聚焦共線向量問(wèn)題

■劉玉成

共線向量也叫平行向量，相等向量是特殊的共線向量。共線向量定理:向量b（b≠0）與a共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb（b≠0）。

題型1：判斷向量共線

例1如圖1，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形。

圖1

題型3：用已知向量表示未知向量

例3趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成）。類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖2所示的圖形，它是由3 個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則（ ）。

圖2

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是理解共線向量與相等向量的含義。

題型2：判斷三點(diǎn)共線

評(píng)注：用已知向量表示所求向量的實(shí)質(zhì)是向量線性運(yùn)算的應(yīng)用。

題型4：根據(jù)向量共線求參數(shù)的值

（方法2）畫(huà)出圖形，如圖3所示。

圖3

評(píng)注：利用共線向量處理求值問(wèn)題的兩種思路:利用共線向量定理a＝λb（b≠0）列方程求解；利用向量平行的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0求解。

題型5：判斷幾何圖形的形狀

評(píng)注：兩向量共線是兩向量相等的必要不充分條件。

題型6：求點(diǎn)的坐標(biāo)

例6在如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），則AC與BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)____。

圖4

評(píng)注：四邊形的一條對(duì)角線上的三點(diǎn)可以寫(xiě)出6個(gè)向量，其中任意兩個(gè)向量共線。

感悟與提高