平面向量核心考點綜合演練

■歐陽亮

一、選擇題

3.下列說法正確的是（ ）。

A.單位向量都相等

B.若a∥b，則|a|＝|b|

C.若|a|＝|b|，則a＝b

D.若a＝λb（b≠0），則a與b是平行向量

圖1

圖2

圖3

8.（多選題）已知向量a＝（2，1），b＝（1，－1），c＝（m－2，－n），其中m，n均為正數，且（a－b）∥c，下列說法正確的是（ ）。

A.a與b的夾角為鈍角

B.向量a在b方向上的投影為

C.2m＋n＝4

D.mn的最大值為2

9.（多選題）△ABC中,＝b，在下列命題中，是真命題的為（ ）。

A.若a·b＞0，則△ABC為銳角三角形

B.若a·b＝0，則△ABC為直角三角形

C.若a·b＝c·b，則△ABC為等腰三角形

D.若（a＋c－b）·（a＋b－c）＝0，則△ABC為直角三角形

10.（多選題）已知e1，e2是兩個單位向量，λ∈R，|e1＋λe2|的最小值為，則下列結論正確的是（ ）。

11.（多選題）若向量i，j為互相垂直的單位向量，a＝i－2j，b＝i＋mj，且a與b的夾角為銳角，則實數m的取值范圍不是（ ）。

12.（多選題）下列關于平面向量的說法中不正確的是（ ）。

二、填空題

圖4

三、解答題

圖5

18.已知向量a＝（1，2），b＝（3，x），c＝（2，y），且a∥b，a⊥c。

（1）求向量b與c。

（2）若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m與n的夾角的大小。

19.已知向量a，b的夾角為120°，且＝2，c＝ma＋3b。

（1）當b⊥c時，求實數m的值。

（2）當m＝6時，求向量a與c的夾角。

20.已知向量a與向量b的夾角為，且|a|＝1，|2a－b|＝。

（1）求|b|。

（2）若a⊥（a－λb），求λ的值。

21.已知a，b，c分別是△ABC三個角A，B，C所對的邊，且滿足acosB＋bcosA＝。

26.如圖6，已知平面四邊形ABDC中，滿足cos∠ABD＝－且cos∠CBD＝。

圖6

（1）求∠ABC。

（2）若△ABC的外接圓的面積為3π，且，求△ABC的周長。

27.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2acosC＋c＝2b。

（1）若點M在邊AC上，且cos∠AMB，求△ABM的面積。

（2）若△ABC為銳角三角形，且b2＋c2＝a＋bc＋2，求b＋c的取值范圍。

參考答案與提示

一、選擇題

3.提示:對于A，單位向量的模相等，但方向不一定相同，A 錯誤。對于B，當a∥b時，其模|a|與|b|可能相等或|a|＝λ|b|，λ≥0或|b|＝λ|a|，λ≥0，B 錯誤。對于C，當|a|＝|b|且a與b同向時，可得a＝b，C錯誤。對于D，a＝λb（b≠0），則a與b是平行向量，D 正確。應選D。

12.提示:由平面向量平行的推論知A 正確。對于B，向量共線，只需兩向量方向相同或相反即可，點A，B，C，D不必在同一直線上，B 錯誤。對于C，由a·c＝b·c，可得（a－b）·c＝0，則（a－b）⊥c，不一定推出a＝b，C 錯誤。對于D，由平面向量中三角形重心的推論知D 正確。應選B，C。

二、填空題

三、解答題

21.提示:（1）由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入acosB＋bcosA＝得（sinAcosB＋sinBcosA）cosC＝sinC·cosA，即sin（A＋B）cosC＝sinCcosA。因為A＋B＝π－C，所以sin（A＋B）＝sinC，所以sinCcosC＝sinCcosA。

因為C是△ABC的內角，所以sinC≠0，所以cosC＝cosA。又A，C為三角形的內角，所以A＝C。