EHB 用無刷直流電機齒槽轉矩抑制方法研究

劉金剛，鄭劍云，張聰悅，傅兵，王高升，肖紹熙

（湘潭大學機械工程學院，湖南湘潭 411105）

無刷直流電機（BLDCM）具有體積小、質量輕、功率密度高、可靠性高等優點，非常適合用作電子液壓制動系統（EHB）的助力電機［1-3］.然而，由于轉子永磁體與定子鐵心的齒槽相互作用，包括BLDCM 在內的齒槽結構永磁電機都會產生齒槽轉矩［4］.齒槽轉矩的存在將導致轉矩脈動增加，帶來振動與噪聲，影響無刷直流電機的性能.

如何降低永磁電機齒槽轉矩，至今都是國內外學者研究熱點之一，眾多學者在電機本體結構設計改進方面做了大量工作［5］，在定子側的結構參數改進上，Wang D等人［6］在保證槽口寬度相同前提下，采用非均勻齒冠寬度的方法，并通過解析分析確定了齒冠寬度比，大大降低齒槽轉矩；黃守道等人［7］根據齒槽轉矩解析表達式，分析了單個槽對齒槽轉矩增加規律的影響，提出通過槽口偏移來減弱齒槽轉矩的方法；Wang K 等人［8］利用定子齒的偏心結構來減小齒槽轉矩，并在一臺外轉子PMSM 上驗證了所提方法的有效性.在轉子側的結構參數改進上，安治國等人［9］研究了轉子輔助槽添加位置、開槽深度和寬度等參數對齒槽轉矩和漏磁的作用情況，獲得最佳開槽結構參數；Zhao J 等人［10］對永磁體邊緣的結構參數進行了研究，通過改變參數減少了轉子端部效應的影響，抑制了齒槽轉矩；李松生等人［11］進行了轉子永磁體對齊安裝和錯位安裝的對比，發現分段斜極安裝可以大幅降低齒槽轉矩.上述提出的結構改進方法能降低電機齒槽轉矩，但鮮有同時兼顧永磁體形狀參數和電樞參數改進的方法，也很少綜合考慮齒槽轉矩和電機其他基本性能.

本文通過對齒槽轉矩的表達式進行推導和分析，發現其數值由基本結構參數以及傅里葉分解系數Br（nz/2p）和Gn所決定，以此為依據，推導了傅里葉分解系數和結構參數的關系式.再利用有限元方法分別研究了BLDCM 偏心距改變、極弧系數變更和添加輔助槽三種情況下齒槽轉矩、氣隙磁密和反電動勢的變化情況.結果表明，對結構參數進行合理地改進，可以在保持電機性能基本不變的情況下抑制齒槽轉矩.

1 結構參數與齒槽轉矩的關系分析

1.1 齒槽轉矩分析

由于齒槽結構的影響，當轉子永磁體處于不同位置時，磁路中的磁阻會發生變化，從而引起磁場能量變化，導致齒槽轉矩的產生.因此，將齒槽轉矩定義為磁場能量W相對于位置角a的函數［12］，即：

為便于分析，做以下假設：定子鐵心磁導率為無窮大；不同永磁體之間結構及磁性能處于理想狀態，無加工制造誤差，磁導率與空氣相同；硅鋼片的疊裝系數為1.因此，永磁電機磁場中存儲的磁能可近似為氣隙與永磁體磁能之和［13］，可表示為：

式中，B為氣隙磁通密度；μ0為磁導率；V為氣隙體積.其中氣隙磁密沿電樞表面分布可表示為：

式中，Br（θ）為永磁體剩磁沿圓周方向的分布；hm(θ)、δ(θ，α)分別為沿圓周、磁化方向的氣隙長度.

將式（2）和式（3）代入式（1），進行傅里葉分解展開并求導，可得齒槽轉矩表達式如下：

式中，R1、R2分別為轉子外徑和定子內徑；Z為槽數；L為鐵心長度；Gn和Br（nz/2p）為傅里葉分解所對應n次和nz/2p次諧波系數；p0為極對數.

由式（4）可知，齒槽轉矩由基本結構參數、分解系數Br（nz/2p）和Gn決定.電機設計完成后，R1、R2、Z、L等基本結構參數已經確定，因此抑制齒槽轉矩可從分解系數Br（nz/2p）和Gn上著手.Br（nz/2p）的數值主要由永磁體偏心距、極弧系數等決定，而Gn的幅值主要與槽口寬度和輔助槽添加等有關.

1.2 偏心距與齒槽轉矩的關系分析

BLDCM 轉子采用面包形表貼式結構，永磁體形狀如圖1 所示，為方便分析將面包形永磁體分為a、b兩部分，b部分的圓心與轉子圓心重合.

永磁磁體a、b 兩部分充磁厚度之和為h′m（θ），可以表示為：

式中，Ra、Rb分別表示a、b 部分的半徑；Δh表示偏心距，是永磁體外部弧面圓心Oa與轉子中心Ob的距離；lδ表示永磁體底部平面與轉子中心Ob的距離.

面包形永磁體偏心時，氣隙長度隨之產生變化，但實際氣隙長度與永磁體的充磁方向厚度之和保持不變，因此徑向氣隙磁密B′(θ，α)可以表示為：

進一步可以得到Br′(θ)，其表達式為：

式中，hmax表示永磁體最大充磁厚度.將hm′(θ)的表達式（5）代入式（7），得到Br′2(θ)的表達式：

永磁體偏心設計的目的是使得氣隙不均勻，從而獲取預想的氣隙磁通密度分布，其程度可通過偏心距Δh的數值大小來體現.以Δh為變量時，不考慮極弧系數km的影響，將km設置為初始值0.86，則Br′2(θ)可轉化為關于偏心距Δh和位置θ的函數，即：

經過推導，得到Br′2(θ)在分解區間［-πkm/2p，πkm/2p］上的傅里葉各次分解系數Bm：

由式（10）和式（4）可知，隨著Δh的增大，Br′2(θ)的傅里葉分解系數Bm降低，進而減小齒槽轉矩.

1.3 極弧系數與齒槽轉矩的關系分析

永磁體極弧的寬度bm和極距τ 之比被稱之為極弧系數km，其表達式為：

以極弧系數km為改進變量，研究其對齒槽轉矩Tc的影響時，不考慮偏心情況，設置Δh取值為零，則Br′2(θ)可以表示為關于位置角θ和極弧系數km的函數，其表達式為：

Br′2(θ)在區間［-πkm/2p，πkm/2p］上的傅里葉各次分解系數Bm的函數，可以轉換為與極弧系數km相關的函數，其表達式如下：

由式（13）和式（4）可知，調整極弧系數km可以使得分解系數Bm取較小值，從而可以對齒槽轉矩進行抑制.

1.4 輔助槽與齒槽轉矩的關系分析

電樞是電機實現能量轉化中起到關鍵樞紐作用的部分，在BLDCM 中電樞指的是定子部分，其設計的關鍵在于槽形參數選取.槽形參數的設計會影響在定子內表面的分布，改變其傅里葉展開系數Gn的取值，進而改變齒槽轉矩Tc的大小.

在分析電樞參數對Tc影響情況時，可忽略轉子部分參數的作用，將簡化為.其中，槽口寬度β（以弧度制表示）是重要的槽形參數之一，其數值會直接改變的分解區間，槽口寬度與積分區間的關系如圖2所示.

圖2 槽口寬度與積分區間關系示意圖Fig.2 The relationship between cogging notch width and integral interval

式中：β為用弧度表示的槽口寬度，β≈；b0表示定子槽口寬度.

由式（14）可知，適當地選取槽口寬度，可以改變Gn，從而抑制齒槽轉矩.然而，槽口過小時可能會引起漏磁，過大時容易造成定子齒部飽和，因此槽口取值范圍要合理選取.

槽口寬度β的改變常與輔助槽添加配合使用，添加輔助槽等于增加BLDCM 開槽數目，更改極槽配比，使得新添加的槽與原先的齒槽轉矩進行抵消，進而對其進行削弱.矩形的定子輔助槽均勻添加在齒頂上，寬度為β，與原槽口的寬度一致，具有一定開槽深度，輔助槽添加示意圖如圖3所示.

圖3 輔助槽添加示意圖Fig.3 Schematic diagram of adding auxiliary slot

由式（15）和式（4）可知，適當地選取輔助槽，可以改變傅里葉分解系數Gn，從而抑制齒槽轉矩.

2 無刷直流電機有限元建模

理論分析了偏心距、極弧系數和輔助槽與齒槽轉矩傅里葉分解系數之間的關系，發現改變三者的數值大小可以減小齒槽轉矩.但是，這是基于假設推導得到的，而實際情況十分復雜，需要仿真來進一步分析.有限元方法可以全面考慮電機漏磁、磁飽和等復雜情況，相較于理論分析更為精確.因此，為準確分析齒槽轉矩敏感結構參數對齒槽轉矩和電機其他性能的影響，本文基于電機結構參數，如表1 所示，搭建了無刷直流電機三維模型，如圖4 所示.并使用Ansoft Maxwell 軟件建立了8 極12 槽BLDCM 的有限元分析模型，對其進行材料定義、邊界設置、激勵添加和網格剖分，建立的有限元模型如圖5所示.

表1 BLDCM 主要結構參數Tab.1 Main structural parameters of BLDCM

圖4 無刷直流電機三維模型Fig.4 Three dimensional model of Brushless DC motor

圖5 無刷直流電機有限元模型Fig.5 Finite element model of Brushless DC motor

在有限元求解設置中，將電機設置為恒轉速工況，繞組電流設置為零，以永磁體磁場為激勵，對該電機進行有限元仿真計算.

3 仿真結果分析

3.1 偏心距改變對齒槽轉矩的影響

為獲取能有效抑制齒槽轉矩的偏心距數值，在其取值范圍0.00～9.00 mm 內，以1.00 mm 為步長進行仿真分析.得到齒槽轉矩峰值Tcmax隨偏心距Δh的變化情況，如圖6所示.

圖6 偏心距為0～9 mm時的齒槽轉矩變化情況Fig.6 Variation of peak cogging torque when eccentricity is 0～9 mm

由圖6 可知，隨偏心距Δh的增加齒槽轉矩峰值Tcmax呈現先減小后增大的趨勢，這與理論分析中的Bm變化趨勢相一致.同時，發現當偏心距Δh取值為8.00 mm 時，齒槽轉矩峰值取到最小值3.51 mN·m；當Δh取值為9.00 mm時次之，峰值為5.74 mN·m.

為更準確地分析偏心距改變對齒槽轉矩的影響，對上述取值進行再次細分后仿真.在有限元分析中，偏心距取值以8.00 mm 為中心，在7.00～9.00 mm范圍內，以0.10 mm 為步長進行仿真，Tcmax隨Δh變化情況，如圖7 所示.由圖7 可知，Δh=7.9 mm 時齒槽轉矩出現最小值，峰值為3.48 mN·m.

圖7 齒槽轉矩隨偏心距的變化情況Fig.7 Variation of peak cogging torque with eccentricity

偏心距Δh改變前后齒槽轉矩Tc的曲線波形對比、氣隙磁密對比和反電動勢曲線的波形對比分別如圖8～10 所示.由圖8 可知，改變前永磁體不偏心，即Δh=0 mm，齒槽轉矩峰值Tcmax為103.91 mN·m；改變后，Δh為7.90 mm，Tcmax減少為3.48 mN·m，相比改變前降低了96.65%.由圖9 可知，改變前，氣隙磁密Bδ的峰值為0.88 T；改變后，由于永磁體最大厚度沒有改變，所以氣隙磁密Bδ的峰值基本不變，但是由于Δh的增加，導致曲線波形變尖.由圖10 可知，改變前，反電動勢E的峰值為5.27 V；改變后，波形平頂寬度變窄，反電動勢E的峰值減小為4.71 V，相較于改變前降低了10.66%.

圖8 偏心距改變前后齒槽轉矩波形對比圖Fig.8 Comparison of cogging torque waveforms before and after eccentricity change

圖9 偏心距改變前后的氣隙磁密波形對比Fig.9 Comparison of air gap flux density waveforms before and after eccentricity change

圖10 偏心距改變前后的反電動勢對比Fig.10 Comparison of back EMF before and after eccentricity change

3.2 極弧系數變更對齒槽轉矩的影響

在極弧系數取值范圍0～1 內，以0.1 為步長進行仿真，得到齒槽轉矩峰值Tcmax隨極弧系數km變化情況，如圖11所示.

圖11 極弧系數為0～1時齒槽轉矩峰值變化情況Fig.11 Variation of peak cogging torque when pole arc coefficient is 0～1

由圖11 可知，Tcmax隨km變化而波動，km取值為0.40 時，Tcmax出現最小值為10.84 mN·m；km取值為0.70時次之，峰值為46.40 mN·m.為更準確地分析極弧系數變更對齒槽轉矩的影響，對上述取值再次細分后仿真.在有限元仿真分析中，極弧系數取值以0.70為中心，在0.60～0.80范圍內，以0.01為步長進行仿真，得到齒槽轉矩峰值Tcmax隨極弧系數km的變化情況，如圖12所示.從圖12可以看出，當時齒槽轉矩出現最小值，峰值為9.89 mN·m.李輝等人［14］觀察到齒槽轉矩峰值與極弧系數之間有相似的趨勢.

圖12 極弧系數為0.6～0.8時齒槽轉矩峰值變化情況Fig.12 Variation of peak cogging torque when pole arc coefficient is 0.6～0.8

極弧系數km變更前后齒槽轉矩Tc的曲線波形對比、氣隙磁密波形對比和反電動勢曲線分別如圖13～15所示.由圖13可知，極弧系數變更前，齒槽轉矩峰值Tcmax為103.91 mN·m；變更后，Tcmax減小到9.89 mN·m，相比于變更前降低了90.47%，齒槽轉矩峰值得到了明顯抑制.由圖14 可知，變更前，氣隙磁密Bδ的峰值為0.88 T；變更后，由于永磁體最大厚度不變，所以氣隙磁密的峰值基本不變，但極弧系數的減小會導致曲線頂部的寬度略微變窄.由圖15 可知，變更前，反電動勢E的峰值為5.27 V；變更后，反電動勢E的峰值降低了0.76%，變為5.23 V.

圖13 極弧系數變更前后齒槽轉矩波形對比Fig.13 Comparison of cogging torque waveform before and after pole arc coefficient change

圖14 極弧系數變更前后氣隙磁密波形對比Fig.14 Comparison of air gap flux density waveforms before and after pole arc coefficient change

圖15 極弧系數變更前后反電動勢對比Fig.15 Comparison of back EMF before and after pole arc coefficient change

3.3 添加輔助槽對齒槽轉矩的影響

在齒槽槽口取值范圍0～5 mm 內進行仿真分析，得到了齒槽轉矩峰值Tcmax隨齒槽槽口寬度b0的變化情況，如圖16所示.

圖16 齒槽轉矩峰值隨槽口寬度變化情況Fig.16 Variation of peak cogging torque with the notch width

由于b0的取值受到限制，在現有范圍內并沒有出現最佳的取值，可以通過添加輔助槽等手段進一步對Gn進行抑制，進而減少齒槽轉矩.但是，添加輔助槽后定子鐵心的結構發生變化，磁導率隨之改變，從而改變齒槽轉矩，而不同形狀輔助槽形產生的影響也會不同，因此需要對輔助槽的形狀進行分析.本文針對矩形、三角形和橢圓形3 種不同形狀的定子輔助槽進行分析，不同槽形比較時，將槽寬和槽深設置為不變量，以便比較形狀對齒槽轉矩的影響，添加不同形狀輔助槽時齒槽轉矩Tc的曲線波形對比、氣隙磁密對比和反電動勢曲線分別如圖17～19所示.

圖17 添加輔助槽前后齒槽轉矩波形對比Fig.17 Comparison of cogging torque waveform before and after adding auxiliary slot

由圖17 可知，添加的輔助槽形狀為矩形時，齒槽轉矩峰值Tcmax為23.10 mN·m；為三角形輔助槽時，Tcmax增大為29.59 mN·m，相較于矩形輔助槽增加了28.10%；為橢圓形輔助槽時，Tcmax降低到13.78 mN·m，相較于矩形輔助槽降低了40.35%，因此橢圓形輔助槽對齒槽轉矩的削弱效果最佳.由圖18 可知，添加輔助槽前，氣隙磁密Bδ的曲線波形由于受到原槽口作用，頂部存在1 處凹陷；而添加輔助槽后，凹陷數量增加至3 個，相比于橢圓形輔助槽，添加矩形輔助槽和三角形輔助槽時氣隙磁密波形會變得更尖.由圖19 可知，添加輔助槽前，反電動勢E的峰值為5.27 V；而添加不同形狀輔助槽后，對應的反電動勢E的峰值也有著不同程度地降低，其中添加橢圓形輔助槽時變化最小，其反電動勢E的峰值為4.95 V，相較于開槽之前僅降低了6.07%.

圖18 添加輔助槽前后氣隙磁密波形對比Fig.18 Comparison of air gap flux density waveforms before and after adding elliptical auxiliary slot

圖19 添加輔助槽前后反電動勢曲線對比Fig.19 Comparison of back EMF curves before and after adding elliptical auxiliary slot

4 結論

本文以EHB 用無刷直流電機為研究對象，通過對齒槽轉矩的表達式進行推導和分析，發現其數值由基本結構參數以及傅里葉分解系數Br（nz/2p）和Gn所決定，以此為依據，推導了結構參數與傅里葉分解系數的關系式.并分別研究了偏心距改變、極弧系數變更和添加輔助槽對齒槽轉矩和電機其他性能的影響，得到了以下結論.

1）當偏心距、極弧系數和輔助槽形狀分別為7.90 mm、0.74、橢圓形時，對應的齒槽轉矩峰值分別為3.48 mN·m、9.89 mN·m、13.78 mN·m，相比于改變前分別降低96.65%、90.48%、86.74%，齒槽轉矩都得到了明顯抑制.

2）偏心距改變、極弧系數變更和添加輔助槽會增加氣隙磁密波形的凹陷數量，也會使反電動勢曲線變窄，說明其對電機性能產生了一定的影響，相較而言，添加橢圓形輔助槽的影響最小.