優(yōu)化的分數(shù)階GM(1,1)模型在橋梁線形控制中的應(yīng)用

洪曉江，張雪松，郭 寧，李鴻鳴

(1. 西昌學院 土木與水利工程學院,四川 西昌 615000； 2. 重慶交通大學 土木工程學院, 重慶 400074；3. 成都理工大學 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室, 四川 成都 610059)

0 引 言

預(yù)拱度是大跨度懸臂橋梁施工線形監(jiān)控中的重要調(diào)節(jié)參數(shù)，通過提高預(yù)拱度的預(yù)測精度能保證施工階段和成橋狀態(tài)的線形盡可能地達到設(shè)計要求。隨著橋梁跨度的逐漸增大和施工方法的不斷更新，預(yù)拱度控制不僅顯得尤為重要，也對其精度、穩(wěn)定性等各項性能指標提出了更高的要求。從現(xiàn)代控制理論角度出發(fā)，大跨徑剛構(gòu)橋梁線形監(jiān)控是一個非線性和時變性的不確定性系統(tǒng)問題?？刂品椒ㄕ鸩綇膫鹘y(tǒng)的建模計算、人工測量、反饋分階段控制轉(zhuǎn)變?yōu)橹悄芑谋O(jiān)測預(yù)警預(yù)測一體化的自適應(yīng)控制。計算理論已由單純的力學問題演變?yōu)榱W、數(shù)學、計算機和信息技術(shù)等多學科的綜合問題。

目前常用的預(yù)拱度預(yù)測方法主要分為兩大類，第1類是基于大數(shù)據(jù)、多樣本的概率論與隨機過程模型，以卡爾曼濾波[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2]為代表；第2類基于少數(shù)據(jù)、貧信息的控制論模型，以灰色模型理論為代表。大跨徑剛構(gòu)橋梁懸臂施工具有節(jié)段數(shù)量有限、線形狀態(tài)受施工參數(shù)影響復(fù)雜多變的特點，灰色預(yù)測理論正好適用于解決此類問題。灰色理論自20世紀80年代誕生以來，已經(jīng)成功運用于軍、工、農(nóng)、醫(yī)、交通等諸多領(lǐng)域，在大跨徑剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控方面也取得了許多成果。張永水等[3]首次將GM(1,1)引入剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控，驗證了其可行性。為了彌補傳統(tǒng)GM(1,1)的不足和提高預(yù)測精度，許多學者做了相關(guān)研究；李自林等[4]在連續(xù)剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控中利用殘差序列建立了殘差GM(1,1)模型，預(yù)測結(jié)果顯示殘差GM(1,1)優(yōu)于傳統(tǒng)GM(1,1)；包儀軍等[5]針對GM(1,1)的背景值構(gòu)造方法進行了改進，建立了一個效果較好且穩(wěn)定的懸臂橋梁線形預(yù)測模型；另外，姚榮等[6-7]均將GM(2,1)與GM(1,1)做了仿真對比分析，結(jié)論各異，說明了原始撓度數(shù)據(jù)的趨勢關(guān)系特性應(yīng)與合理的階數(shù)相匹配才能避免出現(xiàn)病態(tài)預(yù)測，進而提高預(yù)測效果的穩(wěn)定性。

綜上所述，整數(shù)階階數(shù)的灰色模型在大跨度橋梁施工監(jiān)控領(lǐng)域中已得到了廣泛的應(yīng)用，但是基于分數(shù)階階數(shù)的灰色模型在該領(lǐng)域的研究和應(yīng)用幾乎沒有。近年來，分數(shù)階灰色模型得到很高的關(guān)注度，它是對整數(shù)階灰色模型的拓展，有其特有的優(yōu)勢。孟偉[8]研究表明：相比整數(shù)階灰色模型，分數(shù)階灰色模型不僅能滿足新信息優(yōu)先原則，而且在樣本數(shù)量達到最優(yōu)時預(yù)測具有穩(wěn)定性好、擾動小和精度高的特點。鑒于此，筆者將分數(shù)階算子GM(1,1)引入大跨徑剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控，并對模型背景值進行優(yōu)化，得到改進的分數(shù)階GM(1,1)預(yù)測模型。通過實例驗證新模型的擬合和預(yù)測效果，以期有一定的實際應(yīng)用價值。

1 基于牛頓插值的分數(shù)階GM(1,1)模型

1.1 分數(shù)階拓展算子的GM(1,1)模型

分數(shù)階GM(1,1)模型的差分形式為：

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(1)

式中：a為模型的發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。背景值z(r)(k+1)的常用構(gòu)造公式為：

(2)

(3)

當r=1時，由式(1)可得到x(0)(k)+az(1)(k)=b，模型變?yōu)閭鹘y(tǒng)的GM(1,1)。

1.2 基于牛頓差值的分數(shù)階GM(1,1)模型

實際上，背景值z(r)(k+1)的精確解為：

(4)

而式(2)是根據(jù)牛頓-柯特斯(Newton-Cotes)求積公式得到的梯形積分數(shù)值解，該公式只有1次代數(shù)精度。大量文獻已證明該近似計算方法會影響預(yù)測精度[9-11]。另外，經(jīng)計算驗證，若采用具有3次代數(shù)精度的辛普森公式進行一次牛頓差值計算，所得背景值構(gòu)造公式與式(2)相同，并未真正意義上進行優(yōu)化。在保證求積公式穩(wěn)定及收斂的前提下，為了進一步提高代數(shù)精度的次數(shù)，減小逼近誤差，選用具有3次代數(shù)精度的求積公式對式(4)進行二次牛頓插值求解，從而得到一個精度較高的分數(shù)階灰色模型背景值構(gòu)造公式。

根據(jù)牛頓-科特斯數(shù)值積分計算公式，具有3次代數(shù)精度的背景值構(gòu)造公式為：

(5)

Nk(t)=x(r)(k)+x(r)[k,k+1]×(t-k)+x(r)[k,k+1,k+2]×(t-k)×[t-(k+1)]

(6)

(7)

(8)

將式(7)和式(8)代入式(5)，可得k=1,2,…,n-2 時的背景值構(gòu)造公式為：

(9)

而計算z(r)(n)應(yīng)以最后3個節(jié)點n-2、n-1和n進行插值計算，同理可得：

(10)

綜上所述，可得到基于二次牛頓插值的分數(shù)階GM(1,1)模型，形式為：

x(r-1)(k)+az(r)(k)=b

(11)

其中：

(12)

1.3 最優(yōu)分數(shù)階的算法步驟

階數(shù)是分數(shù)階灰色模型提高精度的關(guān)鍵因素。最優(yōu)階數(shù)r的求解以最小平均相對誤差為優(yōu)化指標，優(yōu)化公式為：

(13)

以自適應(yīng)變異粒子群優(yōu)化算法(簡稱PSO)[12-13]搜索最優(yōu)階數(shù)r。該算法不僅計算簡潔便于實現(xiàn)，且具有全局收斂性能，主要流程為：

Step 1初始化參數(shù)。δ為給定的收斂值，gbest設(shè)置為最佳粒子位置，取粒子初始位置pbest=r=1，此時模型為GM(1,1)。

Step 2根據(jù)式(13)計算pbest=r時分數(shù)階模型的f(r)。當|f(pbest)-f(gbest)|<δ時，轉(zhuǎn)向Step 4；否則，執(zhí)行Step 3。

Step 4輸出收斂準則下的r值，即為分數(shù)階灰色模型的最優(yōu)階數(shù)。

2 連續(xù)剛構(gòu)橋線形監(jiān)控實例

重慶石柱至黔江高速公路上在建的里頭河大橋主橋是跨徑為70 m+130 m+70 m的預(yù)應(yīng)力混凝土變截面連續(xù)剛構(gòu)橋，采用懸臂澆筑法施工。節(jié)段劃分為：0號塊，1號～16號懸臂澆筑段，合龍段。以3# 墩向中跨部分懸臂澆筑線形控制為例，其向跨中側(cè)懸臂澆筑節(jié)段尺寸如圖1。為了保障順利合龍以及成橋后橋面線形良好，需通過有限元軟件模擬仿真分析和現(xiàn)場監(jiān)測相結(jié)合的方法，對主梁施工過程中的預(yù)拱度變化狀態(tài)進行有效地計算、監(jiān)測、分析和預(yù)測，已達到自適應(yīng)控制。

圖1 懸臂澆筑節(jié)段(單位：cm)Fig. 1 Cantilever casting section

首先，利用有限元軟件建立力學計算模型，如圖2。通過對各工況進行正裝分析，計算各施工節(jié)段的應(yīng)力和位移等參數(shù)，模型包含156個單元。其次，在各個節(jié)段施工時，在距離節(jié)段前10 cm布置高程測試截面，如圖1。每個截面布置5個高程控制點，用于測試實際預(yù)拱度，如圖2。最后，通過對已澆筑節(jié)段預(yù)拱度的理論值、實測值進行對比分析，尋找偏差原因，從而調(diào)整參數(shù)，預(yù)測下一節(jié)段的預(yù)拱度。

圖2 力學計算模型Fig. 2 Mechanical calculation model

圖3 橫斷面控制點布置(單位：cm)Fig. 3 Layout of cross section control points

限于篇幅，表1列出了4號～8號節(jié)段的高程控制橫斷面上的2# 監(jiān)測點在預(yù)應(yīng)力張拉后的預(yù)拱度監(jiān)測數(shù)據(jù)。從數(shù)據(jù)變化可推斷出，計算參數(shù)取值誤差、測量誤差以及現(xiàn)場施工環(huán)境多變等原因?qū)е铝烁鞴?jié)段實測預(yù)拱度值均大于理論值。

表1 部分節(jié)段預(yù)拱度監(jiān)測數(shù)據(jù)Table 1 Partial segment camber monitoring data

3 模型預(yù)測及對比分析

3.1 基于牛頓差值的分數(shù)階GM(1,1)模型應(yīng)用

從樣本數(shù)量角度出發(fā)，不少于4個數(shù)據(jù)序列建立灰色模型進行線形監(jiān)控預(yù)測可進一步減小預(yù)測誤差[14]。因此，選取表1中4號～8號節(jié)段的預(yù)拱度監(jiān)測數(shù)據(jù)為原始樣本數(shù)據(jù)建立基于二次牛頓插值的分數(shù)階GM(1,1)。

首先，以4號～8號節(jié)段張拉后預(yù)拱度實測值與理論值的差值為模型原始序列X(0)，則：

X(0)=(5.3,8.6,12.5,13.2,18.6)

通過PSO算法，以最小平均相對誤差為指標，搜索得最優(yōu)階數(shù)r=0.54，此時構(gòu)造的背景值為：

Z(0.54)=[9.223 1,16.355 5,23.863 1,33.460 8]

最后，經(jīng)過累減生成的原始序列模擬值為：

圖4 原始序列與模擬序列對比Fig. 4 Comparison of original sequence and simulated sequence

3.2 預(yù)測精度對比分析

為了檢驗?zāi)Ｐ驮谶B續(xù)剛構(gòu)橋梁預(yù)拱度預(yù)測的精度，將文中模型、傳統(tǒng)GM(1,1)以及分數(shù)階GM(1,1)分別用于模擬4號～8號節(jié)段的預(yù)拱度數(shù)據(jù)，并用誤差檢驗的殘差ε(k)、相對誤差Δk以及平均相對誤差Δ共3個指標進行精度評定，結(jié)果如表2。

預(yù)測結(jié)果可見，分數(shù)階GM (1,1)預(yù)測得到的各個值的殘差、相對誤差均有所減小。更重要的是，分數(shù)階GM(1,1)的預(yù)測平均相對誤差為6.0%，相比傳統(tǒng)的GM(1,1)模型減少了6.1%，充分說明了對GM(1,1)階數(shù)的優(yōu)化可以改善預(yù)測效果。在分數(shù)階模型處理中，文中模型將背景值參數(shù)構(gòu)造方法的代數(shù)精度進一步提高，增強了原始序列的平滑效果，弱化了極端值的影響，使平均相對誤差減小到3.1%。

表2 不同灰色模型預(yù)測精度比較Table 2 Comparison of prediction accuracy of different grey models

4 結(jié) 論

針對傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型用于大跨徑剛構(gòu)橋梁會出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象和預(yù)測精度不高的問題，筆者將分數(shù)階算子GM(1,1)模型引入大跨度橋梁預(yù)拱度預(yù)測，并建立了一種基于牛頓二次插值的分數(shù)階GM(1,1)新模型，實現(xiàn)了對傳統(tǒng)GM(1,1)模型的階數(shù)和背景值的雙重優(yōu)化。得出以下結(jié)論：

1)與傳統(tǒng)的GM(1,1)相比，分數(shù)階GM(1,1)模型具有自適應(yīng)擬合和新信息優(yōu)先的優(yōu)點。在最優(yōu)分數(shù)階狀態(tài)下，所得到的模型的平均相對誤差最小。

2)將傳統(tǒng)的GM(1,1)的階數(shù)由整數(shù)拓展到分數(shù)，可以改善模型的預(yù)測精度；背景值的構(gòu)造由傳統(tǒng)的梯形求積公式優(yōu)化為具有三次代數(shù)精度的二次牛頓插值求積公式，增強了原始序列的平滑效果，弱化了極端值對灰色預(yù)測模型精度的影響。

3)工程實例應(yīng)用表明，將分數(shù)階GM(1,1)引入大跨徑剛構(gòu)橋梁施工監(jiān)控是可行的，優(yōu)化的分數(shù)階GM(1,1)可以進一步預(yù)測精度較高，對于同類型的橋梁施工控制有一定的參考價值。