例析平面向量的最值問題的幾種解法

■劉長柏

平面向量融合了代數、幾何及三角函數等知識，在求其最值時，解題方法呈現出多樣性。下面對平面向量的最值問題的幾種解法進行歸納，意在拋磚引玉。

一、基底法

點評

本題通過選擇合適的基底向量，把三個動向量轉化為只有一個動向量（），從而使問題得到解決。利用基底法解決問題時，首先需要考慮的是如何選擇基底。

二、坐標系法

例2已知矩形ABCD的邊長AB＝2，AD＝1，點P，Q分別在BC，CD上，且∠PAQ＝45°，則的最小值是____。

解：以矩形ABCD的頂點A為原點，AB，AD所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系xAy（圖略）。易得A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）。設P（2，y），Q（x，1）（0≤x≤2，0≤y≤1）。

點評

合理建立坐標系，由點的坐標轉化為向量坐標的代數運算是坐標法解決向量問題的關鍵。

三、構造函數法

點評

本題主要是借助邊長，將數量積轉化為二次函數，利用二次函數的最值求解的。

四、利用平面幾何知識

例4已知向量a，b，c滿足|a|＝4，|b|＝，a與b的夾角為，（c－a）·（c－b）＝－1，則|c－a|的最大值為 。

解：設。以OA所在的直線為x軸，O為坐標原點，建立平面直角坐標系xOy（圖略）。由|a|＝4，|b|＝，a與b的夾角為，可得A（4，0），B（2，2）。設C（x，y），由（c－a）·（c－b）＝－1，可得（x－3）2＋（y－1）2＝1，此方程表示以（3，1）為圓心，1 為半徑的圓。|c－a|表示點A與點C的距離，即圓上的點與點A（4，0）的距離。

因為圓心（3，1）到點A（4，0）的距離為，所以|c－a|的最大值為＋1。

點評

解答這類問題，要熟練掌握與平面向量有關的三角形、平行四邊形、圓、直線等平面幾何知識。