抓“結構”，明“內涵”，自主建構運算模型
——蘇教版四下“乘法分配律”教學實踐研究

江蘇省南京市溧水區洪藍中心小學 曹慧清

乘法分配律是學生到了中學學習合并同類項和提取公因式這兩大知識的基礎，它與加法交換律、加法結合律、乘法交換律和乘法結合律被譽為“數學大廈的基石”，相較于其他四個運算律而言，學生對乘法分配律的領悟和融會貫通顯得尤為困難。它溝通了乘法和加法這兩種運算之間的聯系，同時含有乘法和加法使算式形式變換更加多樣復雜，外在形式相似而并非是這一運算模型又或者是外在形式不符合模型的“標準形式”但本質卻是乘法分配律運算模型的算式結構往往有著強烈的干擾作用。另外，雖然學生之前接觸過一些有關乘法分配律的算式，但是那時的學生對于乘法分配律處于無意識狀態，且乘法分配律的形式與原有的認知結構中的運算律模型差異較大，所以其實學生對于乘法分配律的學習缺少易同化的認知基礎，知識鏈難以連接，這些都增加了抽象和概括出乘法分配律并應用的難度。那么，如何引導學生探索并發現概括出乘法分配律？怎樣引導學生理解乘法分配律的本質內涵并應用？如何做才能充分發揮出運算律教學的潛在價值？基于上述的思考，展開了以下的嘗試。

一、解構重組，建構模型

1.喚醒經驗，感知規律。

《禮記·學記》中說：“故君子之教，喻也。道而弗牽，強而弗抑，開而弗達?！苯逃业谒苟嗷菀苍赋觯骸敖虒W的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒、鼓舞?！庇捎谠趯W習乘法分配律之前，學生已經接觸了一些關于乘法分配律的內容，只是當時學生處于無意識狀態，并沒有專門地展開具體內容的教學。現在，擺在面前的問題是：如何利用好學生已有的知識經驗，貼合學生的認知水平順勢而教？

對此，教師在對執教學生實際情況調查的基礎上，再結合教學的具體內容及其特點，采用了通過喚醒學生已有經驗，在解構重組的基礎上喚醒和促進學生對規律感知的教學方式展開教學。

案例分析：

核心問題：要知道籃球場的周長是多少米，可以通過怎樣的方式列出綜合的計算式？例如，籃球場長28米，寬15米，那么，籃球場的周長是多少米？

教師先不直接給出解答方案，要求學生自主探索解答的途徑，從學生解答的反饋結果來看，主要呈現出如下的兩類不同的計算式子：

據此，教師進一步追問：兩種不同的算式分別是怎樣想的，每一步對應長方形的哪部分？如果這里把長方形的長改為30米，寬改為40米，你能列出兩種不同的綜合算式嗎？

學生在提供解答結果之后，教師趁熱打鐵，繼續發問：如果長變為50米，寬變為75米呢？你還會列嗎？在這幾組不同的算式之間你有沒有發現什么？（或者此時，學生已經有所察覺，從而得出兩種算式之間可以用等號連接）

即學生通過發現之后，得到：

（28＋15）×2=28×2＋15×2

（30＋40）×2=30×2＋40×2

（50＋75）×2=50×2＋75×2

教師提問：誰能概括表達出這些算式？

學生回答：（長+寬）×2=長×2＋寬×2

在此處，教師不停地變換長方形的長和寬的數值而沒有急于把“（長＋寬）×2=長×2＋寬×2”這一算式引出，其原因在于是想讓學生明白變中有不變，這兩個算式相等其實與具體的數值是沒有關系的，而與其形式結構有關。導致上述結果的原因主要在于其中隱含了一種規律，需要學生去進一步探索、發掘。

因此，接著針對這一算式深入發問：誰能結合長方形的圖形說說為什么左邊的算式等于右邊的算式？

對算式相等合理性的解釋說明利于學生后續對于模型的理解，另外在乘法分配律的應用過程中，發生（a+b）×2=a+b×2的錯誤并不偶然，恰恰相反，是教學過程中學生經常容易犯下的一種具有代表性的錯誤。在此處，借助于學生們所熟知的長方形周長公式及結合圖形說理的過程，以先入為主的形象給學生指出了錯誤的原因。如此，便能夠有助于學生展開后續的知識學習，提高解題的正確率。

在完成空格填寫之后，要求學生陳說自己每一步是怎么計算的，并提問他們在這個過程中發現了什么規律？得到25×2＋25×10=25×（10＋2）這個算式和長方形的周長算式正好一“正”一“反”，在不刻意中破除了關于乘法分配律結構上的思維定式，即不只是(a+b)×2=a×2+b×2也可以是a×2+b×2=(a+b)×2，進而突破了如何展開逆向性思維教學難點。

杜威在對教育的定義時指出：“一切教育都是通過個人參與人類的社會意識而進行的。這個過程幾乎是在出生時就在無意識中開始了?！睋私Y合筆者的實際教學經驗，可以這么認為：利用學生熟悉的知識經驗引入新課，從而使得教學的展開順其自然，而無需刻意、強制性地給學生灌輸知識，從而能夠讓學生們在自然、熟悉、和諧的學習氛圍中展開學習，樂于學習與接納新的數學知識，從而能獲得真實有效的學習技能和學習體驗。

2.舉例觀察，抽象模型。

關于運算律的教學價值，其實從長遠來看，通過部分個例獲得一個發現，然后抽象出一般的數學規律的教學過程，我們可以幫助學生了解知識的發現和創生發展的過程，感知到可以從偶然的現象中發現必然的規律，學生一旦有了這樣的意識和獲得了發現的方法，也就會有創造和創新的可能。

仍舊以前文的案例展開分析。向學生提問：基于以上規律的感知發現，你們會發現，上面這幾組式子都有一個非常明顯的相同之處，那么這到底是因為湊巧出現的還是包含著共同的規律呢？如果左邊的式子是“（3＋2）×5”，那么右邊可以怎樣寫呢？如果可以寫出來，右邊的式子你又是根據規律什么寫出來的？左右兩個式子通過驗證是否一定相等？

學生通過口算的方式驗證組成的等式。教師繼續驗證：再寫幾組類似的算式，通過驗證等式一定是成立的嗎?并要求學生以小組的形式展開交流，即用學生喜歡的方法將這個規律告訴小組成員。通過學生們的熱烈討論，教師再進一步地揭題如下，即這其中的規律正是乘法分配律。此運算規律可以從左往右看，也可以從右往左看，其意義是等同的。

至此，學生們通過自己的思考、探討的教學過程，同時也是經歷了一個建構運算律數學模型的過程，顯然，這一教學過程是有利于培養學生的思維能力的。同時，對于學生特別要強調的是，我們在引導學生發現規律的過程中，要給足學生探索的空間，讓學生得以利用已有的知識和經驗，在探索和交流中，把感性認識發展為理性認知，合理建構知識框架。

3.說理辨意，凸顯本質。

以上教學過程大體都是讓學生通過計算解答后發現左右兩個算式的結果相等，用算式解答的一致性來獲得乘法分配律左右兩部分的一致性。這樣的話，學生更多關注的是乘法分配律的外在形式而不是它的本質內涵，也就是“幾個幾加幾個幾等于幾個幾”。那么接下來，教學重點就要放在理解意義促提升上，讓學生對乘法分配律的認知更深刻，對乘法分配律的內在機理更清楚。

出示教材例題。在學生列出左右相等的算式后，追問：你能根據實際問題說說為什么左右兩邊相等嗎？

這里沒有利用例題引入新課而是把例題放在了說理辨析這部分，是想讓學生在結合具體情境時能將乘法分配律的內涵說清楚說明白，更想讓學生利用這道例題理解乘法分配律的本質。

二、多元表征，深化認知

1.豐富情境，深化認知。

接著在例題的基礎上，對學生提出編題的要求，給學生算式1：（5+7）×4和算式2：5×4+7×4，根據算式編一道實際問題。乘法分配律的建構需要基于豐富的素材，而這樣的素材不僅可以由老師提供，學生自己也能創生出來，在把乘法分配律還原到學生自己熟悉的情境的過程中，他們就建立了乘法分配律的結構認知和意義認知，從而在理解本質的基礎上建構了乘法分配律的模型。

2.數形結合，直觀感知。

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休?！睌敌谓Y合可以使得復雜的問題變得簡單明了，抽象的問題變得具體清晰，實現解題途徑得以優化的目的。這里利用形象直觀的圖形可以幫助學生更好地領悟乘法分配律的意義。從深層次理解數學建模的過程，透徹而深刻的理解乘法分配律的內涵。

借助幾何直觀圖形，通過數形結合思想有效幫助學生理解運算公式，加深對數學公式的理解。教學中引入學生生活中熟悉的幾何圖形，為學生學習乘法分配律架構起了方便的橋梁，使數形結合思想在教學中發揮真正效用，一方面拉近學習與現實的距離，一方面讓學生掌握知識的內涵。因此，將幾何直觀引入乘法分配律教學過程中，可以使學生對乘法分配律的數學模型形成深刻認知。

首先通過課件向學生呈現教材主題圖，根據學生熟悉的生活情境提出問題：小明家裝修，要給衛生間貼瓷磚，左邊墻壁需要貼6排瓷磚，每排貼5塊，右邊墻壁需要貼4排瓷磚，每排貼5塊，貼完衛生間需要多少塊瓷磚？

在讓學生解決問題之前，先引導學生畫出圖形，再列算式計算。預設學生有兩種解答方式：第一種：（6+4）X5=50（塊）；第二種：6X5+4X5=50（塊）。

師：請同學們仔細觀察課件出示的圖形，（如下圖所示），然后在小組討論兩組算式為何相等。

生：因為等號左邊的小正方形個數是10個5相加，也就是50個，右邊的小正方形個數是6個5和4個5相加，按照先乘后加的運算順序，算出的結果也是50個，所以兩組算式結果相等。

在理解圖形含義的過程中，學生還會回顧起長方形的面積計算公式，不難看出，圖形的引入有助于學生理解算理。同時學生在回答解決問題的過程時，還應要求學生使用數學語言表達，促進學生對乘法分配律的提煉和總結。所以，教師在開展課堂教學時，既要引導學生復習乘法的意義，同時還要借助數形結合思想，為學生認知活動提供豐富的表象素材，感受數與形的完美融合，進而理解知識的本質，為構建完整的數學模型奠定堅實基礎。

對同一個概念從不同的角度切入去進行表征和建構，既能加深對該概念的領悟，同時又能增強將這一概念遷移至其他領域的能力。在多元表征乘法分配律的過程中，不僅提升了學生對于這一運算律的認知，也增強了之后使用乘法運算律的能力。

三、分層練習，活用模型

練習需要體現層次性和遞進性，首先安排了符合乘法分配律基本模型的算式供學生填寫，鞏固對乘法分配律形式上的掌握；然后出示幾組對比練習，需要根據意義靈活應用乘法分配律；最后拓展練習，提升對乘法分配律應用能力。

1.基本練習，形成技能。

填空：在□里填上合適的數，○里填上運算符號。

這幾組基礎填空題，幫助學生鞏固對乘法分配律形式上的掌握，難度也是逐題遞增的，在不變換形式的基礎上，對里面的數據進行調整，不斷鞏固學生對乘法分配律基本形式的掌握。

2.對比練習，靈活應用。

對于運算模型意義上的理解，其重要性要遠遠勝于對運算模型形式上的模仿，面對靈活多變的變式題，學生需要發現算式的本質內涵，從而尋找到這些變式與運算律之間的聯系，這里將一些易混易錯題組成題組，通過對比幫助學生掌握乘法分配律的本質。

3.拓展練習，提升能力。

拓展題型A：13×7＋17×7＋20×7=

拓展題型B:35×67－25×67=

拓展題型C:9×（18-12）=

在學生充分理解算理的基礎上，適時安排了拓展練習，使學生對知識的掌握由淺入深、由表及里，實現了對乘法分配律有效的延伸和拓展，學生對乘法分配律的理解也由最初的借助圖形形象理解上升為抽象層面的理解，在深入理解和透徹分析的層次上對乘法分配律進行了建構和融合。