基于分布式部分連接結(jié)構(gòu)的多用戶大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼

張雷，王勤

（成都大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院，四川 成都 610106）

0 引言

貝爾實(shí)驗(yàn)室Marzetta 等[1]提出的大規(guī)模MIMO（massive multiple-input multiple-output）技術(shù)，通過在基站配置大量天線，并結(jié)合發(fā)射預(yù)編碼和接收合并處理，能極大提升系統(tǒng)頻譜效率和功率效率，不僅成為5G 的關(guān)鍵技術(shù)之一[2]，在后5G 及6G 移動(dòng)通信中還將繼續(xù)發(fā)揮重要作用[3-4]。

在下行傳輸中，大規(guī)模MIMO 理論上可采用全數(shù)字預(yù)編碼以獲取最優(yōu)性能。然而，基帶的數(shù)字化處理要求每個(gè)天線具有獨(dú)立的射頻鏈路。相較于傳統(tǒng)MIMO，大規(guī)模MIMO 天線數(shù)量巨大，導(dǎo)致成本和功耗急劇上升（毫米波頻段通信尤甚），從而制約了其實(shí)際應(yīng)用。因此，學(xué)術(shù)界提出了射頻鏈路數(shù)小于基站天線數(shù)的模數(shù)混合預(yù)編碼方案[5-6]，其基本思想是將預(yù)編碼分解為基帶低維數(shù)字預(yù)編碼和射頻高維模擬預(yù)編碼2 個(gè)部分，且后者通常使用簡單的移相器實(shí)現(xiàn)，從而以較小性能損失達(dá)到大幅降低成本和功耗的目的。

大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)主要包括全連接和部分連接兩大類。早期研究者通常采用全連接結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)[5-7]，即每個(gè)射頻鏈路通過移相器與所有天線相連，所需移相器數(shù)等于天線數(shù)與射頻鏈路數(shù)之積，導(dǎo)致成本和功耗仍然較高。因此，研究者又提出了部分連接結(jié)構(gòu)[8-11]，即每個(gè)射頻鏈路僅與互不交疊的天線子陣列相連，所需移相器數(shù)等于天線數(shù)。在預(yù)編碼器設(shè)計(jì)方面，由于最優(yōu)的數(shù)字預(yù)編碼和模擬預(yù)編碼具有內(nèi)在耦合關(guān)系且相應(yīng)優(yōu)化問題具有非凸性質(zhì)，因此很難求得最優(yōu)解。文獻(xiàn)[8]考慮單用戶的全連接結(jié)構(gòu)，提出基于正交匹配追蹤的求解算法，其性能接近最優(yōu)全數(shù)字預(yù)編碼，但復(fù)雜度極高。針對(duì)單用戶的部分連接結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[9-10]分別研究了單載波情形的串行干擾消除預(yù)編碼算法和多載波情形的并行預(yù)編碼處理框架，文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了注水結(jié)合迭代算法的混合預(yù)編碼器。上述研究表明，相比全連接結(jié)構(gòu)，部分連接結(jié)構(gòu)雖性能有一定損失，但成本、功耗和復(fù)雜度卻更有優(yōu)勢，故成為近年來大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼的主流結(jié)構(gòu)之一。然而，以上方案也存在兩點(diǎn)缺陷：一是僅針對(duì)單用戶系統(tǒng)研究，數(shù)字預(yù)編碼采用的奇異值分解等方法難以推廣至多用戶情形，與存在大量少天線甚至單天線用戶端的典型場景不太相符；二是多采用迭代等復(fù)雜算法，難以用于實(shí)際系統(tǒng)。

針對(duì)多用戶的全連接結(jié)構(gòu)，為降低計(jì)算復(fù)雜度，文獻(xiàn)[7]摒棄了以上迭代求解的思路，提出基于相控迫零（PZF,phased zero-forcing）的混合預(yù)編碼方案，首先直接提取信道系數(shù)的相位設(shè)計(jì)模擬預(yù)編碼矩陣，然后對(duì)模擬預(yù)編碼矩陣和信道矩陣之積構(gòu)成的等效信道矩陣實(shí)施簡單的迫零數(shù)字預(yù)編碼。該方案能分別獲得模擬域和數(shù)字域的簡單閉合解，且能在模擬域獲得類似傳統(tǒng)等增益發(fā)送的子陣列增益，總體性能相對(duì)于全數(shù)字預(yù)編碼損失不大。隨后，文獻(xiàn)[12]將文獻(xiàn)[7]的相控模擬預(yù)編碼環(huán)節(jié)應(yīng)用于單用戶的部分連接結(jié)構(gòu)，提出“相控模擬預(yù)編碼+奇異值分解數(shù)字預(yù)編碼”方案；文獻(xiàn)[13-14]將文獻(xiàn)[7]方案推廣至多用戶的部分連接結(jié)構(gòu)，提出“相控對(duì)角模擬預(yù)編碼+迫零數(shù)字預(yù)編碼”方案。文獻(xiàn)[12-14]方案繼承了文獻(xiàn)[7]方案的優(yōu)點(diǎn)，是部分連接結(jié)構(gòu)中使用相控模擬預(yù)編碼的典型代表。然而，文獻(xiàn)[12-14]方案也存在不足：考慮的部分連接結(jié)構(gòu)都為集中式，即每個(gè)射頻鏈路僅連接一個(gè)子陣列，子陣列數(shù)必須等于射頻鏈路數(shù)；固化了信道相位、子陣列和射頻鏈路之間的匹配關(guān)系，未能充分利用不同子陣列增益存在的差異去優(yōu)化設(shè)計(jì)模擬預(yù)編碼。

針對(duì)上述問題，本文提出一種基于分布式部分連接結(jié)構(gòu)的多用戶大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼方案，主要工作如下。

1)設(shè)計(jì)分布式部分連接結(jié)構(gòu)。在給定發(fā)射天線數(shù)和射頻鏈路數(shù)條件下，突破傳統(tǒng)集中式部分連接結(jié)構(gòu)子陣列數(shù)等于射頻鏈路數(shù)的限制，通過減少單個(gè)子陣列的天線數(shù)來增加子陣列數(shù)，以使每個(gè)射頻鏈路能連接多個(gè)分布的子陣列，從而提供更高的空間分集增益。

2)分析相控模擬預(yù)編碼對(duì)迫零數(shù)字預(yù)編碼性能的影響。通過推導(dǎo)迫零數(shù)字預(yù)編碼所得頻譜效率上界與模擬預(yù)編碼和等效信道矩陣之間的關(guān)系，得到“增大模擬域的子陣列增益有助于提升系統(tǒng)頻譜效率上界”的結(jié)論，為相控模擬預(yù)編碼設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

3)提出串行最大化用戶總體子陣列增益的相控模擬預(yù)編碼算法。該算法以最大化頻譜效率上界為優(yōu)化目標(biāo)，生成的模擬預(yù)編碼矩陣具有比傳統(tǒng)方案的塊對(duì)角結(jié)構(gòu)更通用的塊稀疏結(jié)構(gòu)，能充分獲得分布式部分連接結(jié)構(gòu)的空間分集增益，且計(jì)算復(fù)雜度僅比傳統(tǒng)方案略微增加。仿真表明，所提方案相較于傳統(tǒng)方案能顯著提升系統(tǒng)頻譜效率。

符號(hào)說明：大小寫黑斜體字母分別表示矩陣和向量；IN表示N階單位矩陣；AT和AH分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置；||A||表示矩陣A的Frobenius 范數(shù)；tr(A)表示矩陣A的跡；Cm×n表示m×n階復(fù)數(shù)矩陣集合；CN(μ,σ2)表示均值為μ、方差為σ2的復(fù)高斯隨機(jī)變量；χ2(n)表示自由度為n的卡方分布；E(X)表示X的數(shù)學(xué)期望；AB 表示集合B 關(guān)于集合A 的相對(duì)補(bǔ)集；Z+表示正整數(shù)集合；“”表示對(duì)x向上取整。

1 系統(tǒng)模型

考慮采用部分連接結(jié)構(gòu)的多用戶大規(guī)模MIMO 下行鏈路，如圖1 所示。配有NTX個(gè)發(fā)射天線和NRF個(gè)射頻鏈路的基站，每次調(diào)度K個(gè)單天線用戶與之在同一時(shí)頻資源通信，向每個(gè)用戶發(fā)射一個(gè)數(shù)據(jù)流，且滿足大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼基本要求K≤NRF≤NTX?；鶐?shù)字預(yù)編碼和射頻模擬預(yù)編碼分別用矩陣表示。通常FBB的幅度和相位都可調(diào)整，而FRF一般通過移相器實(shí)現(xiàn)以滿足恒模要求。受總發(fā)射功率約束，需滿足=K。

圖1 基于分布式部分連接結(jié)構(gòu)的大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼系統(tǒng)

與傳統(tǒng)方案中子陣列數(shù)等于射頻鏈路數(shù)的集中式部分連接結(jié)構(gòu)不同，為提供更高的空間分集增益，本文設(shè)計(jì)新的分布式部分連接結(jié)構(gòu)，即在保持發(fā)射天線數(shù)和射頻鏈路數(shù)不變的條件下，通過減少單個(gè)子陣列的天線數(shù)來增加子陣列數(shù)，以使每個(gè)射頻鏈路能連接多個(gè)分布的子陣列。一般根據(jù)距離就近原則將NTX個(gè)發(fā)射天線劃分為N(N=DNRF，D∈Z+)個(gè)子陣列，各子陣列天線數(shù)為J=。例如，對(duì)均勻線性陣列（ULA,uniform linear array），設(shè)天線依次編號(hào)為1,2,…,NTX，則編號(hào)為(n-1)J+1～(n-1)J+J(n=1,…,N)的J個(gè)天線屬于第n個(gè)子陣列。每個(gè)射頻鏈路將根據(jù)FRF的求解結(jié)果通過分布式連接器與D個(gè)子陣列相連（D可視為分布階數(shù)），即共連接M==DJ個(gè)天線。當(dāng)D>1時(shí)，有N=DNRF，即子陣列數(shù)為射頻鏈路數(shù)的整數(shù)倍，對(duì)應(yīng)于本文所提分布式部分連接結(jié)構(gòu)；當(dāng)D=1 時(shí)，有N=NRF，即子陣列數(shù)等于射頻鏈路數(shù)，退化為傳統(tǒng)的集中式部分連接結(jié)構(gòu)。無論何種結(jié)構(gòu)，一個(gè)天線均對(duì)應(yīng)于一個(gè)移相器，即移相器總數(shù)均為NTX。必須指出，在該結(jié)構(gòu)中子陣列僅通過邏輯劃分而得，不會(huì)改變基站天線的物理形態(tài)。分布式連接器的具體設(shè)計(jì)詳見第4 節(jié)。

其中，s∈CK表示基站發(fā)送至K個(gè)用戶的原始信號(hào)向量，滿足 E(ssH)=(P/K)IK，P為基站總發(fā)射功率；n表示用戶端獨(dú)立同分布的噪聲向量，其元素nk～CN(0,1)。因噪聲平均功率為1，故系統(tǒng)平均信噪比在數(shù)值上等于P。由此，用戶k的接收信干噪比γk為

其中，fBB,k為矩陣FBB的第k列，表示用戶k對(duì)應(yīng)的數(shù)字預(yù)編碼向量。通常用如下的平均頻譜效率R度量混合預(yù)編碼系統(tǒng)的性能。

其中，Rinst表示瞬時(shí)頻譜效率。

2 傳統(tǒng)方案回顧

本文方案與文獻(xiàn)[12-14]基于集中式部分連接的傳統(tǒng)方案在模擬預(yù)編碼環(huán)節(jié)均采用基于信道系數(shù)相位信息的設(shè)計(jì)框架，故有必要簡要回顧該傳統(tǒng)方案的相控模擬預(yù)編碼處理流程。

記H的第(k,p)個(gè)元素為hk,p(k=1,…,K;p=1,…,NTX)，表示基站第p個(gè)天線到第k個(gè)用戶的信道系數(shù)，和φk,p分別表示hk,p的幅度和相位。設(shè)基站能通過上下行鏈路互易性（時(shí)分雙工系統(tǒng)）或用戶端反饋（頻分雙工系統(tǒng)）獲得H。

在傳統(tǒng)方案中，因N=NRF，即射頻鏈路數(shù)等于子陣列數(shù)，每個(gè)子陣列天線數(shù)等于M。定義=1,…,NRF表示第個(gè)子陣列到第k個(gè)用戶的信道向量。受部分連接結(jié)構(gòu)約束，對(duì)子陣列，相控模擬預(yù)編碼需根據(jù)一定準(zhǔn)則從K個(gè)候選信道向量中選擇一個(gè)合適的，并提取各元素的相位信息以構(gòu)造子陣列對(duì)應(yīng)的模擬預(yù)編碼向量中元素m(m=1,…,M)的相位即天線對(duì)應(yīng)移相器的移相值。同時(shí)，將射頻鏈路通過相應(yīng)移相器組和子陣列的各天線相連。由此，可認(rèn)為通過該準(zhǔn)則在用戶k的信道系數(shù)與子陣列（射頻鏈路）之間建立了一個(gè)匹配關(guān)系。傳統(tǒng)方案中用戶和子陣列（射頻鏈路）的匹配關(guān)系固定，即用戶k和子陣列（射頻鏈路）(i-1)K+k(i∈Z+)匹配。相應(yīng)子陣列（射頻鏈路）的模擬預(yù)編碼向量可表示為（上標(biāo)C 表示傳統(tǒng)方案）

整體的模擬預(yù)編碼矩陣由所有子陣列（射頻鏈路）對(duì)應(yīng)的模擬預(yù)編碼向量組成，具有如下塊對(duì)角結(jié)構(gòu)。

3 相控模擬預(yù)編碼對(duì)迫零數(shù)字預(yù)編碼的影響分析

由于文獻(xiàn)[12]針對(duì)單用戶情形設(shè)計(jì)，在用戶端可進(jìn)行集中式接收處理，可在發(fā)射端的數(shù)字預(yù)編碼環(huán)節(jié)采用最優(yōu)的奇異值分解。而多用戶情形中不同用戶只能進(jìn)行分布式接收處理，故在發(fā)射端的數(shù)字預(yù)編碼環(huán)節(jié)一般只能采用易于用戶端分布式處理的算法。就多個(gè)單天線用戶情形而言，迫零算法較成熟且得到廣泛應(yīng)用[7,13-14]，故本文也采用迫零算法進(jìn)行數(shù)字預(yù)編碼。

給定FRF，在基帶可得等效信道矩陣G=HFRF。對(duì)G求偽逆得

如前所述，傳統(tǒng)方案固化了用戶與子陣列和射頻鏈路之間的匹配關(guān)系，未能探索模數(shù)預(yù)編碼之間的聯(lián)系和充分利用空間資源。接下來，將分析相控模擬預(yù)編碼對(duì)迫零數(shù)字預(yù)編碼的影響。

由于采用了迫零數(shù)字預(yù)編碼，理論上各用戶接收信號(hào)之間干擾可完全消除，則式(2)可化簡為

故瞬時(shí)頻譜效率Rinst=Klb(1+γ)，可知Rinst是的單調(diào)遞增函數(shù)。設(shè)A?GGH=UΛUH，其中U和Λ分別為A的特征矩陣和特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣。因(GGH)-1=UΛ-1UH，故，其中λk為A的第k個(gè)特征值。由不等式,…,aK>0,α＜0＜β[15]，可知

由式(9)可知，tr(A)越大，則的上界越大，Rinst和R的上界也隨之越大。因此，若能通過對(duì)模擬預(yù)編碼優(yōu)化設(shè)計(jì)而增加tr(A)值，則很有可能提升Rinst和R。

進(jìn)一步分析tr(A)。因且K≤NRF，故K和NRF的關(guān)系一般可表示為NRF=(Q-1)K+。為分析方便，不妨假設(shè)NRF為K的正整數(shù)倍，即。由此，G可按列方向劃分為Q個(gè)K×K階子矩陣，即。記子矩陣Gq(q=1,…,Q)的第(k,i)個(gè)元素為gq,ki(k,i=1,…,K)。并進(jìn)一步假設(shè)信道為獨(dú)立同分布的Rayleigh 衰落，即hk,p～CN(0,1)(k=1,…,K,p=1,…,NTX)。根據(jù)A的定義，有

在傳統(tǒng)方案條件下，若給定H，則A1和A2確定，即tr(A)和Rinst上界也隨之確定。進(jìn)一步分析A1和A2。

先考察1A。注意到是Gq的主對(duì)角元。因是均值為、方差為的Rayleigh 分布隨機(jī)變量，而有限個(gè)Rayleigh 分布隨機(jī)變量之和的概率分布函數(shù)準(zhǔn)確閉合表達(dá)式并不存在，其近似表達(dá)式非常繁雜[16]。因此，gq,kk和1A的準(zhǔn)確分布特性難以得到。不過，gq,kk本質(zhì)上可視為第(q-1)K+k個(gè)子陣列提取其到用戶k的信道向量相位信息以實(shí)施模擬預(yù)編碼而獲得的子陣列增益（形式上與采用等增益發(fā)送類似），對(duì)應(yīng)的天線序號(hào)是(q-1)KM+(k-1)M+1～(q-1)KM+(k-1)M+M連續(xù)M個(gè)值。事實(shí)上，相控模擬預(yù)編碼完全可突破傳統(tǒng)方案的這種約束。設(shè)集合 D?{1,2,…,N}且D 的勢為D，將gq,kk改寫為，即變換為D個(gè)陣元數(shù)皆為J的子陣列增益之和。在分布式部分連接結(jié)構(gòu)條件下，因總的子陣列數(shù)為N=DNRF?D，即使給定H，若能引入某種機(jī)制，對(duì)每一個(gè)用戶k，盡可能從其對(duì)應(yīng)的N個(gè)子陣列信道向量中選擇子陣列增益較大的D個(gè)與之匹配，則將增大A1。

再考察A2。注意到·是Gq的非主對(duì)角元，且為M個(gè)獨(dú)立的均值為0、方差為1/M的復(fù)高斯隨機(jī)變量之和，故gq,ki～CN(0,1)，進(jìn)而A2～χ2(NRF(K-1))。在典型的大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中，因參數(shù)NRF(K-1)值一般會(huì)達(dá)到數(shù)十甚至上百，由卡方分布性質(zhì)知，前述基于子陣列增益的選擇對(duì)A2影響很小。

當(dāng)NRF不為K的正整數(shù)倍（即Kr>0）時(shí)，G可按列方向劃分為Q-1 個(gè)K×K階子矩陣和1 個(gè)K×Kr階子矩陣，以上分析同樣適用。綜上，在給定H條件下，若能引入分布式部分連接，并在模擬預(yù)編碼環(huán)節(jié)使用某種增大子陣列增益的動(dòng)態(tài)相控匹配機(jī)制，則將增大A1且?guī)缀醪挥绊慉2，從而增大tr()A，并最終提升Rinst和R的上界。此外，以上分析雖假設(shè)信道為獨(dú)立同分布的Rayleigh 衰落，但第5 節(jié)仿真結(jié)果表明，此結(jié)論對(duì)毫米波大規(guī)模MIMO中采用較多的幾何Saleh-Valenzuela（S-V）信道[7-8]等典型信道模型同樣適用。

4 基于分布式部分連接結(jié)構(gòu)的相控模擬預(yù)編碼

根據(jù)第3 節(jié)分析可知，相控模擬預(yù)編碼環(huán)節(jié)的相控匹配機(jī)制及可獲得的子陣列增益將影響迫零數(shù)字預(yù)編碼性能和系統(tǒng)頻譜效率。受此啟發(fā)，本文提出如下基于分布式部分連接結(jié)構(gòu)的相控模擬預(yù)編碼。

4.1 優(yōu)化目標(biāo)

所提分布式部分連接結(jié)構(gòu)如第1 節(jié)所述，此時(shí)有D>1和N=DNRF>NRF。射頻鏈路和天線子陣列之間的連接由分布式連接器動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)，其本質(zhì)是一個(gè)可編程的NRF:DNRF連接網(wǎng)絡(luò)，具體連接關(guān)系和移相器的移相值均取決于相控模擬預(yù)編碼的設(shè)計(jì)結(jié)果。設(shè)用戶序號(hào)集合為 U={1,2,…,K}，子陣列序號(hào)集合為 A={1,2,…,N}。將H按列方向劃分為N個(gè)階數(shù)為K×J的子矩陣，即

其中，Hn∈CK×J(n∈A)可視為第n個(gè)子陣列到K個(gè)用戶的下行信道矩陣，并記Hn的第k(k∈U)行表示第n個(gè)子陣列到第k個(gè)用戶的信道向量。

與傳統(tǒng)方案類似，所提方案需根據(jù)某種準(zhǔn)則從Hn的K個(gè)信道向量{h1,n,…,hK,n}中選擇一個(gè)合適的hk,n，并提取hk,n各元素的相位信息以構(gòu)造子陣列n對(duì)應(yīng)的模擬預(yù)編碼向量fk,n，即

并且，在模擬預(yù)編碼向量fk,n和其對(duì)應(yīng)信道向量hk,n的共同作用下，用戶k對(duì)應(yīng)的子陣列n的增益為

注意到，ηk(n)是關(guān)于n的函數(shù)，即對(duì)同一k但不同的n值，ηk(n)存在差異。如前所述，每個(gè)射頻鏈路將基于該準(zhǔn)則通過分布式連接器同時(shí)連接D個(gè)子陣列，并生成對(duì)應(yīng)于用戶k的D個(gè)模擬預(yù)編碼向量集合{fk,n(k,1),…,fk,n(k,D)}，進(jìn)一步設(shè)這D個(gè)子陣列的序號(hào)構(gòu)成集合 A(k)?{n(k,1),…,n(k,D)}?A，則用戶k對(duì)應(yīng)的總體子陣列增益為

不難發(fā)現(xiàn)，ηk與第3 節(jié)的gq,kk等價(jià)。因此，為提升系統(tǒng)的頻譜效率上界，可將相控模擬預(yù)編碼的優(yōu)化目標(biāo)簡化為

4.2 求解算法及分布式連接器設(shè)計(jì)

針對(duì)式(15)的最優(yōu)設(shè)計(jì)應(yīng)同時(shí)使所有ηk最大化，這需對(duì)所有用戶和子陣列進(jìn)行全局優(yōu)化，其計(jì)算復(fù)雜度較高?？紤]到部分連接結(jié)構(gòu)要求不同k值對(duì)應(yīng)的子陣列應(yīng)互不交疊，本文提出如下次優(yōu)的串行最大化用戶總體子陣列增益的相控模擬預(yù)編碼算法。其主要思想是依次對(duì)每用戶在當(dāng)前可選子陣列集合中選擇滿足式(15)的D個(gè)子陣列，且對(duì)后續(xù)用戶操作時(shí)要從可選子陣列集合中剔除這D個(gè)子陣列。同時(shí)，該算法也建立了用戶與射頻鏈路和子陣列之間的匹配關(guān)系，從而決定了分布式連接器的連接關(guān)系。

由算法1 得到的FRF具有如下形式的結(jié)構(gòu)

1)FRF的階數(shù)為NTX×NRF，可視為由N個(gè)J維向量和(N-1)NRF個(gè)J維全零向量組成的塊稀疏矩陣。位于FRF的第n(q,k,d)個(gè)塊行和第(q-1)K+k列，第n(q,k,d)個(gè)塊行的含義是FRF的第[n(q,k,d)-1]J+1至第n(q,k,d)J行，n(q,k,d)的具體值取決于算法1 的計(jì)算結(jié)果。

2)第n(q,k,d)個(gè)塊行僅有一個(gè)非零塊，即每個(gè)子陣列僅對(duì)應(yīng)一個(gè)射頻鏈路；第(q-1)K+k列有D個(gè)非零塊，即每個(gè)射頻鏈路對(duì)應(yīng)D個(gè)子陣列。這表明FRF滿足所提分布式部分連接結(jié)構(gòu)。

3)每一列所有非零元素的模相等，這表明FRF只涉及相位變換，即可通過移相器實(shí)現(xiàn)。

4)每一列的Frobenius 范數(shù)都為1，這表明FRF不改變信號(hào)的功率。

5)FRF具有更一般的塊稀疏結(jié)構(gòu)，可視為式(5)塊對(duì)角結(jié)構(gòu)的推廣。當(dāng)D=1 且不采用算法1 時(shí)，式(16)即退化為式(5)。

與此同時(shí)，各移相器的移相值和分布式連接器的具體連接關(guān)系也由算法1 確定。具體而言，中元素m(m=1,…,J)的相位-φk,(n(q,k,d)-1)M+m即基站天線(n(q,k,d)-1)J+m對(duì)應(yīng)的移相器的移相值。同時(shí)，將射頻鏈路(q-1)K+k通過相應(yīng)移相器與子陣列集合Bq,k相連。由此，可認(rèn)為通過算法1 在用戶k、射頻鏈路(q-1)K+k和子陣列集合Bq,k之間建立了一個(gè)匹配關(guān)系。

算法1 以低復(fù)雜度提供了式(15)的次優(yōu)解，從而能增大tr(A)，并最終提升Rinst和R的上界。當(dāng)然，由第3 節(jié)可知，由于tr(A)的表達(dá)式十分復(fù)雜，即使在Rayleigh 衰落信道條件下也難以獲得其準(zhǔn)確分布特性，因此，就作者目前所知，所研究系統(tǒng)的頻譜效率與主要參數(shù)NRF、M、K和D等之間的定量關(guān)系仍是一個(gè)開放問題。不過，從所提方案“分布式部分連接結(jié)構(gòu)+算法1”的基本原理知，其相較于傳統(tǒng)方案“集中式部分連接結(jié)構(gòu)+固定匹配相控算法”能提供更高的空間分集增益，且該增益將隨分布階數(shù)D增加而增大。第5 節(jié)的仿真結(jié)果對(duì)此提供了充分驗(yàn)證。

4.3 計(jì)算復(fù)雜度分析

本節(jié)主要比較所提方案與文獻(xiàn)[12]傳統(tǒng)方案1和文獻(xiàn)[13-14]傳統(tǒng)方案2 的計(jì)算復(fù)雜度。表1 列出了它們的特點(diǎn)和計(jì)算復(fù)雜度。在傳統(tǒng)方案1 和傳統(tǒng)方案2 中，求解模擬預(yù)編碼矩陣只需對(duì)空口信道矩陣相應(yīng)元素的相位取相反即可，其計(jì)算復(fù)雜度可忽略不計(jì)；求解等效信道矩陣的計(jì)算復(fù)雜度均為 O(KMNRF)次復(fù)數(shù)乘法；求解數(shù)字預(yù)編碼矩陣的計(jì)算復(fù)雜度分別為 O(K2NRF+)[12]和 O(K2NRF)次復(fù)數(shù)乘法[14]。其中，因傳統(tǒng)方案1 針對(duì)單用戶系統(tǒng)設(shè)計(jì)，用K表示其用戶端接收天線數(shù)。而所提方案與傳統(tǒng)方案2 都針對(duì)多用戶系統(tǒng)設(shè)計(jì)，求解等效信道矩陣和數(shù)字預(yù)編碼環(huán)節(jié)的處理與傳統(tǒng)方案2 相同，僅在模擬預(yù)編碼環(huán)節(jié)增加了分布式連接器的有關(guān)處理（即算法1）。

算法1 的計(jì)算復(fù)雜度具體分析如下。

1)當(dāng)q=1時(shí)，對(duì)用戶k，需計(jì)算N-(k-1)D個(gè)子陣列增益，即(J-1)(N-(k-1)D)次實(shí)數(shù)加法；從N-(k-1)D個(gè)子陣列增益中查找最大D個(gè)值即經(jīng)典的Top-k 查詢問題，應(yīng)用小頂堆算法[17]，計(jì)算復(fù)雜度為 O((N-(k-1)D)lbD)次實(shí)數(shù)加法；計(jì)算復(fù)雜度合計(jì)為 O((J-1)(N-(k-1)D)+(N-(k-1)D)lbD)次實(shí)數(shù)加法。

2)當(dāng)2≤q≤Q時(shí)，因q=1 時(shí)已計(jì)算出各子陣列增益，不需要再次計(jì)算。對(duì)用戶k，需從N-((q-1)K+k-1)D個(gè)子陣列增益中查找最大D個(gè)值，計(jì)算復(fù)雜度為 O((N-((q-1)K+k-1)D)lbD)次實(shí)數(shù)加法。

累計(jì)以上所有環(huán)節(jié)，得到總計(jì)算復(fù)雜度約為O(KM(NRF-K/2)+D(-K(NRF-K/2)))次實(shí)數(shù)加法，即 O((KM(NRF-K/2)+D(-K(NRF-K/2)))/2)次復(fù)數(shù)加法。因-K(NRF-K/2)>0，故算法1 的計(jì)算復(fù)雜度與D呈單調(diào)遞增關(guān)系。

表1 最后一行給出了典型參數(shù)NTX=256、NRF=K=16、D=2,4,8,16條件下3種方案的具體計(jì)算復(fù)雜度?？紤]到實(shí)際不同軟硬件約束條件，單次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算復(fù)雜度為單次復(fù)數(shù)加法的10～100 倍。即使假設(shè)單次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算復(fù)雜度約為單次復(fù)數(shù)加法的10 倍，該示例中所提方案相較于傳統(tǒng)方案2 增加的計(jì)算復(fù)雜度最多（D=16 時(shí)）不超過5%。更多實(shí)例計(jì)算表明，在通常參數(shù)條件下，所提方案相較于傳統(tǒng)方案2 增加的計(jì)算復(fù)雜度一般為1%～10%，且均低于傳統(tǒng)方案1。

此外，在引言部分提及的迭代類復(fù)雜算法中，文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]方案是典型代表，其計(jì)算復(fù)雜度分別為 O(M2(NRFS+K))（S為迭代次數(shù)，通常取值為S≥5）和次復(fù)數(shù)乘法，即主要參數(shù)的4 次方或5 次方。而表1 中3 種直接提取信道系數(shù)相位的方案的計(jì)算復(fù)雜度則為主要參數(shù)的3 次方。因此，迭代類方案的計(jì)算復(fù)雜度一般比后一類方案高1～2 個(gè)數(shù)量級(jí)。

表1 所提方案與傳統(tǒng)方案的特點(diǎn)及計(jì)算復(fù)雜度

綜上，所提方案的計(jì)算復(fù)雜度略高于傳統(tǒng)方案2，低于傳統(tǒng)方案1，遠(yuǎn)低于迭代類方案。

5 仿真結(jié)果與分析

對(duì)不同參數(shù)下所提方案與表1 所列傳統(tǒng)方案1和傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率性能進(jìn)行Monte Carlo 仿真評(píng)估，多用戶情形的用戶端均為單天線接收。其中，所提方案與傳統(tǒng)方案2 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)更接近，因此將傳統(tǒng)方案2 作為主要比較對(duì)象，主要區(qū)別在于所提方案采用了分布式部分連接結(jié)構(gòu)且在模擬預(yù)編碼環(huán)節(jié)采用了算法1。同時(shí)，注意到傳統(tǒng)方案1 系針對(duì)單用戶情形設(shè)計(jì)，因單用戶系統(tǒng)在用戶端可進(jìn)行集中式接收處理（優(yōu)于多用戶系統(tǒng)的分布式接收處理），使傳統(tǒng)方案1 可在發(fā)射端的數(shù)字預(yù)編碼環(huán)節(jié)采用最優(yōu)的奇異值分解，故在相同條件下可將其視為用戶端總天線數(shù)一定時(shí)（將K個(gè)單天線用戶替換為具有K個(gè)接收天線的虛擬單用戶）多用戶預(yù)編碼的性能上限，因此，將傳統(tǒng)方案2 作為參考對(duì)象。

仿真時(shí)考慮2 種信道模型。模型1 為理論研究普遍使用的Rayleigh 衰落（如本文第3 節(jié)和文獻(xiàn)[7]有關(guān)理論分析），假設(shè)所有收發(fā)天線對(duì)之間為獨(dú)立同分布的Rayleigh 衰落信道，且hk,p～CN(0,1)(k=1,…,K;p=1,…,NTX)。模型2 為幾何S-V 信道[7-8]。因大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼經(jīng)常應(yīng)用于毫米波傳播情形，而幾何S-V 信道模型較好地刻畫了毫米波傳播環(huán)境的稀疏散射特性，在毫米波大規(guī)模MIMO 有關(guān)研究中采用較多。本文考慮二維幾何S-V信道模型，基站到用戶k的信道向量可表示為[7]

其中，L為基站到每用戶的傳播路徑數(shù)，αk,l、φk,l和a(φk,l)分別為用戶k第l徑的增益、方位角和導(dǎo)向向量。仿真假設(shè)如下：使用均勻線性陣列；αk,l～CN(0,1)；用戶k的中心方位角φk,0在[0,2π]均勻分布，φk,l在 [φk,0-π/9,φk,0+π/9]均勻分布；，d和λ分別為天線間距和波長，且d=λ/2。

其他仿真參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為：基站天線數(shù)NTX=256，射頻鏈路數(shù)NRF=16，所提方案中分布階數(shù)D=2,4,8,16；未專門說明時(shí)，設(shè)基站能準(zhǔn)確獲取下行信道矩陣H。

5.1 仿真1：評(píng)估信道模型1 對(duì)應(yīng)的頻譜效率性能

圖2 給出了用戶數(shù)K=16 時(shí)3 種方案在不同信噪比時(shí)的頻譜效率。從圖2 中可以看出，在所示信噪比區(qū)域，所提方案比傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率大幅提升，且提升比例隨D增加而增大；同時(shí)，相較于傳統(tǒng)方案1，所提方案在D=8 時(shí)性能與之相當(dāng)，在D=16時(shí)則更勝一籌。這些結(jié)果表明，得益于“分布式部分連接結(jié)構(gòu)+算法1”相較“集中式部分連接結(jié)構(gòu)+固定匹配相控算法”對(duì)空間資源的更好利用，所提方案性能不僅顯著優(yōu)于同為多用戶情形的傳統(tǒng)方案2，還在高分布階數(shù)時(shí)超過了作為集中式部分連接結(jié)構(gòu)性能上限的傳統(tǒng)方案1。

圖2 用戶數(shù)K=16時(shí)3 種方案在不同信噪比時(shí)的頻譜效率

文獻(xiàn)[7]在設(shè)計(jì)全連接結(jié)構(gòu)的相控模擬預(yù)編碼時(shí)要求接入用戶數(shù)要等于射頻鏈路數(shù)，而表1 所列3 種方案均支持接入用戶數(shù)（單用戶情形）或獨(dú)立數(shù)據(jù)流數(shù)（多用戶情形）少于射頻鏈路數(shù)的情形。圖3 和圖4 分別比較了平均信噪比為0 和10 dB 時(shí)3 種方案的頻譜效率與接入用戶數(shù)（對(duì)傳統(tǒng)方案1，假設(shè)獨(dú)立數(shù)據(jù)流數(shù)等于用戶端天線數(shù)，且都用K表示）之間的關(guān)系。從圖3 和圖4 中可以看出，當(dāng)信噪比固定時(shí)，無論接入用戶數(shù)多少，所提方案的頻譜效率在所有分布階數(shù)條件下均高于傳統(tǒng)方案2，在高分布階數(shù)條件下也高于傳統(tǒng)方案1；且所提方案和傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率都呈現(xiàn)出隨用戶數(shù)增加而先升至一定峰值再降低的特點(diǎn)，而傳統(tǒng)方案1 的頻譜效率與用戶數(shù)呈單調(diào)遞增關(guān)系。具體而言，同一參數(shù)條件下，信噪比越高，3 種方案頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)越大；分布階數(shù)越大，所提方案頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)越大。以所提方案在D=16 時(shí)與傳統(tǒng)方案1 和傳統(tǒng)方案2 為例具體說明：當(dāng)平均信噪比為0 時(shí)，三者頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)分別為11、16 和7，前者頻譜效率峰值比后兩者分別提升了約46%和65%；當(dāng)平均信噪比為10 dB 時(shí)，三者頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)分別為15、16 和11，前者頻譜效率峰值比后兩者分別提升了約24%和60%。以上表明，所提方案相較于2 種傳統(tǒng)方案，提供了更高的分集增益（在高分布階數(shù)條件下尤其明顯），從而可支持更多的接入用戶并獲得更高的頻譜效率峰值。

圖3 3 種方案的頻譜效率與接入用戶數(shù)之間的關(guān)系（平均信噪比為0）

圖4 3 種方案的頻譜效率與接入用戶數(shù)之間的關(guān)系（平均信噪比為10 dB）

5.2 仿真2：評(píng)估信道模型2 對(duì)應(yīng)的頻譜效率性能

在幾何S-V 信道中，傳播路徑數(shù)L刻畫了信道的稀疏特性，是影響系統(tǒng)頻譜效率性能的重要參數(shù)。本組仿真將驗(yàn)證L=4（路徑較稀疏）和L=16（路徑較稠密）2 種情形下3 種方案的性能。

圖5 給出了用戶數(shù)K=16 時(shí)3 種方案在不同信噪比時(shí)的頻譜效率。從圖5 中可以看出，對(duì)L=4 和L=16這2 種情形，在所示信噪比區(qū)域，所提方案相比傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率仍有較大提升，但提升比例不如Rayleigh 信道情形；同時(shí)，L=4 時(shí)所提方案性能略遜于傳統(tǒng)方案1，L=16 時(shí)所提方案在高分布階數(shù)和高信噪比條件下略優(yōu)于傳統(tǒng)方案1。其主要原因在于，相較于Rayleigh 衰落信道，L=4時(shí)的S-V 信道較稀疏，導(dǎo)致不同子陣列對(duì)應(yīng)信道之間具有較強(qiáng)的空間相關(guān)性，從而減小了所提方案提供的空間分集增益；當(dāng)L增大至16 時(shí)，S-V 信道稀疏性減小，不同子陣列對(duì)應(yīng)信道之間空間相關(guān)性降低，導(dǎo)致所提方案獲得的空間分集增益有所增加，與Rayleigh 衰落信道的差距進(jìn)一步減小。大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼在幾何S-V 信道中的性能隨傳播路徑數(shù)L增加而逐漸接近Rayleigh 衰落信道的特點(diǎn)在文獻(xiàn)[12]等其他研究中也有所報(bào)道。

圖5 用戶數(shù)K=16時(shí)3 種方案在不同信噪比時(shí)的頻譜效率

圖6 和圖7 分別比較了平均信噪比為0 和10 dB時(shí)3 種方案的頻譜效率與接入用戶數(shù)之間的關(guān)系。3 種方案的頻譜效率隨用戶數(shù)增加呈現(xiàn)的變化規(guī)律與Rayleigh 衰落信道情形類似?？傮w而言，給定傳播路徑數(shù)和信噪比時(shí)，所提方案的頻譜效率在所有分布階數(shù)和接入用戶數(shù)條件下均高于傳統(tǒng)方案 2，在高分布階數(shù)和大多數(shù)接入用戶數(shù)條件下也高于傳統(tǒng)方案 1。以下具體分析所提方案在D=16 時(shí)與傳統(tǒng)方案1 和傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率峰值。

1)L=4 時(shí)，如圖6(a)和圖7(a)所示。當(dāng)平均信噪比為0 時(shí)，三者頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)分別為9、16 和7，前者頻譜效率峰值比后兩者分別提升了約18%和38%；當(dāng)平均信噪比為10 dB 時(shí)，三者頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)分別為13、16和11，前者頻譜效率峰值比后兩者分別提升了約4%和34%。

圖6 3 種方案的頻譜效率與接入用戶數(shù)之間的關(guān)系（平均信噪比為0）

圖7 3 種方案的頻譜效率與接入用戶數(shù)之間的關(guān)系（平均信噪比為10 dB）

2)L=16 時(shí)，如圖6(b)和圖7(b)所示。當(dāng)平均信噪比為0 時(shí)，三者頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)分別為10、16 和7，前者頻譜效率峰值比后兩者分別提升了約28%和49%；當(dāng)平均信噪比為10 dB時(shí)，三者頻譜效率峰值對(duì)應(yīng)的最佳用戶數(shù)分別為14、16和11，前者頻譜效率峰值比后兩者分別提升了約11%和44%?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著L由4 增大至16，所提方案相對(duì)于2 種傳統(tǒng)方案的增益有所提升，但仍小于Rayleigh 衰落信道情形，其主要原因與圖5分析相同。

最后，考慮到實(shí)際情形中基站獲取的信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）一般是非完美的，有必要評(píng)估CSI 誤差對(duì)所提方案的影響。與許多文獻(xiàn)相仿，將非完美的信道矩陣建模為

其中，E表示誤差矩陣，其元素服從獨(dú)立同分布的CN(0,1)；ε表示信道均方誤差。

圖8 給出了不同ε值條件下所提方案在D=4時(shí)和傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率對(duì)比，其他參數(shù)設(shè)置同圖5。從圖8 中可以看出，在中低信噪比區(qū)域，CSI誤差對(duì)2 種方案的性能影響很小；在高信噪比區(qū)域，CSI 誤差對(duì)2 種方案的性能有所惡化；在所有信噪比區(qū)域，信道均方誤差相同時(shí)所提方案相較于傳統(tǒng)方案2 仍有明顯增益。具體而言，即使在信噪比為20 dB 時(shí)，L=4 條件下所提方案在ε=0.10和ε=0.05時(shí)仍能分別獲得完美CSI 情形頻譜效率的約84%和94%，而L=16 條件下所提方案在ε=0.10和ε=0.05時(shí)則分別提升至完美CSI 情形頻譜效率的約86%和96%，這表明所提方案對(duì)CSI 誤差具有較強(qiáng)的穩(wěn)健性，且在高L值條件下更是如此。

圖8 不同ε 值條件下所提方案在D=4 時(shí)和傳統(tǒng)方案2 的頻譜效率對(duì)比

從以上仿真可以看出，對(duì)Rayleigh 衰落和幾何S-V 這2 種典型信道模型，在給定基站天線數(shù)和射頻鏈路數(shù)條件下，無論固定接入用戶數(shù)改變信噪比，還是固定信噪比改變接入用戶數(shù)，所提方案的頻譜效率較同為多用戶情形的傳統(tǒng)方案2 均有顯著改善，在中高分布階數(shù)時(shí)較單用戶情形的傳統(tǒng)方案1也有一定優(yōu)勢，性能改善幅度隨分布階數(shù)增加而提升；在幾何S-V 信道中，所提方案相對(duì)于2 種傳統(tǒng)方案的優(yōu)勢隨傳播路徑數(shù)增加而增大，且CSI 誤差對(duì)所提方案的性能影響較小。

6 結(jié)束語

本文面向部分連接結(jié)構(gòu)的多用戶大規(guī)模MIMO 混合預(yù)編碼系統(tǒng)，在不改變統(tǒng)基站天線數(shù)、射頻鏈路數(shù)和基站天線物理形態(tài)的前提下，基于相控迫零混合預(yù)編碼框架，通過分析相控模擬預(yù)編碼對(duì)迫零數(shù)字預(yù)編碼的性能影響，提出了基于“分布式部分連接結(jié)構(gòu)+串行最大化用戶總體子陣列增益的相控模擬預(yù)編碼算法”的新方案，并分析了所提方案的計(jì)算復(fù)雜度。所提方案比使用“集中式部分連接結(jié)構(gòu)+固定匹配相控算法”的傳統(tǒng)方案能獲得更高的空間分集增益。典型場景下仿真表明，所提方案相較于傳統(tǒng)方案能大幅提升系統(tǒng)頻譜效率而幾乎不增加計(jì)算復(fù)雜度，改善幅度隨分布階數(shù)和傳播路徑數(shù)（幾何S-V 信道）增加而增大，且對(duì)CSI誤差較穩(wěn)健。未來將進(jìn)一步深入研究系統(tǒng)頻譜效率與發(fā)射天線數(shù)、射頻鏈路數(shù)、接入用戶數(shù)和分布階數(shù)之間的定量關(guān)系。