2021 年高考平面向量問題聚焦

■盧智軍

2021年高考對平面向量主要圍繞“向量平行或垂直的條件、向量的數量積運算、向量的線性運算、向量加減法的幾何意義以及最值”等問題展開，凸顯向量“數與形”雙重身份求解問題的數學素養。

聚焦1：向量平行與向量的線性運算

聚焦2：向量的模的有關運算

聚焦3：向量的數量積的幾何意義

例3（多選題）（2021年新高考全國卷）已知O為坐標原點，點P1（cosα，sinα），P2（cosβ，－sinβ），P3（cos（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），則（ ）。

回味：本題涉及平面向量的數量積及坐標運算，又涉及三角恒等變換，是一道難度適中的好題。

聚焦4：向量的坐標法的應用

解：建立平面直角坐標系xDy（如圖1），利用坐標關系進行判斷。

圖1

回味：借助數量積的坐標運算，探究軌跡方程，凸顯向量“數與形”的雙重身份。本題主要考查轉化能力和計算求解能力。

聚焦5：向量的數量積的最值問題

回味：通過向量的數量積運算，將所求問題轉化為解方程或解不等式或求函數值域，這是解決這類問題的常用方法。

聚焦6：向量與不等式的交匯問題

例6（2021年高考浙江卷）已知平面向量a，b，c（c≠0），滿足＝2，a·b＝0，（a－b）·c＝0。記向量d在a，b方向上的投影分別為x，y，d－a在c方向上的投影為z，則x2＋y2＋z2的最小值為____。

解：由題意可設a＝（1，0），b＝（0，2），c＝（m，n），則（a－b）·c＝m－2n＝0，即m＝2n。

回味：解答本題的關鍵是由平面向量的投影轉化為x，y，z之間的等量關系，再結合柯西不等式求得最小值。