談張量、李群和李代數(shù)的導(dǎo)出

梁鐸強(qiáng) 劉芳遠(yuǎn)

【摘要】張量、李群和李代數(shù)，是代數(shù)中比較重要但也是很困難的概念。由于很基礎(chǔ)，本文探索它們之間是如何導(dǎo)出的，以讓初學(xué)者能夠迅速入門(mén)。

【關(guān)鍵詞】張量;李群;李代數(shù)

1 前言

張量、李群和李代數(shù)是非常神奇，看起來(lái)很復(fù)雜很深?yuàn)W，在各種涉及空間的問(wèn)題中總能遇到，不僅是現(xiàn)實(shí)空間，還有各種參數(shù)張成的狀態(tài)空間，可能這才是現(xiàn)代幾何中的特征量。之前所看的數(shù)學(xué)體系中這些內(nèi)容也是很靠后的，雖然暫時(shí)沒(méi)有實(shí)用化，了解一些也沒(méi)有壞處。還有一個(gè)原因，是阿提亞在其現(xiàn)代數(shù)學(xué)展望中對(duì)這些東西給出了很高的評(píng)價(jià)[1]，一個(gè)是李群，一個(gè)是同調(diào)代數(shù)，他們都體現(xiàn)了聯(lián)系性，這也是一個(gè)想法吧，想要將支離破碎的現(xiàn)代科學(xué)構(gòu)建出一個(gè)整體的圖景。

為了讓初學(xué)者能夠理解這些概念的基本意義，本文試圖通俗解釋它們，包括導(dǎo)出的目的和過(guò)程。

2 流形上的張量

1）分量型張量的元素是常數(shù)，而流型上張量的元素是函數(shù)，顯然是一種拓展（從歐式空間到流形）;

2）為何要拓展？因?yàn)樵诹孔恿W(xué)中，存在不同的表象，當(dāng)表象變換（比如動(dòng)量表象到粒子數(shù)表象）時(shí)，再用常數(shù)顯然已經(jīng)不能滿足要求;

3）分量型張量一般只能寫(xiě)出二階張量，比如應(yīng)力張量和動(dòng)量張量，但量子力學(xué)的多粒子的巨希爾伯特空間是單粒子希爾伯特空間的直積，因此流行上，也要定義元向量空間、元函數(shù)，重線性函數(shù)，以及;

4）歸納起來(lái)，流形上的張量就是上的一個(gè)重線性函數(shù)稱(chēng)為上的一個(gè)型張量

5）和歐式空間的張量積類(lèi)似，張量積運(yùn)算服從分配律和結(jié)合律，空間的張量積的元素為;

3 李群和李代數(shù)是如何進(jìn)入微分流形的？

1）Gauss發(fā)現(xiàn)，曲面的曲率實(shí)際上只依賴曲面的第一基本形式，這為將曲面叢歐式空間中抽象出來(lái)進(jìn)行研究奠定了基礎(chǔ)。此外，gauss-bonnet定理將幾何量（曲率）和拓?fù)淞柯?lián)系在一起，從而啟發(fā)我們用拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ海┤パ芯繋缀螁?wèn)題。后來(lái)黎曼把老師的幾何拓展到流形（和群的關(guān)系）。

2）向量場(chǎng)的積分曲線匯給出了此流形到其自身中的一個(gè)自然映射。如果λ是這些曲線的參數(shù)，則任意足夠小的數(shù)Δλ定義了一個(gè)映射，它把每一點(diǎn)映成線匯中同一根曲線上參數(shù)再增加Δλ的那一點(diǎn)。這種映射稱(chēng)為沿該線匯的一個(gè)“拉曳”。有了拉曳的概念就使我們能沿著線匯定義導(dǎo)數(shù)。

3）李導(dǎo)數(shù)（Lie derivative）是一個(gè)以索甫斯·李命名的算子，作用在流形上的張量場(chǎng)，向量場(chǎng)或函數(shù)，將該張量沿著某個(gè)向量場(chǎng)的流（也就是積分曲線匯）做方向?qū)?shù)。

4）兩個(gè)向量場(chǎng)的李導(dǎo)數(shù)就是它們的李括號(hào)。而李括號(hào)構(gòu)成李代數(shù)，所以李導(dǎo)數(shù)誘導(dǎo)了李代數(shù)。

5）通過(guò)指數(shù)映射，可以在李群的李代數(shù)和李群自身之間建立關(guān)系。李代數(shù)的結(jié)構(gòu)張量，則是李括號(hào)雙線性特征的顯式表現(xiàn)。逼迫人們也把李群拉近流形里面來(lái)。

6）設(shè)M是一個(gè)m維光滑流形，G是r維李群。若θ：M×G→M是光滑映射，記為θ（x，g）=x·g，使得對(duì)M中任意點(diǎn)x和G中任意元素g，h滿足x·e=x，（x·g）·h=x·（g·h），則稱(chēng)G是右作用在M上的李氏變換群。類(lèi)似地，若σ：G×M→M為σ（g，x）=g·x，滿足e·x=x，g·（h·x）=（g·h）·x，則稱(chēng)G是左作用在M上的李氏變換群。

4 結(jié)論

李群，有稱(chēng)之為線性群，不僅滿足群的性質(zhì)，還具有線性，往往表示為矩陣形式，這樣線性就是顯然的。線性畢竟要涉及變換，考慮線性函數(shù)的定義，在定義域中的線性運(yùn)算被函數(shù)所保持，所以對(duì)于群中元素而言，這種線性就不好表示了，因?yàn)闆](méi)有變換。為了引入這樣的變換，所以定義了單參數(shù)群，就像參數(shù)曲線一樣，通過(guò)參數(shù)來(lái)間接表示群元素，一個(gè)參數(shù)經(jīng)過(guò)變換表示一個(gè)群元素，那么參數(shù)之間的線性運(yùn)算就可以借此表示出群元素之間的線性運(yùn)算。

例如，考慮旋轉(zhuǎn)群SO3，對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的兩個(gè)依次作用的轉(zhuǎn)動(dòng)，與他們的復(fù)合所給出的單個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)作用效果相同，這其實(shí)就是線性的表現(xiàn)。一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)總可以參數(shù)化表示為一個(gè)轉(zhuǎn)軸位置和一個(gè)轉(zhuǎn)角，上面涉及的過(guò)程就是轉(zhuǎn)角參數(shù)的相加，等價(jià)于轉(zhuǎn)動(dòng)的復(fù)合。

一般李群都是些運(yùn)動(dòng)群，也就是空間的微分同胚群，也就是說(shuō)，考慮群作用，將李群中的元素作用于某一空間，得到的是與原空間微分同胚的新空間。

李代數(shù)是李群在恒等元處的切空間，這個(gè)涉及平移不變性對(duì)點(diǎn)位置不確定性的消除，說(shuō)白了就是一個(gè)商結(jié)構(gòu)，相差一個(gè)平移作用下認(rèn)為兩對(duì)象相等。消除了這樣的多余特征后，就能對(duì)本質(zhì)問(wèn)題加以研究。但是，這樣的定義并不能給出李代數(shù)中元素的性質(zhì)。不過(guò)好像是和聯(lián)絡(luò)有關(guān)的，就是張量分析中的協(xié)變導(dǎo)數(shù)，克氏符號(hào)那些東西。李代數(shù)既然為代數(shù)，就必然有運(yùn)算，畢竟代數(shù)是同時(shí)具有加法和乘法的結(jié)構(gòu)，而且加法是交換的，乘法根據(jù)交換與否分為交換代數(shù)和非交換代數(shù)。李代數(shù)的乘法是李括號(hào)，是反對(duì)稱(chēng)的，自然非交換，說(shuō)起來(lái)關(guān)于二元運(yùn)算括號(hào)，也是很有意思的，一般在基礎(chǔ)的課程中根本遇不到，常見(jiàn)的也就李括號(hào)，泊松括號(hào)，量子泊松括號(hào)，他們都是和幾何息息相關(guān)的。括號(hào)總是具有雅可比性質(zhì)，三個(gè)元素的各種括號(hào)組合之和為零。

參考文獻(xiàn)：

[1] Atiyah， M. F.; Bott， R. （1983）. The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces. Philosophical Transactions of the Royal Society A： Mathematical， Physical and Engineering Sciences， 308（1505）， 523–615. doi：10.1098/rsta.1983.0017

[2] Atiyah， M.F.， & Macdonald， I.G. （2016）. Introduction to Commutative Algebra （1st ed.）. CRC Press. https：//doi.org/10.1201/9780429493621

作者簡(jiǎn)介：梁鐸強(qiáng)（1978.09-）男，漢族，廣西玉林，副教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)材料