝箱吞吐量的影響，在組合模型預(yù)測時，將馬爾科夫模型中狀態(tài)采用高估狀態(tài)[16]。以2022 年為例，將灰色模型預(yù)測值帶入公式（10）可得2022 年經(jīng)過馬爾科夫優(yōu)化后的吞吐量y=3 256.823 0/（1+0.5×0.058 1）=3 164.834 8。同理可計算出2023 及2024 年馬爾科夫優(yōu)化后預(yù)測值，見表8。

表8 2022—2024 年寧波舟山港集裝箱吞吐量馬爾科夫優(yōu)化后預(yù)測值Tab.8 Container throughput of Ningbo Zhoushan port after Markov optimization predicted value in 2022-2024

3 結(jié)論

本文以寧波舟山港2006—2021 年集裝箱吞吐量基礎(chǔ)數(shù)據(jù)構(gòu)建灰色GM（1,1）模型，對樣本數(shù)據(jù)進行預(yù)測，由于數(shù)據(jù)具有隨機性、非線性及復(fù)雜性等特點，于是引入等維新息的思想對傳統(tǒng)灰色模型進行修正。經(jīng)精度檢驗，模型精度為Ⅱ級（良好），相較于傳統(tǒng)灰色馬爾科夫模型，加入等維新息思想的組合模型精度提升了43.6%，表明了組合預(yù)測模型即等維新息灰色馬爾科夫模型對寧波舟山港集裝箱吞吐量的預(yù)測較為準確，此方法削弱了傳統(tǒng)灰色模型預(yù)測的缺點提高了預(yù)測精度。因此，改進后的灰色馬爾科夫模型可以用來對寧波舟山港集裝箱吞吐量進行預(yù)測計算。2022—2024 年預(yù)測結(jié)果顯示近3 年寧波舟山港集裝箱吞吐量呈逐步上升趨勢。同時，也可以考慮使用該模型應(yīng)用到其他類型的數(shù)值預(yù)測。