描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量和物理規(guī)律解讀

■王 棟

軌跡是圓周或者一段圓弧的機(jī)械運(yùn)動(dòng)叫圓周運(yùn)動(dòng)，在相等的時(shí)間里通過(guò)的圓弧長(zhǎng)度相等的圓周運(yùn)動(dòng)叫勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在相等的時(shí)間里通過(guò)的圓弧長(zhǎng)度不相等的圓周運(yùn)動(dòng)叫變速圓周運(yùn)動(dòng)。描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量有線(xiàn)速度、角速度、周期、頻率、轉(zhuǎn)速、向心力、向心加速度等，物體做圓周運(yùn)動(dòng)遵循一定的物理規(guī)律，下面逐一闡述相關(guān)物理量和基本規(guī)律的具體內(nèi)容，供同學(xué)們參考。

一、描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量解讀

1.線(xiàn)速度（v）:描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體到達(dá)某一點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢的物理量。線(xiàn)速度的大小等于弧長(zhǎng)與通過(guò)這段弧長(zhǎng)所用時(shí)間的比值，用公式表達(dá)為v＝；線(xiàn)速度的方向?yàn)槲矬w通過(guò)某點(diǎn)時(shí)該點(diǎn)的切線(xiàn)方向。

2.角速度（ω）:描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量。角速度的大小等于物體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度與所用時(shí)間的比值，用公式表達(dá)為ω＝。在國(guó)際單位制中，角速度的單位是弧度每秒（rad/s），在運(yùn)算中可以簡(jiǎn)寫(xiě)為“s－1”。角速度是矢量，在中學(xué)階段，只需關(guān)注其大小，不要求判斷其方向。

3.周期（T）:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)一周所用的時(shí)間。

4.頻率（f）:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，在1s時(shí)間內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的圓周數(shù)。頻率的單位為s－1，為了紀(jì)念德國(guó)物理學(xué)家赫茲對(duì)物理學(xué)研究的貢獻(xiàn)，人們將頻率的單位命名為赫茲（Hz）。

5.轉(zhuǎn)速（n）:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)與所用時(shí)間的比值。轉(zhuǎn)速的常用單位轉(zhuǎn)每秒（r/s）或轉(zhuǎn)每分（r/min）都不是國(guó)際單位制中的單位，在運(yùn)算中需要換算成弧度每秒（rad/s）。

6.向心力（Fn）:做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的始終指向圓心的合力。向心力不是性質(zhì)力，而是效果力，它可以是由某個(gè)性質(zhì)力提供的，也可以是由幾個(gè)性質(zhì)力的合力提供的，因此在受力分析示意圖中不能作為物體受到的性質(zhì)力單獨(dú)標(biāo)注出來(lái)。

7.向心加速度（an）:物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終指向圓心的加速度。向心加速度的方向與向心力的方向相同，與線(xiàn)速度的方向垂直；向心加速度的大小可以根據(jù)速度或角速度大小與半徑利用公式an＝＝ω2r求出，也可以根據(jù)牛頓第二定律利用公式an＝求出。

二、圓周運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律解讀

1.描述圓周運(yùn)動(dòng)物理量之間的關(guān)系。

（1）線(xiàn)速度與角速度的關(guān)系:在圓周運(yùn)動(dòng)中，線(xiàn)速度的大小等于角速度大小與半徑的乘積，用公式表達(dá)為v＝ωr。

（2）周期與線(xiàn)速度的關(guān)系:在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，周期等于周長(zhǎng)與線(xiàn)速度的比值，用公式表達(dá)為T(mén)＝。

（3）頻率和周期的關(guān)系:頻率和周期互為倒數(shù)關(guān)系，用公式表達(dá)為f＝。

（4）向心力大小的表達(dá)式:Fn＝man＝。

例1如圖1所示，一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線(xiàn)垂直于水平面，圓錐筒固定不動(dòng)，圓錐筒的軸線(xiàn)與側(cè)面間的夾角為θ。兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著圓錐筒內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

圖1

A.小球A對(duì)筒壁的壓力大于小球B對(duì)筒壁的壓力

B.小球A的角速度等于小球B的角速度

C.小球A的運(yùn)動(dòng)周期小于小球B的運(yùn)動(dòng)周期

D.小球A的線(xiàn)速度大于小球B的線(xiàn)速度

解析

圖2

設(shè)兩小球的質(zhì)量為m，兩小球在各自所在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，兩小球受到的向心力必定在水平面內(nèi)指向圓心。作出小球A或B的受力分析示意圖如圖2 所示，小球的向心力由重力和支持力的合力提供，則Nsinθ＝mg，Ncosθ＝mω2r＝，解 得N＝，即兩小球受到的支持力相等，根據(jù)牛頓第三定律可知，兩小球?qū)ν脖诘膲毫ο嗟龋x項(xiàng)A 錯(cuò)誤。根據(jù)Ncosθ＝mω2r，rA＞rB可知，小球A的角速度小于小球B的角速度，選項(xiàng)B 錯(cuò)誤。根據(jù)T＝可知，小球A的運(yùn)動(dòng)周期大于小球B的運(yùn)動(dòng)周期，選項(xiàng)C 錯(cuò)誤。根據(jù)Ncosθ＝，rA＞rB可知，小球A的線(xiàn)速度大于小球B的線(xiàn)速度，選項(xiàng)D 正確。

答案：D

2.三種傳動(dòng)方式遵循的物理規(guī)律分析。

圖3

（1）共軸轉(zhuǎn)動(dòng):如圖3所示，A、B兩點(diǎn)在同軸的一個(gè)“圓盤(pán)”上，到軸（圓心）O的距離不同。當(dāng)“圓盤(pán)”繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)分別以半徑r和R（r＜R）做圓周運(yùn)動(dòng)，則A、B兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，線(xiàn)速度、角速度、周期滿(mǎn)足關(guān)系式ωA＝ωB，。

圖4

（2）皮帶傳動(dòng):如圖4所示，A、B兩點(diǎn)分別是兩個(gè)輪子邊緣上的點(diǎn)，兩個(gè)輪子用皮帶連接起來(lái)，且皮帶不打滑。當(dāng)皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)隨輪子一起轉(zhuǎn)動(dòng)，則A、B兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，線(xiàn)速度、角速度、周期滿(mǎn)足關(guān)系式vA＝vB，。

（3）齒輪傳動(dòng):如圖5所示，A、B兩點(diǎn)分別是兩個(gè)用齒嚙合的齒輪邊緣上的點(diǎn)，兩個(gè)齒輪的半徑分別為r、R，齒數(shù)分別為nA、nB。當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在相同時(shí)間內(nèi)兩個(gè)齒輪轉(zhuǎn)過(guò)的齒數(shù)相等，則A、B兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，線(xiàn)速度、角速度、周期滿(mǎn)足關(guān)系式vA＝vB，。

圖5

圖6

例2如圖6 所示為一皮帶傳動(dòng)裝置，主動(dòng)輪的半徑為r1，從動(dòng)輪的半徑為r2（r1＞r2），M為主動(dòng)輪邊緣上的點(diǎn)，N為從動(dòng)輪邊緣上的點(diǎn)。已知主動(dòng)輪沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速為n1（單位為r/s），轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中皮帶不打滑。下列說(shuō)法中正確的是（ ）。

A.從動(dòng)輪沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)

B.從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速為

C.M點(diǎn)的線(xiàn)速度大小為

D.N點(diǎn)的線(xiàn)速度大小為

解析

主動(dòng)輪沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，傳送帶沿M→N方向運(yùn)動(dòng)，故從動(dòng)輪沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。兩個(gè)輪子由皮帶傳動(dòng)，M點(diǎn)和N點(diǎn)的線(xiàn)速度大小相同，即vM＝vN，根據(jù)ω＝2πn，v＝ωr可知，2πn1r1＝2πn2r2，解得n2＝，選項(xiàng)B正確，C、D 錯(cuò)誤。

答案：B