基于Timoshenko梁單元的徑向波箔軸承箔片變形分析

蔡鵬程，馬希直，原兆祥

(南京航空航天大學 直升機傳動技術國防科技重點實驗室，江蘇 南京 210016)

0 引言

最近30年來，以波箔軸承為代表的彈性箔片軸承越來越被關注和研究，波箔軸承的復雜箔片結構形式和受力變形方式以及軸承運行過程中的氣熱彈耦合問題使其理論模型的建立變得十分困難，很難準確預測軸承的靜動態特性[1]。

1975年，WALOWIT J A等人最早建立了波箔軸承箔片變形模型，考慮了波箔片與軸承套之間的摩擦，將箔片變形與Reynolds方程耦合求解[2]。1983年，HESHMAT H等人忽略摩擦，將波箔結構視為線性彈簧、波箔剛度分布平均，引入箔片變形系數，給出計算箔片變形的Heshmat公式[3]。1999年，LORDANOFF I 考慮了波箔片與軸承套之間的摩擦，給出了固定端和自由端波紋的剛度計算公式[4]。不足的是，這些計算公式都沒有考慮平箔片在相鄰波紋之間的變形，并且忽略了相鄰波紋之間的相互作用。1992年，HESHMAT H在高倍放大鏡下觀察了箔片結構的受力變形情況，發現波箔受壓會產生滑移現象。因此將摩擦因素和波紋相互作用考慮后對之前的理論進行了修正[5]。

2007年，LE LEZ S等人提出了一種新的波箔軸承箔片結構的模型，把每個波紋簡化成相互連接的線性彈簧，如圖1所示。箔片結構多自由度模型通過線性彈簧的剛度充分考慮了平箔片與波箔片之間的摩擦、波箔片與軸承套之間的摩擦預計相鄰波紋之間的相互作用[6]。

圖1 箔片結構多自由度(NDOF)模型[6]

2009年，SAN ANDRéS L和KIM T H采用一維梁單元和二維板殼單元計算平箔片的變形，計算了波箔軸承的最小氣膜厚度和動態剛度阻尼系數，通過與實驗結果對比后，指出一維梁模型能更準確地預測波箔軸承氣膜分布[7]。

2013年，徐方程研究了平箔片剪切變形對徑向波箔軸承的靜特性的影響，采用二維厚板單元對平箔片進行建模，研究結果表明平箔片的剪切變形對軸向氣膜厚度的變化量有顯著影響[8]。

2019年，ARGHIR M等人基于箔片結構的多自由度模型，指出該模型存在未考慮平箔片和波箔片、波箔片和軸承套之間接觸間隙的不足，基于接觸理論建立了考慮摩擦和接觸間隙的箔片結構模型[9]。

本文采用Timoshenko梁單元對箔片結構進行建模，對平箔片和波箔片之間的摩擦、波箔片和軸承套之間的摩擦建立庫侖摩擦模型，求解箔片變形并與線性彈簧模型和多自由度模型進行比較，基于求解出的變形分析徑向波箔軸承的靜特性。

1 箔片結構建模

采用Timoshenko梁單元對平箔片和波箔片進行離散，變形示意圖如圖2、圖3所示。求解每個單元的剛度矩陣在整體坐標系中組裝成整體剛度矩陣Kg，求解Kg·U=F即可得到各節點的位移，從而得到箔片的變形。

圖2 平箔片變形示意圖

圖3 波箔片變形示意圖

假設波箔片梁單元模型每個發生滑移單元的滑移方向都是從固定端向自由端滑移，波紋之間的平段為剛性，即：長度不變，平箔片和波箔片之間的摩擦系數為η。波箔片和軸承套之間的摩擦系數為μ。以兩個波紋的波箔片為例，波箔片梁單元庫侖摩擦模型受力情況如圖4所示。

圖4 波箔片庫侖摩擦模型

2 波箔片變形分析

對有10個波紋的波箔片進行分析，其中第1個波紋與固定端連接，第10個波紋右端自由，有關的箔片參數見表1。

表1 箔片參數表

2.1 不同載荷下各波箔片模型的變形

對波箔片施加4種不同形式的壓力載荷，作用在波紋頂端，每種載荷的單位面積等效載荷都為2×105Pa，得到的各個波紋的變形如圖5-圖8所示。圖中水平軸為從固定端到自由端的波紋序號，豎直軸表示波紋頂端的豎直方向的位移，正值表示隨壓力向下變形。

圖5 均布載荷下波箔片的變形

圖6 遞減載荷下波箔片的變形

圖7 遞增載荷下波箔片的變形

圖8 對稱遞增-遞減載荷下波箔片的變形

從圖5-圖8可以看出，對于線性彈簧模型，由于不考慮波紋之間的相互作用，大大低估了箔片結構的剛度，除了固定端和自由端的兩個波紋，其余波紋的變形都是Timoshenko梁模型和NDOF模型的兩倍以上。由于Iordanoff公式考慮了波箔片和軸承套之間的摩擦，變形相對于Heshmat公式小一些。

此外，Timoshenko梁模型和NDOF模型的變形折線比較吻合，驗證了所建立的Timoshenko梁模型的合理性。從圖中可以看出，各個波紋變形與載荷的關系是非線性的，即使相同的載荷，靠近固定端的波紋變形也是明顯小于靠近自由端的波紋。從整體上看，Timoshenko梁模型的變形相對于NDOF模型要大一些。4種載荷中，對稱遞增-遞減載荷最符合徑向波箔軸承潤滑氣膜壓力的周向變化。

2.2 摩擦系數對波箔片變形的影響

圖9為均布載荷下、基于Timoshenko梁建立的波箔片模型在不同摩擦系數下的變形。從圖中可以看出，當η=μ=0時，變形折線與圖5中的線性彈簧模型相似，只是變形量要小一半。可見波紋之間的相互作用要靠摩擦來實現，不考慮摩擦就相當于將波箔片簡化為一個個波紋組成的簡單結構，波紋的變形是隨載荷線性變化的；即使不考慮摩擦，Timoshenko梁模型的剛度也達到線性彈簧模型剛度的兩倍左右。由此可見，使用線性彈簧模型計算的箔片變形是有很大誤差的。從圖中還可以看出，隨著摩擦系數的增加，兩端不發生滑移的波紋數目會增加，發生滑移后波紋的變形會突然增加。只要有波紋發生滑移，此后直到自由端的波紋變形由載荷的大小主導，摩擦系數大小對其影響十分微小。這一點在自由端的波紋變形上體現得最明顯。

圖9 均布載荷下波箔片的變形

2.3 剪切剛度對波箔片變形的影響

為了研究剪切剛度對于波箔片變形的影響，分別計算了4種摩擦系數下Timoshenko梁和Euler梁建立的波箔片模型的各個波紋的變形，如圖10所示。從圖中可以明顯看出，不考慮剪切變形的Euler梁模型的變形比Timoshenko梁模型要小，所以剪切剛度會使波箔片變形增加，不考慮剪切剛度會對波箔片剛度產生較高估計。

圖10 剪切剛度對波箔片變形的影響

3 Reynolds方程求解與靜特性分析

定常理想氣體潤滑無量綱Reynolds方程為

(1)

采用Newton-Raphson迭代法結合有限差分法求解式(1)，采用Timoshenko梁箔片模型計算箔片變形wd，根據式(2)更新氣膜厚度，不斷迭代直到滿足收斂條件式(3)，根據求得的氣膜壓力積分求解承載力和偏位角等靜特性參數。

(2)

(3)

計算的軸承參數見表2，箔片參數與表1相同。

表2 軸承、氣體參數

圖11為轉速為30 000 r/min時各個箔片模型的軸承承載能力隨偏心率變化的折線圖。從圖中可以看出，在偏心率<0.4，也就是氣膜壓力較小時，各模型箔片變形差異較小，氣膜壓力基本相同，所以承載能力基本相同；當偏心率超過0.5，更容易變形的線性彈簧模型(Heshmat公式、Iordanoff公式)承載能力要遠小于其他模型。

圖11 各箔片模型承載力隨偏心率變化圖

箔片變形量接近的NDOF模型、Timoshenko梁模型和Euler梁模型承載能力相近，沒有考慮平箔片在波紋之間“凹陷”變形的NDOF模型承載能力要比梁模型大。考慮了剪切剛度的Timoshenko梁模型雖然計算的變形比Euler梁模型稍大，但承載能力要比Euler梁模型稍強。為了研究其中的原因，計算了一定偏心率下軸承中截面的無量綱氣膜厚度，如圖12所示。

圖12 軸承中截面無量綱氣膜厚度圖

從圖12可見，一定的偏心率下，Euler梁模型的無量綱氣膜厚度比Timoshenko梁模型大，也就是箔片變形量小一些，但是它們的最小氣膜厚度十分接近。所以Euler梁模型波紋之間的平箔片變形要更大，波箔之間的“凹陷”會更深，更容易造成氣體的端部泄漏，減弱流體的動壓效果，造成計算的承載力要比變形量更大的Timoshenko梁模型更小。

4 結語

本文基于Timoshenko梁建立了箔片模型和波箔片庫侖摩擦模型，分析了箔片變形和軸承承載能力，得出以下結論：

1)Timoshenko梁模型的變形與NDOF模型的變形比較吻合，遠小于Heshmat公式和Iordanoff公式計算結果；

2)平箔片和波箔片之間的摩擦與波箔片和軸承套之間的摩擦會提高波箔片的剛度，摩擦系數越大，箔片變形越小；

3)Timoshenko梁模型的箔片變形比Euler梁模型更大，但Euler梁模型平箔片的“凹陷”更明顯，減弱了動壓效果，造成Timoshenko梁模型承載力更高一些。