以繩連接模型為例談關聯速度的分析

■周 瑤

通過輕繩連接的不同物體，若在運動過程中的運動方向不都沿繩方向，則其速度雖不同，但必定存在某種聯系，我們可以利用運動的合成與分解分析連接體的關聯速度，下面舉例分析。

1.常見的繩連接模型如圖1所示。

圖1

2.繩連接模型的特點:連接體沿繩方向的速度分量大小相等。

3.連接體的合速度與分速度的關系:合速度是指物體的實際運動速度，分速度是指沿繩方向的分速度和垂直于繩方向的分速度，將兩分速度按照矢量運算法則合成可以得到合速度。

4.求解繩連接模型中關聯速度的方法:把物體的實際運動速度分解為沿繩方向和垂直于繩方向的兩個分量，根據沿繩方向的分速度大小相等列式求解。

例1如圖2所示，細線一端固定在天花板上的O點，另一端穿過一張光盤的中央小孔后拴著一個橡膠球，橡膠球靜止時，豎直懸線剛好挨著水平桌面的邊緣?，F將光盤按在桌面上，并沿桌面邊緣以速度v向左勻速移動，移動過程中，光盤中央小孔始終緊挨桌面邊緣。當細線與豎直方向間的夾角為θ時，橡膠球上升的速度大小為（ ）。

圖2

解析

將光盤水平向左移動的速度v分解為沿桌面上方傾斜段細線方向的速度v1＝vsinθ和垂直于這段細線方向的速度v2＝vcosθ，橡膠球上升的速度大小與光盤速度v沿細線方向的分速度v1大小相等，故v球＝vsinθ。

答案：A

點評

本題中光盤的速度v水平向左，可以分解到沿桌面上方傾斜段細線方向和垂直于這段細線方向上；橡膠球上升的速度v球沿細線方向，等于光盤速度v沿細線方向的分速度。

注意：處理繩連接體的關聯速度問題時，一定要找到物體實際發生的運動（合運動），將合速度分解到沿繩方向和垂直于繩方向上，而不要分解分速度。

圖3

例2如圖3 所示，重物沿豎直桿下滑，并通過一根跨過定滑輪不可伸長的細繩拉動小車沿水平面向右運動。當定滑輪右側的細繩與豎直方向成β角，且重物下滑的速度為v時，定滑輪左側的細繩與水平方向成α角，則小車的速度為（ ）。

解析

圖4

小車的實際運動方向水平向右，重物的實際運動方向豎直向下，將小車的速度v車和重物的速度v按運動效果進行分解如圖4 所示，則小車沿細繩方向的分速度v1＝v車cosα，重物沿細繩方向的分速度v3＝vcosβ。因為細繩不可伸長，所以重物和小車沿細繩方向的分速度大小相等，即v1＝v3，解得v車＝。

答案：D

點評

本題中重物和小車的速度都不沿細繩方向，需要先將兩個物體的速度分別分解到沿細繩方向和垂直于細繩方向上，再利用兩個物體沿細繩方向的分速度大小相等，建立關聯方程，求出小車的速度。

拓展：同學們在平時的訓練中還會遇到桿連接模型、彈簧連接模型或接觸連接模型的關聯速度問題，求解時可以借助上述處理繩連接模型關聯速度問題的思路和方法。

感悟與提高

圖5

1.如圖5所示，將質量為2m的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端跨過定滑輪系一質量為m的小環，小環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿間的距離為d。現將小環從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當小環沿直桿下滑的距離也為d時（圖中B處），下列說法中正確的是（重力加速度為g）（ ）。

A.小環剛釋放時，輕繩的張力一定大于2mg

B.小環到達B處時，重物上升的高度為（－1）d

C.小環到達B處時，小環的速度與重物的速度大小之比等于

D.小環到達B處時，小環的速度與重物的速度大小之比等于

圖6

2.如圖6所示，汽車A與木箱B位于同一水平地面上，一根輕繩跨過光滑定滑輪一端拴在汽車A上，另一端拴在木箱B上，汽車A水平向右行駛，通過輕繩拉動木箱B也向右運動，當二者運動到圖示位置時，定滑輪兩側輕繩與水平方向間的夾角分別為α、β，二者的速度分別為vA和vB，則vA∶vB等于（ ）。

A.1∶1 B.sinα∶sinβ

C.cosβ∶cosαD.sinα∶cosβ

參考答案：1.ABD 2.C