平面向量常見典型考題賞析

■張文偉

平面向量是高中數學的重要概念，是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，并且是有效解決幾何問題的一種有力工具。向量概念引入后，全等和平行、相似、垂直、共線、軌跡等就可以轉換成向量的加減法、數乘向量、數量積運算，從而將圖形的基本性轉化為向量的運算體系。平面向量作為數學知識網絡的一個交匯點，它是聯系眾多知識的媒介與橋梁，因此以向量為工具成為高考命題的一個亮點。下面就平面向量常見的典型考題舉例分析，供大家學習與參考。

題型1：向量的有關概念

零向量和單位向量的兩個注意點:零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；單位向量的方向不定，所有的單位向量不一定相等。共線向量與平行向量的區別與聯系:平行向量也稱為共線向量，共線向量所在的直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同。解決與向量概念有關問題的關鍵是突出向量的核心——方向和長度。

例1下列說法正確的是（ ）。

A.數量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小

C.向量的大小與方向有關

D.向量的模可以比較大小

解：不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，A 不正確。方向相同的向量也不能比較大小，B 不正確。向量的大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，C不正確。向量的模是一個數量，可以比較大小，D 正確。應選D。

跟蹤訓練1：給出下列四個命題:①若向量a＝，則|a|＝|b|；②若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；③若向量是單位向量，則也是單位向量；④以坐標平面上的定點A為起點，所有單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓。

其中正確命題的序號____是 。

題型2：向量的表示及應用

向量的兩種表示方法:（1）幾何表示法，先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據向量的長度確定向量的終點；（2）字母表示法，為了便于運算可用字母a，b，c表示，為了聯系平面幾何中的圖形性質，可用有向線段的起點與終點表示向量，如等。用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎；用字母表示法表示向量，便于向量的運算。

例2某人從A點出發向東走了5m 到達B點，然后改變方向按東北方向走了m到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10m 到達D點。

解：（1）由題意作出向量，如圖1所示。

圖1

（2）由題意知，∠DBC＝∠DCB＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝（m），CD＝10（m），所 以BD＝10（m）。△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5（m），BD＝10（m），所以AD＝），所以）。

跟蹤訓練2：某次軍事演習中，紅方一支裝甲分隊為完成對藍軍的穿插包圍，先從A處出發向西迂回了100km 到達B地，然后又改變方向向北偏西40°走了200km 到達C地，最后又改變方向，向東突進100km 到達D處，完成了對藍軍的包圍。

提示：（1）由題意作出向量，如圖2所示。

圖2

題型3：相等向量和共線向量

相等向量與共線向量的探求方法:（1）尋找相等向量時，先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線；（2）尋找共線向量時，先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量。需要注意的是，在求解與向量平行相關的問題中，不要忽視零向量。

例3若四邊形ABCD是矩形，則下列說法不正確的是（ ）。

跟蹤訓練3：設a，b是兩個平面向量，則“a＝b”是“|a|＝|b|”的（ ）。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

提示：若a＝b，則|a|＝|b|，而|a|＝|b|不能推出a＝b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要條件。應選A。

題型4：向量的加減法運算

圖3

題型5：向量的數乘運算

證明或判斷三點共線的兩種方法:一般來說，判斷A，B，C三點共線，只需存在實數λ，使得即可；若存在實數x，y，使得且x＋y＝1，則A，B，C三點共線。證明向量共線，可根據向量共線定理，尋求唯一實數λ，使得b＝λa（a≠0）。已知向量共線求參數的值，可根據向量共線的條件轉化為相應向量的系數相等求解。若兩個向量不共線，必有向量的系數為零，利用待定系數法建立方程求得參數的值。

例5已知兩個非零向量a與b不共線。

（2）試確定實數k，使得ka＋b與a＋kb共線。

（2）由兩個向量共線，列出關于a，b的等式，再由a與b不共線求解。

由ka＋b與a＋kb共線，可知存在實數λ，使得ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，所以（k－λ）a＝（λk－1）b。因為a，b是不共線的兩個非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0，可得k2－1＝0，解得k＝±1。

跟蹤訓練5：設a，b是兩個不共線的向量。若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝____。

提示：因為向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ（8a＋kb）。由向量相等可得解得k＝－4（兩個向量的方向相反時λ＜0，也即k＜0）。

題型6：向量的數量積

求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數量積的關鍵。求向量的模，一般轉化為求模的平方，且與向量的數量積聯系，靈活運用公式a2＝|a|2，最后勿忘開方。利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化。

例6如圖4，在△ABC中，D是BC的中 點，E，F是AD上的兩個三等分點，＝－1，則的值是______。

圖4

圖5

題型7：平面向量基本定理

如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2。同一平面內的兩個不共線向量都可以作為基底，基底不唯一；同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的；基底給定時，分解形式唯一。e1，e2是同一平面內所有向量的一組基底，當a與e1共線時，λ2＝0；當a與e2共線時，λ1＝0；當a＝0時，λ1＝λ2＝0。由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底向量。

跟蹤訓練7：已知{a，b}是一個基底，實數x，y滿足（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，則x－y的值為____。

提示：因為{a，b}是一個基底，所以a與b不共線。又因為（3x－4y）a＋（2x－3y）b＝6a＋3b，所以解得x＝6，y＝3，所以x－y＝3。

題型8：平面向量的正交分解及坐標表示

平面向量的正交分解的實質上是平面向量基本定理的一種應用形式，只是兩個基底向量e1和e2互相垂直。由向量坐標的定義可知，兩個向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y2，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）。向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關。當向量確定以后，向量的坐標就唯一確定了，因此向量在平移前后，其坐標不變。

例8已知點O是△ABC內一點，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，設＝a，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量的坐標。（以O為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系）

解：建立如圖6所示的平面直角坐標系。

圖6

題型9：平面向量數乘運算的坐標表示

兩個向量a＝（x1，y1）與b＝（x2，y2）共線的三種表示方法:當b≠0時，a＝λb，這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系；x1y2－x2y1＝0，這是代數運算，用它解決向量共線問題的優點在于不需要引入參數，從而減少未知數的個數；當x2y2≠0時,，即兩向量的相應坐標成比例。

例9設向量a＝（2，x），b＝（－4，5），若a與b的夾角為鈍角，求x的取值范圍。

題型10：平面幾何中的向量方法

用向量方法解決平面幾何問題的“三部曲”:（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；（2）通過向量運算，研究幾何元素的關系；（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。這三部曲給出了利用向量的代數運算研究幾何問題的基本思想。在解決平面幾何問題時，將平面問題轉化為向量問題是關鍵。

例10已知A，B，C，D四點的坐標分別為（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），則此四邊形為（ ）。

A.梯形 B.菱形

C.矩形 D.正方形

題型11：向量在物理學中的應用

數學是物理解題過程中不可缺少的工具，向量是物理問題簡化的有力法寶。用向量方法解決物理問題的“三部曲”:（1）把物理問題中的相關量用向量表示；（2）轉化為向量問題中的模型，通過向量的運算使問題得以解決；（3）把結果還原為物理問題。

例11已知兩個力F1，F2的夾角為90°，它們的合力大小為10N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為（ ）。

A.5N B.5N C.10N D.5N

解：由題意畫出圖形，如圖7所示。

圖7

由題意得|F1＋F2|＝|F合|＝10，所以|F1|＝|F合|cos60°＝5（N）。應選B。

跟蹤訓練11：某人在靜水中游泳時，速度為4km/h。如果水流的速度為4km/h，他沿著垂直于對岸的方向前進，那么他實際前進的方向與河岸的夾角為（ ）。

A.90° B.30° C.45° D.60°

提示：由題意畫出圖形，如圖8所示。

圖8

題型12：余弦定理、正弦定理的應用

利用余弦定理和正弦定理可以解決求值問題，測量距離問題、高度問題、角度問題、面積問題等。

例12在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2A＋sin2C＝sin2B＋sinAsinC，若△ABC的面積為，則B＝_____，當a＋c的值最小時，△ABC的周長為_____。

跟蹤訓練12：如圖9，在海岸A處發現北偏東45°方向，距A處（－1）km 的B處有一艘走私船。在A處北偏西75°方向，距A處2 km 的C處的我方緝私船奉命以10km/h的速度追截走私船，此時走私船正以10km/h的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄。問:緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？求出所需時間。

圖9

提示：設緝私船應沿CD方向行駛th，才能最快截獲（在D點）走私船，則CD＝，BD＝10t。