2009年新課標(biāo)高考理數(shù)第20題解析幾何的探究

楊雪蘋

(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)南沙實(shí)驗(yàn)學(xué)校 511458)

圓錐曲線是高考的重要考點(diǎn)，在解題中涉及到函數(shù)與方程、不等式、三角和直線等內(nèi)容，體現(xiàn)各種能力的綜合要求，要求學(xué)生有較高的計(jì)算水平、較強(qiáng)的計(jì)算能力.求曲線軌跡方程常用方法有：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.

1 試題呈現(xiàn)

題目(2009年新課標(biāo)20)已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.

(1)求橢圓C的方程；

2 試題解析

2.1 題型分析

求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為高考解答題中的第(1)問(wèn)，最常見(jiàn)的方法是定義法與待定系數(shù)法.本題中第(1)問(wèn)考查待定系數(shù)法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的重點(diǎn)，涉及a,b,c三者之間關(guān)系.本題的第(2)小題是考查圓錐曲線垂直相關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，是比值為離心率e時(shí)的一般化變式：

2.2 解法探究

由橢圓定義知：到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1的頂點(diǎn)一定是長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)中一個(gè).

解得a=4,c=3.

所以b2=a2-c2=16-9=7.

(2)設(shè)M(x,y)，其中x∈[-4,4].

整理,得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈[-4,4].

化簡(jiǎn),得9y2=112.

小結(jié)本題第 (1)小題主要考查橢圓的基本性質(zhì)；在第(2)小題中， 點(diǎn)M的軌跡方程通過(guò)直接將相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)代入等量關(guān)系，考查形如(λ-a)x2+bλy2=c(其中a,b,c為定值)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，滲透著分類討論思想.若把載體變?yōu)殡p曲線，問(wèn)題該如何解答呢？

3 試題變式

解析設(shè)M(x,y)，其中x≥4或x≤-4.

由于點(diǎn)P在雙曲線上，可得

即(23-16λ2)x2-16λ2y2=112，其中x≥4或x≤-4.

因?yàn)?23-16λ2)x2=16λ2y2+112>0,

即23-16λ2≥7，即0<λ≤1時(shí)，

點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在x軸上的雙曲線滿足x≥4或x≤-4的部分；

4 結(jié)論的一般化及推廣

4.1 結(jié)論的一般化

當(dāng)0<λ

當(dāng)λ=e時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是兩條平行于x軸的線段；

當(dāng)e<λ<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-a≤x≤a的部分；

當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓.

4.2 結(jié)論的推廣

當(dāng)0<λ≤1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在x軸上的雙曲線滿足x≥a或x≤-a的部分；

當(dāng)1<λ

當(dāng)λ≥e時(shí)，點(diǎn)M的軌跡不存在.