數(shù)學(xué)實驗教學(xué)：趣折相似 巧生幾何直觀
——以“折紙中的相似”為例

黃曉雨 (江蘇省淮安市淮陰中學(xué)新城校區(qū) 223001)

縱觀近幾年的基礎(chǔ)教育改革,整體雖取得了不錯的成績，但數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的發(fā)展卻止步不前、舉步維艱，主要原因在于教學(xué)環(huán)境、教學(xué)設(shè)備等客觀條件的限制以及教師對數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的錯誤理解，即認為數(shù)學(xué)實驗教學(xué)要在高科技教室中開展，要為學(xué)生配備先進設(shè)備等，導(dǎo)致數(shù)學(xué)實驗教學(xué)在日常教學(xué)中難以施展.其實數(shù)學(xué)實驗教學(xué)并非一定要在高科技教室、先進設(shè)備加持下展開，日常生活中的道具都可以成為數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的工具.本文通過學(xué)生動手折疊A4紙，揭示相似的理論依據(jù)，進一步認識幾何直觀的價值，從而提高學(xué)生幾何直觀的能力.

1 零起點緩坡度小步走——折線

·折疊線段，形成方法

準(zhǔn)備活動(1)學(xué)生拿出A4紙、小尺、剪刀、鉛筆等工具；(2)在A4紙上畫一條任意長的線段AB.

師：請同學(xué)們動手折線段AB的垂線，并說明為什么所折的折線是線段AB的垂線．

經(jīng)過小組合作交流，方法總結(jié)為：將線段AB對折(折痕兩邊重合)，使得點A與點B重合，折痕為線段AB的垂線(圖1).

圖1

理由如下：取折痕上任一點D，因為對折，所以∠BOD=∠AOD．又∠BOD+∠AOD=180°，所以∠BOD=∠AOD=90°，從而OD⊥AB.

師：有理有據(jù)！這樣的垂線有多少？怎么折？

生：無數(shù)條，將折痕兩邊的線段重合即可．

師：難度升級，請折線段AB的平行線，小組討論如何折疊．(學(xué)生疑惑，沒有思路)

師：請思考，目前要證明兩條線平行，你會從哪個角度出發(fā)？

生：角！

師：那要折兩線平行，紙中有沒有出現(xiàn)角？

生：沒有！但是可以作一條輔助線與線段AB相交，這樣就出現(xiàn)了角.

師：構(gòu)造的角度是多少度角比較好呢？

生：直角！因為剛才已經(jīng)折過線段的直角！

經(jīng)過師生互動式交流，方法總結(jié)為：先折線段AB的垂線a,再折垂線a的垂線b(不與線段AB重合)，得到線段b∥線段AB(圖2).

圖2

師：現(xiàn)在在線段AB外任取一點C，如何過點C折線段AB的垂線與平行線？

生：只需讓剛才折的垂線與平行線過點C即可(圖3)！

圖3

折線總結(jié)：(1)折一條已知線段的垂線，將折痕兩端的線段重合.

(2)折一條已知線段的平行線，先折線段的垂線，再折垂線的垂線(不與已知線段重合).

2 仿操作勤督促快反饋——折三角形

·折疊圖形，探索新知

準(zhǔn)備活動：(1)將點C與點A，B分別連結(jié)，構(gòu)成△ABC；(2)過點C折△ABC的高CD.

圖4

生：利用剛才過點折垂線的方法，可以折出△ABC的高CD(圖4).

師：取高CD的中點O，過點O折線段AB的平行線，怎么折？

生：過點O折線段CD的垂線分別交線段AC，BC于點E，F(xiàn)，得EF∥AB(圖5).

圖5

師：點E，F(xiàn)在線段上的位置是否特殊？

生：點E，F(xiàn)分別為線段AC，BC的中點，即點O為線段CD的幾等分點，那么折出來的點E，F(xiàn)就分別是線段AC，BC的幾等分點！

師：也就是說，折線段AB的平行線是否只有一種方法？

生：折等分點也可以得到平行線！

折三角形總結(jié)：(1)折已知三角形某條邊的高，等價于過此邊的對角頂點折此邊的垂線.

(2)折已知三角形某條邊的平行線：方法一，先折此邊的垂線，再折垂線的垂線(不與已知線段重合).方法二，折另外兩條邊共頂點側(cè)的等分點.

3 自主學(xué)勤歸納多創(chuàng)新——應(yīng)用

·開展應(yīng)用，引領(lǐng)拓展

準(zhǔn)備活動(1)請學(xué)生在A4紙上折出Rt△ABC，用記號筆描出三邊，標(biāo)記三個頂點A，B，C；(2)再用剪刀將△ABC剪下.

問：如何折Rt△ABC的三個角，使得折出的三角形與原Rt△ABC相似？小組合作，動手操作．

經(jīng)過小組討論，折疊的思路分為兩類：

思路1折“正A形”相似

①折銳角∠C(圖6).

圖6

②折直角∠A(方法同①).

通過折“正A形”相似發(fā)現(xiàn)：折“正A形”相似的本質(zhì)就是折一條邊的平行線.

思路2折“反A形”相似

①折銳角∠C(圖7).

圖7

②折直角∠A(圖8).

圖8

師：通過直角折“反A形”相似，有何好方法？

生：只需將直角頂點落在斜邊中線上即可.

·變亦不變，不變亦變

拓展(課后作業(yè))：若將Rt△ABC變成一般的△ABC，重復(fù)上面的步驟，能否折出與原三角形相似的圖形？

4 回顧與反思

本節(jié)數(shù)學(xué)實驗課的目的是教會學(xué)生動手折相似三角形．若上來就讓學(xué)生折一個隨機三角形，然后去折它的相似三角形，很多學(xué)生會一臉茫然，無從下手．那么這節(jié)數(shù)學(xué)實驗課又將變成教師主導(dǎo)的“灌溉課”，即教師將自己的折疊方法交給學(xué)生，學(xué)生的思維就會被禁錮，效果就會大打折扣，達不到數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的目地．因而，本節(jié)課設(shè)計得很有層次，由簡入難，層層遞進：利用兩個基本的折紙方法作為解決問題的關(guān)鍵——折已知線段的垂線與折已知線段的平行線.首先通過折疊的性質(zhì)以及直角度數(shù)的特殊性，得到折疊垂線的方法；其次引導(dǎo)學(xué)生從平行線判定的角度思考，折已知線段的交線(垂線)，再通過折垂線的垂線得到折平行線的方法；然后將線段變直角三角形，折直角三角形的相似，引導(dǎo)學(xué)生運用兩種折紙方法去觀察、描述問題，理解、解決問題.學(xué)生把理論與實踐相結(jié)合，通過所學(xué)的相似判定結(jié)合剛才的折紙方法，發(fā)現(xiàn)折直角三角形相似就是折垂線或折平行線，從而揭示本實驗操作的本質(zhì)，甚至部分學(xué)生還將方法進行了拓展創(chuàng)新(折角平分線以及折斜邊中線)，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促進了幾何直觀發(fā)展．本節(jié)課設(shè)計的巧妙之處在于將一般性三角形先強化條件變成直角三角形，通過折直角三角形相似發(fā)現(xiàn)，只需要折直角(折角等)就可以得到相似；進而再將折相似弱化成折一邊的垂線或平行線；最后將問題回歸原始，折一般性三角形的相似，學(xué)生就可以利用之前所學(xué)順利解決此問題.課堂的教學(xué)自始至終都是學(xué)生自己動手操作，發(fā)現(xiàn)方法，得出結(jié)論，解決問題.很好地培養(yǎng)了學(xué)生動手操作、理論與實際結(jié)合、解決問題的能力和探索的精神，有效地將“聽”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)”的方式，從“實物直觀”“圖形直觀”的角度發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀.

數(shù)學(xué)實驗的本質(zhì)是一種學(xué)習(xí)方式，即學(xué)生運用有關(guān)工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等)，通過動手動腦“做”數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，這種學(xué)習(xí)方式不是簡單地讓學(xué)生被動式接受教科書上或者教師所講授的現(xiàn)成結(jié)論，而是讓學(xué)生從自己已有的“數(shù)學(xué)知識”出發(fā)，變“聽數(shù)學(xué)”為“做數(shù)學(xué)”，變“看演示”為“動手操作”，變“機械接受”為“主動探索”.“做實驗”的主動探究過程培養(yǎng)了學(xué)生的動手實踐能力、解決問題能力和創(chuàng)新意識，積累基本活動經(jīng)驗，進而有效轉(zhuǎn)變初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式.

學(xué)生在折疊實驗課中，通過“折相似”的本質(zhì)感悟到“化繁為簡”的重要思想.但是，將“折相似”的實驗活動弱化成折線段的垂線或平行線，再利用這兩種方法來“折相似”，這對于學(xué)生而言是有一定難度的.這需要學(xué)生具有一定的幾何直觀能力，能夠利用圖形的本質(zhì)描述與分析問題，借助幾何直觀把復(fù)雜的圖形變得簡單明了.對于學(xué)生而言，這是一個循序漸進的學(xué)習(xí)過程，在這個過程中，教師應(yīng)給予學(xué)生充分的信任，給予學(xué)生更多時間和機會來展示交流，真正實現(xiàn)教學(xué)相長.