3-SPR并聯機構的隔振性能分析驗證

劉建坤，南江紅，翁藝航

(上海航天電子技術研究所，上海 201109)

0 引言

航天器在發射過程中會受到運載火箭的振動作用，艦載或車載的雷達天線也會受到載體在運動過程中的振動作用，這種振動會對其帶來不利影響[1]。因此，采取適當的措施對航天器等設備進行隔振是很有必要的[2]。目前主要采用在設備和載體之間安裝穩定平臺的方法進行隔振[3-4]。現在的穩定平臺結構形式多采用兩軸或三軸串聯機構穩定平臺，主要用來隔離動態載體的搖擺運動[5-6]。并聯機構形式的穩定平臺大多采用六執行器的Sterwart平臺結構，由于載體的縱搖、橫搖和垂蕩對設備的影響最大[7]，在現有穩定平臺上再串聯移動裝置會導致整個穩定系統過于龐大和復雜。因此需要設計結構簡潔的動態載體穩定平臺。

并聯機構具有高精度、高剛度、高承載能力、結構對稱且簡潔的特點，其理論越來越成熟、并且在多個領域得到了應用[8]。3-SPR并聯機構是眾多并聯機構中的一種，具有3個自由度，兩個方向的轉動和一個方向的平動，近年來對該并聯機構研究主要集中在理論分析與部分領域的應用[9-12]。所以本文選用了3-SPR并聯機構作為動態載體穩定平臺，其可安裝于運載火箭和航天器之間，也可安裝于雷達天線和艦船或載車之間作為主動隔振平臺。本文對該機構進行了隔振原理分析與仿真驗證。

1 3-SPR并聯機構穩定平臺概述

3-SPR并聯機構如圖1所示，包括上平臺、下平臺、3個構型相同的SPR(球副-移動副-轉動副)支鏈。每個支鏈由3個運動副和2個連桿組成。連桿通過移動副連接，支鏈一端與上平臺通過轉動副連接，支鏈另一端與下平臺通過球副連接，3個支鏈均勻布置。下平臺固連于運動基座上，精密設備安裝于上平臺，通過控制3個支鏈的移動副來改變上平臺的位置和姿態，可實現兩自由度轉動和一自由度平動。

圖1 3-SPR并聯機構

建立坐標系如圖2所示，圖中{U}是全局坐標系，連體坐標系{B}與下平臺固連，坐標原點位于下平臺的中心，其中y軸指向支鏈1與下平臺的鉸接點b1，z軸垂直于下平臺向上，x軸的方向按笛卡兒坐標系確定，連體坐標系{P}與上平臺固連，坐標原點位于上平臺的中心，其中y軸指向支鏈1與上平臺的鉸接點a1，z軸垂直于上平臺向上，x軸的方向按笛卡兒坐標系確定。上平臺具有繞x和y軸的轉動自由度和沿z軸的平動自由度。將該機構應用于穩定平臺時的基本原理為：下平臺的姿態發生變化，通過調整3個支鏈的長度使上平臺的高度和姿態保持不變。

圖2 3-SPR機構簡圖

如圖2所示，矢量L1、L2、L3分別表示3個支鏈的方向和長度；e1、e2、e3分別表示3個支鏈的單位矢量；n1、n2、n3分別表示3個轉動副軸線的單位矢量；上平臺和下平臺分別是半徑為rb和ra的圓。

2 位置反解

(1)

式中：cα為cosα；cβ為cosβ；cγ為cosγ；sα為sinα；sβ為sinβ；sγ為sinγ。

(2)

(3)

根據機構的連接關系可得到支鏈矢量方程為

(4)

其中i=1，2，3；ai表示下平臺球副中心相對于下平臺中心的位置矢量；bi表示上平臺轉動副中心相對于上平臺中心的位置矢量。

3 位姿約束方程

在3-SPR并聯機構中，3個轉動副的布置限制了上平臺和下平臺的相對運動自由度，因此需要得到6個自由度參數的相對函數關系，即位姿約束方程。分析該并聯機構的特點，得到Li⊥ni，即Li·ni=0。所以，對3個支鏈進行計算可得6個自由度參數的函數關系。

(5)

4 速度分析

vbi=vP+ωP×bi

(6)

vai=vB+ωB×ai

(7)

對式(4)兩邊求導數可得：

(8)

(9)

對3個支鏈可得

(10)

對于第i個支鏈，鉸點bi的速度還可表示為

(11)

上式兩邊同時乘ni可得

0=ni(vbi-vai)

(12)

對3個支鏈可得：

(13)

JnP和JnB是約束映射矩陣，

由式(12)和式(13)可得：

(14)

通過慣性組件可測得上平臺和下平臺的線速度和角速度，所以根據上式即可算出每個支鏈應該輸出的驅動速度。

5 穩定原理分析

當下平臺受到振動姿態發生變化時，若要上平臺保持水平且高度不變，則上平臺坐標系{P}的z軸與坐標系{U}的z軸同向。即

(15)

(16)

所以可得歐拉角α和β為：

β=arcsin(c31)

(17)

(18)

6 靜力特性分析

該并聯機構受到的外力為：上平臺受到力F2和力矩M2，下平臺受到力F1和力矩M1。設上平臺的質量為m2，下平臺質量為m1，忽略連桿的質量。設支鏈i中移動副的推力為fi。取支鏈i為研究對象，支鏈i的球副受到下平臺的力，將該力分解為沿支鏈的力fi和垂直于支鏈的力fpi，支鏈i的轉動副受到上平臺的力和力矩，并將該力分解為沿支鏈的力fdi和沿轉動副軸線的力fvi，還有力矩Ti，如圖3所示，根據力的平衡公式得

fiei-fdiei+fpi+fvini=0

(19)

圖3 隔支鏈i受力圖

根據定義ei⊥ni，所以fi=fdi，fpi=-fvini，即fpi的大小等于fvi，方向與ni相反。

取下平臺為研究對象，下平臺受到力F1(含重力m1g)、力矩M1和來自3個支鏈的力，下平臺受力如圖4所示。

圖4 下平臺受力圖

根據力和力矩的平衡公式得：

(20)

(21)

H為下平臺和支鏈主動力和約束力的靜力傳遞矩陣。H是6維方陣，當H是非奇異矩陣時則可得到逆矩陣H-1。根據式(19)可得到該并聯機構穩定平臺的3個主動力、3個結構約束力和下平臺所受的外力、外力矩矢量之間的力傳遞矩陣及其逆矩陣。

7 穩定平臺控制策略分析

該并聯機構穩定平臺有3個分支，每個分支為一個驅動器，驅動器是主動隔振系統的關鍵部件，要根據響應速度、輸出力大小、驅動行程等因素確定驅動器方案。本文采用電動缸作為驅動器，電動缸結構簡單、技術成熟、輸出力大且響應快速，非常適用于低頻主動隔振。

首先對單個驅動器進行控制。單個驅動器的控制是穩定平臺整體控制的基礎。根據穩定平臺的動力學模型，當經過總控制器計算出每個驅動器所需輸出的位移和力后。單個分支的控制器需發出精確的信號使驅動器輸出所需的位移和力。單個驅動器的基本控制框圖如圖5所示，圖中Xd是所需輸出的位移信號，X是實際輸出的位移信號，E是振動干擾信號，Kp、Td、Ti分別是比例常數、微分常數、積分常數。

圖5 驅動器基本控制框圖

根據牛頓-歐拉法對該穩定平臺建立閉環動力學模型[13]，可以在通過慣性組件測量上平臺和下平臺的運動的基礎上求得所需的驅動力，該模型可以表示為

(22)

式中：M為上平臺質量矩陣；V為速度矩陣；G為重力矩陣；H為力映射矩陣；F為力矩陣；B為下平臺質量矩陣。

根據PID控制算法，

(23)

式中Kd、Kp、Ki分別為微分常數、比例常數、積分常數。

根據穩定平臺控制算法，可以畫出該穩定平臺的控制框圖，如圖6所示。

圖6 穩定平臺控制框圖

根據穩定平臺的控制算法和控制框圖可以在仿真軟件中建立主動隔振系統的控制框圖，并且進行仿真。

8 算例

根據穩定平臺控制框圖，在仿真軟件中對其進行運動仿真，驗證該穩定平臺的主動隔振性能。首先確定穩定平臺的結構參數：ai=171mm，bi=215mm，每個支鏈li的最短距離是258mm，最長距離是308mm。對穩定平臺施加正弦振動，頻率是10Hz，即下平臺受到頻率是10Hz的沿z向的振動激勵。為了保證上平臺的穩定，通過運動學和穩定原理分析計算可得每個支鏈li的長度變化及驅動速率。對穩定平臺施加主動隔振控制時，穩定平臺上平臺和下平臺的振動位移對比，如圖7所示，穩定平臺上平臺和下平臺的振動速度對比，如圖8所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者。)。

圖7 下平臺和上平臺振動位移對比

圖8 上平臺和下平臺振動速度對比

當下平臺受到搖擺振動激勵時，設振動頻率是10Hz，且繞y軸振動，下平臺的振動曲線如圖9所示，下平臺的角速度如圖10所示。為了保證上平臺的穩定，每個支鏈li的長度變化如圖11所示，每個支鏈的驅動速度如圖12所示。對穩定平臺施加主動隔振控制時，由于該并聯機構穩定平臺的固有特性，上平臺的姿態可以穩定不變，但是上平臺在水平方向會有移動，如圖13所示，上平臺的移動速度如圖14所示，穩定平臺上平臺和下平臺的振動角速度對比如圖15所示。

圖9 下平臺繞y軸搖擺

圖10 下平臺的角速度

圖11 每個支鏈的長度變化

圖12 每個支鏈的驅動速度

圖13 上平臺位移

圖14 上平臺移動速度

圖15 上平臺角速度與下平臺角速度對比

由圖7-圖15對比可知，對穩定平臺施加主動隔振控制后，穩定平臺的隔振效果比較明顯。保證了上平臺的穩定，即保證了安裝在上平臺的航天器或者雷達天線的穩定。

9 結語

本文提出采用3-SPR并聯機構作為穩定平臺進行主動隔振控制，根據穩定原理在3-SPR并聯機構上建立坐標系，推導上平臺和下平臺的姿態變換矩陣，建立機構的位姿約束方程。通過速度分析，建立速度映射矩陣，分析穩定原理，推導機構的靜力平衡方程，得到機構的靜力傳遞矩陣，可計算機構在任意穩定姿態下的支鏈主動力和結構約束力。本文分析了該穩定平臺的主動隔振控制策略，確定了控制算法和控制框圖。通過算例證明了對該穩定平臺進行運動學、靜力特性和控制策略分析的正確性。在振源的振動參數已知，即下平臺的姿態由慣性組件測得的條件下，可通過該機構的姿態變換矩陣、位姿約束方程和支鏈方程計算得到每個支鏈的長度，從而使上平臺保持水平和高度不變。通過對該機構的運動和靜力特性分析，為該并聯機構穩定平臺的工程應用和優化設計奠定了理論基礎。