波形鋼腹板組合箱梁剪力滯及剪切變形分析模型

何曉陽

（1.浙江省城市軌道交通智能運維技術與裝備重點實驗室，浙江 金華 321004；2.浙江師范大學工學院，浙江 金華 321004）

0 引言

波形鋼腹板PC箱梁是一種新型的鋼-混凝土組合結構形式。與傳統的PC箱梁相比，其主要特點是用波形鋼腹板代替傳統的混凝土腹板，并同時施加體內及體外預應力。因此，該種結構不僅具有自重輕、造型美觀、施工速度快等優點，還可提高預應力效率、消除傳統PC箱梁常見的腹板開裂病害[1-4]。

由于波形鋼腹板較薄，因此其剪切變形很大。國內外學者對波形鋼腹板剪切變形對組合箱梁力學行為的影響進行了大量研究。賀君等[5]假定頂底板截面轉角相同，但與整個截面轉角不同，提出了波形鋼腹板組合梁的撓度計算方法。聶建國等[6]將波形鋼腹板箱梁的彎曲行為分解為桁架作用和彎曲作用，開發了剪切變形分析模型。陳卓異等[7]研究了波形鋼腹板組合槽形梁的剪應力分布規律，建立了相應的剪切撓度計算公式。李明鴻等[8]推導了等截面波形鋼腹板箱梁的剪應力，將剪切變形考慮到撓度計算中。Zhou等[9]考慮混凝土底板承受剪力，分別推導了變截面波形鋼腹板箱梁彎曲及剪切變形的計算公式。馮建祥等[10]推導了考慮剪切變形及滑移的波形鋼腹板梁力學響應解析解。陳夏春等[11]考慮混凝土翼板局部彎曲，建立了波形鋼腹板組合梁的夾層梁模型。以上研究均表明波形鋼腹板剪切變形對撓度的影響很大，但未考慮混凝土翼板的剪力滯效應。

箱梁結構包括波形鋼腹板組合箱梁在彎曲荷載作用下均會產生剪力滯效應[12]。因此，根據擬平面假定[13]，學者們提出了各種波形鋼腹板箱梁剪力滯效應的分析方法。李立峰等[14]利用能量變分法和模型試驗，研究波形鋼腹板組合箱梁的剪力滯效應。劉保東等[15]推導了波形鋼腹板箱梁的撓度計算公式，發現不可忽略剪力滯及剪切變形對撓度的影響。姚浩等[16]提出了考慮剪力滯效應及剪切變形的波形鋼腹板箱梁撓度計算方法，并分析了不同寬跨比及高跨比下剪切變形及剪力滯效應對撓度的影響。冀偉等[17]推導了波形鋼腹板箱梁的撓度解析解，并研究了剪力滯及剪切變形對撓度的影響。李麗園等[18]從分析波形鋼腹板箱梁各板的面內撓曲剪應力出發，給出能同時考慮各板剪切變形的剪切形式因子。姜瑞娟等[19]則給出了波形鋼腹板箱梁剪力滯效應的有限差分法解。柳興成等[20]考慮波形鋼腹板和混凝土翼板的面內剪切變形，推導了波形鋼腹板箱梁撓度的解析表達式。馬馳等[21]構造考慮剪力滯和剪切變形的梁單元，研究了波形鋼腹板箱梁的力學性能。孟勝利等[22]利用能量變分法及有限元軟件共同研究了波形鋼腹板組合箱梁剪力滯系數的橫向及縱向分布。上述研究假定波形鋼腹板箱梁的截面中性軸與形心軸重合，導致軸向平衡條件不能嚴格滿足。為滿足縱向平衡條件，陳水生等[23]在剪力滯位移函數中添加修正項，但添加的修正項物理意義不夠直觀明確。同時，綜合考慮軸向平衡條件、剪力滯效應及剪切變形的波形鋼腹板組合箱梁研究也很少。此外，軸向平衡條件對波形鋼腹板箱梁變形與應力分析結果的影響幾乎未見報道。

文中將在位移場中截面縱向位移以滿足軸向平衡條件，并分別采用剪力滯強度函數及截面轉角考慮剪力滯效應及剪切變形，建立波形鋼腹板組合箱梁的力學分析模型。并利用有限元模型結果驗證文中提出模型的有效性。最后，研究了軸向平衡條件對變形及應力計算結果的影響。

1 位移及應變場

圖1給出了均布荷載作用下典型的波形鋼腹板組合箱梁。其由混凝土頂板、混凝土底板、混凝土懸臂板及波形鋼腹板組成。均布荷載對稱地布置在波形鋼腹板與混凝土上翼板交界處的上方，以避免箱梁出現扭轉、畸變及橫向彎曲。假設波形鋼腹板或者鋼翼板與混凝土翼板之間不存在界面滑移及上拔。此外，假定波形鋼腹板承擔全部的截面剪力，混凝土翼板承擔全部的截面軸力及彎矩。圖1中的O點為截面形心，ebf及etf分別為截面形心軸到混凝土上翼板或下翼板形心軸的距離。

圖1 波形鋼腹板組合箱梁

定義v（z）為截面任一點的豎向位移或撓度。在位移場中添加截面縱向位移以滿足軸向平衡條件。采用剪力滯函數及截面轉角分別描述箱梁翼板的剪力滯效應及波形鋼腹板的剪切變形。因此，混凝土頂板、底板、懸臂板及波形鋼腹板的縱向位移函數可分別表示為：

式中，i=1,2,3,4分別表示混凝土頂板、底板、懸臂板及波形鋼腹板；w為截面縱向位移；φ為繞X軸的截面轉角；f為剪力滯強度函數；ψi（i=1,2,3）分別為混凝土頂板、底板、懸臂板的剪力滯位移函數。

根據式（1）及式（2），各板的應力分量可表達為：

式中，εi，γi（i=1,2,3,4）分別為混凝土頂板、底板、懸臂板及波形鋼腹板的正應變及剪應變。

由于波形鋼腹板的褶皺效應，即軸向剛度很小，因此波形鋼腹板的正應力可以忽略不計。假設混凝土及波形鋼板均為線彈性材料，混凝土頂板、底板及懸臂板的正應力及剪應力，以及波形鋼腹板的剪應力可表達為：

式中，Ec、Gc分別為混凝土的彈性模量及剪切模量；Ge為波形鋼腹板的等效剪切模量，可按Gs（a1+a2）/（a1+a3）計算，其中Gs為波形鋼腹板材料的剪切模量，而 a1，a2，a3見圖 1。

剪力滯位移函數ψi可選為：

式中，2b1，2b2，b3分別為混凝土頂板、底板及懸臂板的寬度。

2 控制微分方程及邊界條件

根據虛功原理，波形鋼腹板組合箱梁的整體平衡方程可表達為：

式中，py為豎向均布荷載；L為箱梁跨徑；Ai（i=1,2,3,4）為混凝土頂板、底板及懸臂板，以及波形鋼腹板的積分區域。

將式（3）～式（9）代入式（13），通過分部積分可得控制微分方程如下：

對應的邊界條件可寫為：

式中，Af、Aw分別為混凝土各板面積之和與波形鋼腹板面積；Bf為混凝土各板關于X軸的靜矩之和；If為混凝土各板關于 X 軸的慣性矩之和；Afψ、Bfψ、Ifψ、Ifdψ分別為與剪力滯效應有關的混凝土翼板廣義幾何特性，可按下式計算：

由式（14）～式（17）可知，軸向平衡條件、翼板剪力滯效應及波形鋼腹板剪切變形均已考慮在分析模型中。

3 控制微分方程求解

根據式（14）～式（16），可得以下包含位移變量的表達式：

式中：

D為積分常數。

將式（26）和式（27）代入式（17）可得：

式中：

根據式（32）可獲取剪力滯強度函數表達式：

傳統花卉的擺花應用是園林造景中的一個重要部分，文人喜歡借植物寄托個人的思想情懷和品格追求。雖然今天古典園林的主人已經不再是文人士大夫階層，但藉由他們形成的花卉審美卻與園林審美息息相關，園林廳堂傳統花卉的應用也從花文化角度傳達著園林的人文精神。

式中

C1、C2為積分常數。

將式（36）代入式（26）及式（27），可獲取截面縱向位移及截面轉角表達式如下：

式中，C3～C6為積分常數。

將式（39）代入式（15），可推導獲取豎向位移的表達式如下：

式中，C7為積分常數。

式（36）及式（38）～式（40）中的積分常數 D 及C1～C7可根據波形鋼腹板組合箱梁兩端的邊界條件確定。典型的邊界條件有簡支、固定及自由3種。因此式（18）～式（21）可改寫為：

（2） 固定端：w=0，v=0，φ=0，f=0。

（3） 自由端：w'=0，v'=-φ，φ'=0，f'=0。

當需要計算波形鋼腹板組合箱梁混凝土頂板、底板、懸臂板及波形鋼腹板的應力或應變時，可將式（36）及式（38）～ 式（40）分別代入式（7）～ 式（9）或式（3）～ 式（6）獲取。

需要注意的是，在推導過程中移除截面縱向位移w（z），考慮軸向平衡條件的文中模型即可退化為傳統模型，即不考慮軸向平衡條件的情況。

4 模型驗證與分析

圖2給出了波形鋼腹板組合簡支箱梁的截面、立面及荷載工況。該簡支箱梁分別承受對稱作用在兩波形鋼腹板上方的兩種荷載工況：①均布荷載py=10kN/m；②跨中集中荷載P=25kN。采用的混凝土彈性模量及泊松比分別為34.5GPa及0.2，而波形鋼腹板采用的鋼材彈性模量及泊松比分別為206GPa及0.3。

圖2 波形鋼腹板組合箱梁的截面、立面及荷載（單位：cm）

為驗證文中提出的分析模型，利用ANSYS建立波形鋼腹板組合箱梁的三維有限元模型。其中，混凝土翼板離散成56000個SOLID185單元，波形鋼腹板離散成6000個SHELL181單元。與SOLID185單元相比，SHELL181單元的節點除了平動自由度還擁有轉動自由度，因此運用MPC法模擬波形鋼腹板與混凝土翼板的固定連接。

表1顯示了在均布荷載及集中荷載作用下波形鋼腹板組合箱梁的跨中截面正應力。表1中應力計算點位置見圖2。由表1可知，文中模型計算的跨中截面正應力與三維有限元模型結果比較吻合。與文中模型相比，由于忽略了軸向平衡條件，傳統模型低估上翼板正應力，高估下翼板正應力。其中，在集中荷載工況下，傳統模型低估了5.37%的上翼板與腹板交叉處（計算點B處）正應力。此外，在均布荷載和集中荷載作用下，混凝土各板均出現剪力滯效應，且與均布荷載工況相比，集中荷載工況下的剪力滯效應更為明顯。

表1 波形鋼腹板組合箱梁跨中截面應力MPa

圖3則給出了均布荷載及集中荷載作用下波形鋼腹板組合箱梁撓度曲線。由圖3可知，在均布荷載及集中荷載工況下，文中模型計算的撓度曲線均與有限元模型結果比較接近。其中，對于均布及集中荷載工況，文中模型與有限元模型計算的跨中撓度差距分別為4.84%、6.20%。此外，文中模型與傳統模型獲得的撓度幾乎一致，可見，軸向平衡條件對撓度計算的影響可以忽略。

圖3 波形鋼腹板組合箱梁撓度曲線

5 結語

文中建立了考慮軸向平衡的波形鋼腹板組合箱梁剪力滯效應及剪切變形分析的理論模型。通過在位移場中添加截面縱向位移以實現軸向平衡，引入剪力滯強度函數及截面轉角分別考慮混凝土翼板的剪力滯效應及波形鋼腹板的剪切變形。根據虛功原理建立組合箱梁的控制微分方程，并推導了各位移變量的解析表達式。采用有限元模型驗證了理論模型和解析表達式的正確性及精度。同時結合算例分析表明，可以忽略軸向平衡條件對撓度計算的影響，但需重視軸向平衡條件對集中荷載工況下截面正應力的影響。