圓周運動臨界問題的分析與求解

■胡勛合 劉 艷

物體由一種物理狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N物理狀態(tài)所處的過渡狀態(tài)被稱為臨界狀態(tài)，此時物體需要恰好滿足的物理條件被稱為臨界條件，解答臨界問題的關(guān)鍵是確定臨界狀態(tài)，找到臨界條件。下面我們就一起來研究圓周運動臨界問題的分析思路和求解策略吧！

一、水平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

物體在水平面內(nèi)做圓周運動，若只由摩擦力提供向心力，則恰好不發(fā)生（恰好發(fā)生）相對滑動的臨界條件是物體受到的靜摩擦力達到最大值；若由摩擦力與其他外力的合力提供向心力，則其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件具體分析判斷。

圖1

例1如圖1 所示，a、b、c三個小物 體放置在勻速轉(zhuǎn)動的大圓盤上，其中物體a的質(zhì)量最大，物體b、c的質(zhì)量相等，物體c距離圓盤中心O最遠，物體a、b距離圓盤中心O一樣遠，三個物體與盤面間的動摩擦因數(shù)相等。當圓盤轉(zhuǎn)速增大時，三個物體就會自動滑向圓盤邊緣。假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則下列說法中正確的是（ ）。

A.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，三個物體同時開始滑動

B.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體b先開始滑動

C.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體a、c先同時開始滑動

D.隨著圓盤轉(zhuǎn)速的逐漸增大，物體c先開始滑動

解析

三個物體隨圓盤一起轉(zhuǎn)動，靜摩擦力提供向心力。當物體受到的最大靜摩擦力小于物體做圓周運動所需的向心力時，物體開始滑動。設(shè)轉(zhuǎn)盤的角速度為ω，則物體做圓周運動所需的向心力F＝mω2R，物體受到的最大靜摩擦力f＝μmg，當mω2R＞μmg，即ω2R＞μg時，物體開始滑動。當圓盤轉(zhuǎn)速增大時，角速度ω增大，因為物體c做圓周運動的半徑最大，所以物體c先開始滑動，之后隨著圓盤轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，a、b兩物體同時開始滑動。

答案：D

例2如圖2 所示，一根不可伸長的輕繩一端系在質(zhì)量為m的小球A上，另一端系在一根豎直桿上的B點，小球的半徑r＝，B點到球心的距離為l。豎直桿以自己為軸轉(zhuǎn)動并達到穩(wěn)定，當豎直桿的角速度ω為多大時，小球恰好離開豎直桿？

圖2

解析

當小球恰好離開豎直桿時，小球與豎直桿間的作用力為零，小球在水平面內(nèi)以半徑r做勻速圓周運動，小球受到的重力和輕繩的拉力的合力提供小球做圓周運動所需的向心力。設(shè)小球恰好離開豎直桿時輕繩與豎直桿間的夾角為α，根據(jù)幾何關(guān)系得sinα＝，沿半徑方向有Tsinα＝mω2r，沿垂直于半徑方向有Tcosα＝mg，解得ω＝。

求解水平面內(nèi)圓周運動臨界問題的思路：（1）審清題意，確定研究對象；（2）找到研究對象做圓周運動的平面；（3）分析研究對象的運動情況，確定其做圓周運動的圓心、半徑、線速度、角速度、周期等物理量；（4）分析研究對象的受力情況，畫出受力分析示意圖，確定向心力的來源；（5）確定臨界狀態(tài)下研究對象的受力情況；（6）根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動公式列式求解。

二、豎直平面內(nèi)圓周運動的臨界問題

物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動，在中學階段一般只研究物體在最高點和最低點的運動情況，若連接物體的是輕繩（物體沿豎直平面內(nèi)圓環(huán)軌道內(nèi)側(cè)運動），則物體受到的重力和輕繩拉力（軌道支持力）的合力提供其做圓周運動所需的向心力，輕繩拉力（軌道支持力）等于0是物體能過最高點的臨界條件；若連接物體的是輕桿（物體沿豎直平面內(nèi)圓管軌道運動），則物體受到的重力和輕桿的拉力或支持力（圓管外側(cè)或內(nèi)側(cè)的支持力）的合力提供其做圓周運動所需的向心力，輕桿表現(xiàn)出的拉力突變?yōu)橹С至Γ▓A管表現(xiàn)出的指向圓心的支持力突變?yōu)楸诚驁A心的支持力）是物體的臨界條件。

圖3

例3如圖3 所示，一光滑的圓形軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道半徑為R，A、B兩點分別為軌道的最低點和最高點。一個可視為質(zhì)點的小球沿軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動。已知小球的質(zhì)量為m，重力加速度為g，下列說法中正確的是（ ）。

A.小球經(jīng)過最低點A時一定受到軌道對它豎直向上的支持力作用

B.若小球經(jīng)過最高點B時的速度v＝，則軌道對小球的作用力為零

C.若小球經(jīng)過最高點B時的速度v＜，則軌道對小球的作用力豎直向下

D.若小球經(jīng)過最高點B時的速度v＞，則軌道對小球的作用力可能等于0

解析

小球沿光滑的圓形軌道內(nèi)側(cè)做圓周運動，小球經(jīng)過最低點A時，所需的向心力方向豎直向上，受到的重力方向豎直向下，根據(jù)受力分析可知，必定受到軌道對它豎直向上的支持力作用，選項A正確。小球剛好能過最高點B的臨界條件是受到軌道對它的作用力等于0，重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心加速度公式得mg＝man，an＝，解得v＝，選項B正確。當v＜時，小球不能到達最高點B，選項C錯誤。當小球經(jīng)過最高點B時的速度v＞時，軌道對小球的作用力一定豎直向下，不可能等于0，選項D 錯誤。

答案：AB

例4如圖4 甲所示，長度為R的輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，在豎直平面內(nèi)繞O點轉(zhuǎn)動。小球運動到最高點時，輕桿與小球間的彈力大小為N，小球在最高點的速度大小為v，N-v2圖像如圖4乙所示。下列說法中正確的是（ ）。

圖4

A.當?shù)氐闹亓铀俣却笮锽.小球的質(zhì)量為

C.當v2＝c時，輕桿對小球的彈力方向向上

D.若v2＝2b，則輕桿對小球的彈力大小為mg

解析

輕桿對小球既可以產(chǎn)生拉力，也可以產(chǎn)生支持力。當小球運動到最高點時，若v＝0，則N＝a＝mg；若N＝0，則mg＝。聯(lián)立以上各式解得g＝，選項A正確，B錯誤。根據(jù)N-v2圖像可知，當v2＜b時，輕桿對小球的彈力方向向上，當v2＞b時，輕桿對小球的彈力方向向下。因此當v2＝c時，輕桿對小球的彈力方向向下，選項C 錯誤。若v2＝2b，則N＋mg＝，解得N＝a＝mg，選項D 正確。

答案：AD

求解豎直平面內(nèi)圓周運動臨界問題的思路：（1）確定研究模型是輕繩模型還是輕桿模型；（2）分析研究對象的運動情況，確定研究對象的臨界狀態(tài)；（3）分析研究對象的受力情況，畫出臨界狀態(tài)下研究對象的受力分析示意圖；（4）根據(jù)牛頓第二定律和圓周運動公式列式求解。

感悟與提高

圖5

1.如圖5所示，一根長度l＝1m 的細線一端拴一質(zhì)量m＝1kg的小球（可視為質(zhì)點），另一端固定在一光滑錐體頂端，錐體側(cè)面與豎直方向間的夾角θ＝37°，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。當小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運動時，若要小球離開錐面，則小球的角速度至少應為（ ）。

圖6

2.如圖6 所示，在粗糙木板上放一個物塊，使木板和物塊一起在豎直平面內(nèi)沿逆時針方向做勻速圓周運動。ab為水平直徑，cd為豎直直徑，在運動過程中木板始終保持水平，物塊相對木板始終靜止，下列說法中正確的是（ ）。

A.物塊始終受到三個力作用

B.只有在a、b、c、d四點，物塊受到的合外力才指向圓心

C.從a點到b點，物塊受到的摩擦力先增大后減小

D.從b點到a點，物塊處于失重狀態(tài)

參考答案：1.A 2.D