基于K 均值聚類的SPPM 分步分類檢測(cè)算法

王惠琴，侯文斌，彭清斌，曹明華，黃瑞，劉玲

（蘭州理工大學(xué)計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

近年來，隨著移動(dòng)用戶數(shù)的迅速增長以及各種信息傳輸業(yè)務(wù)的急劇增加，人們對(duì)無線光通信（WOC,wireless optical communication）技術(shù)的通信質(zhì)量和傳輸速率提出了更高的要求。空間調(diào)制（SM,spatial modulation）作為一種新型多輸入多輸出（MIMO,multiple-input multiple-output）技術(shù)[1]，為提高通信質(zhì)量和傳輸速率提供了一種有效措施。它在每個(gè)傳輸符號(hào)周期內(nèi)只激活一根發(fā)射天線，即只建立一條通信鏈路，從而有效避免了存在信道間干擾（ICI,inter-channel interference）和對(duì)天線間同步（IAS,inter antenna synchronization）要求高的難題。因而受到了學(xué)者的廣泛關(guān)注，尤其是在大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中已成為主要研究熱點(diǎn)之一。

目前，關(guān)于WOC 系統(tǒng)中光空間調(diào)制（OSM,optical spatial modulation）技術(shù)的研究已取得了豐碩的成果[2-6]。一方面，學(xué)者采用二進(jìn)制通斷鍵控（OOK,on-off keying）、脈沖位置調(diào)制（PPM,pulse position modulation）和脈沖幅度調(diào)制（PAM,pulse amplitude modulation）等強(qiáng)度調(diào)制與OSM 相結(jié)合分別提出了光空移鍵控（OSSK,optical space shift keying）[2]、空間脈沖位置調(diào)制（SPPM,spatial pulse position modulation）[3]以及廣義光空間調(diào)制（GOSM,generalized optical spatial modulation）[4]等各種調(diào)制方案。另一方面，考慮大氣環(huán)境中的影響因素（如大氣湍流、衰減和瞄準(zhǔn)誤差等），分析已有調(diào)制方案的誤碼性能[5-6]。信號(hào)檢測(cè)作為WOC 系統(tǒng)中的重要環(huán)節(jié)，其可靠性與計(jì)算復(fù)雜度是影響整個(gè)通信系統(tǒng)能否走向?qū)嵱没年P(guān)鍵因素。由于室外環(huán)境的復(fù)雜多變，使大氣信道具有更強(qiáng)的時(shí)變性和隨機(jī)性，這就導(dǎo)致無線光通信中信號(hào)檢測(cè)的難度更大。雖然有關(guān)光空間調(diào)制技術(shù)方案的研究較多，但有關(guān)其信號(hào)檢測(cè)算法的研究還較少。目前常用的信號(hào)檢測(cè)算法主要有最大似然（ML,maximum likelihood）檢測(cè)算法[7]、常規(guī)線性檢測(cè)算法和基于壓縮感知（CS,compressed sensing）的信號(hào)檢測(cè)算法[8]等。其中，ML 檢測(cè)算法因計(jì)算復(fù)雜度較高而限制了其在實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用。常規(guī)線性檢測(cè)算法如最小均方誤差（MMSE,minimum mean square error）檢測(cè)算法和迫零（ZF,zero-forcing）檢測(cè)算法雖具有較低的復(fù)雜度，但其誤碼性能有限，且僅適用于光源數(shù)目小于探測(cè)器數(shù)目的通信場(chǎng)景。基于壓縮感知的信號(hào)檢測(cè)算法雖能夠有效降低譯碼復(fù)雜度，但其僅適用于具有稀疏特性的OSM 系統(tǒng)。信號(hào)檢測(cè)算法的可靠性和計(jì)算復(fù)雜度已成為影響OSM 系統(tǒng)性能提升的瓶頸，因此，研究適合于OSM 系統(tǒng)且具有更低計(jì)算復(fù)雜度的檢測(cè)算法已迫在眉睫。

近年來，機(jī)器學(xué)習(xí)的出現(xiàn)為信號(hào)檢測(cè)問題提供了新的解決思路[9-16]。它根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)可將傳統(tǒng)求解最小歐氏距離問題轉(zhuǎn)化為分類解映射問題，并以此獲得計(jì)算復(fù)雜度低、誤比特性能好、實(shí)用性強(qiáng)的信號(hào)檢測(cè)算法。在射頻（RF,radio frequency）通信領(lǐng)域，已有學(xué)者將機(jī)器學(xué)習(xí)相關(guān)算法引入信號(hào)檢測(cè)中，尤其是具有優(yōu)良分類性能的K 均值聚類（KMC,K-means clustering）算法。其中，Liang 等[9]首次提出了一種適合于空移鍵控（SSK,space shift keying）的KMC 盲檢測(cè)算法，將信號(hào)檢測(cè)轉(zhuǎn)化為聚類和解映射2 個(gè)子問題，降低了譯碼復(fù)雜度。但是，該算法存在錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)，且只適合于SSK 系統(tǒng)。后來，針對(duì)KMC 算法用于MIMO 系統(tǒng)信號(hào)檢測(cè)中存在模糊尺度的現(xiàn)象，該團(tuán)隊(duì)又提出一種編碼輔助的K 均值聚類（CKMC,coding-aided K-means clustering）盲檢測(cè)算法[10]。You 等[11]將KMC 盲檢測(cè)應(yīng)用于正交振幅調(diào)制/相移鍵控調(diào)制（QAM/PSK,quadrature amplitude modulation/phase shift keying）的SM 系統(tǒng)中，并利用最大化最小歐氏距離的思想來優(yōu)化初始化質(zhì)心，有效解決了傳統(tǒng)KMC 算法存在的錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)。王剛[12]針對(duì)收發(fā)天線均為4 的SSK 系統(tǒng)，提出一種基于KMC 算法的局部解映射方案，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算復(fù)雜度的降低，但未能推廣到任意天線配置的通信系統(tǒng)。Zhang 等[13]考慮到信息序列的隨機(jī)性，通過約束每個(gè)簇內(nèi)接收信號(hào)的數(shù)目進(jìn)一步優(yōu)化了空間調(diào)制盲檢測(cè)器的誤比特率性能。Yuan 等[14]針對(duì)接收信號(hào)的聚類問題，提出了一種基于高斯混合模型的期望最大化算法，從而降低了信號(hào)檢測(cè)的復(fù)雜度。Zhang 等[15]將迭代聚類中聚類分配問題轉(zhuǎn)化為圖論中最小代價(jià)流線性網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題，由此提出一種基于圖論的聚類檢測(cè)框架，有效解決了KMC 算法易陷入局部最優(yōu)的難題。文獻(xiàn)[16]利用數(shù)字調(diào)制星座的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，構(gòu)建了一種提前終止KMC 算法迭代的框架，在保證SM-MIMO 系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)上進(jìn)一步降低了計(jì)算開銷。綜上所述，文獻(xiàn)[9-16]均假設(shè)在慢衰落信道條件下，研究了射頻領(lǐng)域SSK/SM 系統(tǒng)中基于KMC 及其改進(jìn)算法的盲檢測(cè)器，從而獲得了較ML 復(fù)雜度更低的譯碼算法。

與射頻通信不同，目前無線光通信系統(tǒng)大多采用強(qiáng)度調(diào)制/直接檢測(cè)的方式，這就導(dǎo)致上述射頻領(lǐng)域中的相關(guān)檢測(cè)算法無法直接應(yīng)用于采用強(qiáng)度調(diào)制構(gòu)建的光空間調(diào)制系統(tǒng)。為進(jìn)一步加速和推廣OSM 的應(yīng)用，本文提出了一種基于KMC 的SPPM分步分類檢測(cè)算法。通過對(duì)樣本進(jìn)行離線訓(xùn)練得到質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間的映射關(guān)系，并以該映射關(guān)系為準(zhǔn)則對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)。所提算法能夠在取得近似最優(yōu)誤比特率的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)譯碼復(fù)雜度的有效降低，而且它還適用于光源數(shù)目大于探測(cè)器數(shù)目的通信場(chǎng)景。

1 光空間脈沖位置調(diào)制系統(tǒng)模型

對(duì)于一個(gè)有Nt個(gè)光源（LD（laser diode）或LED（light emitting diode））和Nr個(gè)光電探測(cè)器（PD,photo detector）的SPPM 系統(tǒng)而言，其系統(tǒng)模型如圖1 所示。

在圖1 中，發(fā)送端的二進(jìn)制數(shù)據(jù)流經(jīng)過串/并變換后被分成長度為mbit 的數(shù)據(jù)塊。該數(shù)據(jù)塊被再次分成m1和m2兩部分，其中，m1=lbNtbit 被映射為光源索引號(hào)，m2=lbLbit 被映射為PPM 符號(hào)，L表示調(diào)制階數(shù)。經(jīng)過光源索引映射和調(diào)制符號(hào)映射后，將PPM 符號(hào)加載在激活光源上由光學(xué)天線發(fā)送出去。

圖1 光空間脈沖位置調(diào)制系統(tǒng)模型

依據(jù)SPPM 原理，光源索引號(hào)的映射關(guān)系可以用一個(gè)Nt×1 維向量來表示。其中，[·]T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算，1≤j≤Nt表示激活光源的索引號(hào)。PPM 符號(hào)可以用一個(gè)1×L維向量來表示。其中，1≤e≤L表示發(fā)送脈沖的位置，Am表示脈沖幅度。那么，經(jīng)SPPM 后的信號(hào)可表示為

發(fā)送端的SPPM 信號(hào)經(jīng)過大氣湍流信道后，由光電探測(cè)器接收。假設(shè)其接收信號(hào)為

其中，η是光電轉(zhuǎn)換效率，ψ是均值為0、方差為的加性白高斯噪聲，ψ、y均是Nr×L維矩陣；H是Nr×Nt維的大氣信道衰減矩陣。通常情況下，H中的元素h服從雙伽馬（Gamma-Gamma）分布[17]。其概率密度函數(shù)為

其中，Γ(·)為伽馬函數(shù)，?ζ為第二類ζ階修正貝塞爾函數(shù)，α和β分別為大尺度散射參數(shù)和小尺度散射參數(shù)。對(duì)于平面波而言，α和β分別為[18]

其中，2π/λ為波數(shù)，λ為光波的波長，為大氣折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)，z為傳輸距離。

探測(cè)器的輸出信號(hào)再經(jīng)最大似然譯碼算法后即可檢測(cè)出原始信號(hào)。最大似然檢測(cè)是一種經(jīng)典的最優(yōu)譯碼算法，該算法通過遍歷所有可能的SPPM信號(hào)，找到與接收信號(hào)歐氏距離最小的調(diào)制信號(hào)，并將其視為發(fā)送端發(fā)送的信息，即

2 基于K 均值聚類的分步分類檢測(cè)

雖然ML 檢測(cè)能夠取得最優(yōu)的誤比特性能，但由于其采用窮搜索方式導(dǎo)致譯碼算法的復(fù)雜度較高，限制了它在實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用，尤其是在大規(guī)模OSM 系統(tǒng)以及高階調(diào)制系統(tǒng)中的應(yīng)用。因此，本文根據(jù)SPPM 信號(hào)矩陣的特征，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)中的K 均值聚類，探索計(jì)算復(fù)雜度低、誤比特性能好、實(shí)用性強(qiáng)的SPPM 檢測(cè)算法。

2.1 K 均值聚類相關(guān)理論

K 均值聚類是一種迭代求解聚類問題的無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法[19]。該算法可將包含S個(gè)樣本的數(shù)據(jù)集合按照特定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為K個(gè)簇，使簇內(nèi)樣本的相似度較高，而簇間樣本的相似度較低。其中，K為預(yù)先設(shè)定的聚類數(shù)目。按K 均值聚類定義，要求S＞K且每個(gè)簇中至少有一個(gè)數(shù)據(jù)樣本。簇中數(shù)據(jù)樣本的均值被稱為簇的質(zhì)心，簇中所有數(shù)據(jù)樣本與該簇質(zhì)心間歐氏距離的平方和為簇的散度。

K 均值聚類作為一種基于劃分的聚類算法，具有收斂速度快、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)[19]，而且當(dāng)樣本數(shù)據(jù)集合規(guī)模較小時(shí)，適合處理圓形或球狀聚類問題。但該算法需要預(yù)先設(shè)定聚類數(shù)目K，而且所得到的聚類結(jié)果對(duì)初始質(zhì)心和噪聲數(shù)據(jù)較敏感[12]。K均值聚類算法步驟[20]如下。

1)從給定數(shù)據(jù)集Y={y1,y2,…,yS}中隨機(jī)選取K個(gè)樣本作為初始質(zhì)心。

2)計(jì)算每個(gè)樣本到K個(gè)質(zhì)心的歐氏距離，并將其劃分到最小歐氏距離所對(duì)應(yīng)的簇中。

3)計(jì)算每個(gè)簇中所有數(shù)據(jù)樣本的均值，并將其作為新的質(zhì)心。

4)重復(fù)步驟2)和步驟3)，直至所有的質(zhì)心不再發(fā)生改變或達(dá)到規(guī)定的誤差范圍。

5)輸出最終聚類結(jié)果。

為了減小隨機(jī)初始質(zhì)心對(duì)聚類結(jié)果的影響，需要對(duì)其進(jìn)行多次隨機(jī)初始化。每次隨機(jī)選取初始質(zhì)心并經(jīng)循環(huán)迭代后均會(huì)得到K個(gè)簇，為了比較不同次聚類結(jié)果的斂散性程度，將誤差平方和（SSE,sum of the squared error）作為度量聚類質(zhì)量的目標(biāo)函數(shù)，并選取誤差平方和最小的聚類結(jié)果作為最終聚類，即

2.2 基于K 均值聚類的分步分類檢測(cè)算法

對(duì)于SPPM 系統(tǒng)而言，發(fā)送信號(hào)的形式取決于光源索引號(hào)和PPM 符號(hào)。由于光源索引號(hào)所傳遞的信息屬于隱含信息，因此當(dāng)PPM 階數(shù)確定時(shí)，接收信號(hào)的種類也是確定的，二者相等。也就是說，接收信號(hào)的種類取決于PPM 的調(diào)制階數(shù)L，這是因?yàn)榻邮招盘?hào)實(shí)際上是受到加性白高斯噪聲和信道衰落影響后的PPM 信號(hào)。這一點(diǎn)恰好彌補(bǔ)了KMC算法需要預(yù)先確定聚類數(shù)目的缺陷。與采用窮搜索方式的ML 算法相比，無監(jiān)督學(xué)習(xí)中KMC 算法的計(jì)算復(fù)雜度要低很多[12]。基于此，針對(duì)SPPM 系統(tǒng)，本文提出了一種基于K 均值聚類的分步分類檢測(cè)算法，其檢測(cè)原理如圖2 所示。

圖2 基于K 均值聚類的分步分類檢測(cè)原理

由圖2 可知，本文所提算法分為離線訓(xùn)練和在線檢測(cè)2 個(gè)階段。需要說明的是，本文所提算法中訓(xùn)練階段的聚類數(shù)目就是PPM 階數(shù)，即二者數(shù)目相等，文中統(tǒng)一用L來表示。在離線訓(xùn)練階段之前，發(fā)送端首先發(fā)送大量的隨機(jī)信號(hào)給接收端，接收端接收這些隨機(jī)信號(hào)并建立訓(xùn)練樣本集。同樣，在線檢測(cè)階段的測(cè)試集也由該方法得到。在離線訓(xùn)練階段，首先利用已建立的訓(xùn)練樣本并結(jié)合基于信號(hào)向量檢測(cè)（SVD,signal vector based detection）[22]算法檢測(cè)出光源索引號(hào)。然后通過KMC 算法將訓(xùn)練樣本聚類為L個(gè)簇，并對(duì)所得簇進(jìn)行局部解映射得到質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間的映射關(guān)系。最后以該映射關(guān)系為準(zhǔn)則完成在線調(diào)制符號(hào)的實(shí)時(shí)檢測(cè)，同時(shí)以窮搜索方式檢測(cè)出光源索引號(hào)。具體檢測(cè)過程如下。

步驟1訓(xùn)練樣本中光源索引號(hào)的檢測(cè)。

采用SVD 算法完成訓(xùn)練樣本中光源索引號(hào)的檢測(cè)，其檢測(cè)原理示意如圖3 所示。

圖3 SVD 算法檢測(cè)原理示意

假設(shè)第j個(gè)光源發(fā)出的PPM 符號(hào)為xl，探測(cè)器接收到信號(hào)為y。由于噪聲的影響，致使大氣信道中傳輸?shù)腟PPM 信號(hào)偏離原來的方向。這使接收信號(hào)y與hjxl之間必然存在夾角，假設(shè)其夾角為θj。其中，hj為信道衰減矩陣H的第j列。SVD 算法的原理是通過計(jì)算接收信號(hào)y與hjxl之間的夾角θj來估計(jì)激活光源的索引號(hào)，其計(jì)算依據(jù)為[22]

由式(9)可知，θj值的大小反映了接收信號(hào)y相對(duì)于實(shí)際發(fā)送信號(hào)的偏離程度。θj值越小說明偏離程度越小，即圖3 中d越小。將最小θj所對(duì)應(yīng)的光源檢測(cè)為激活光源，并提取其索引號(hào)。

步驟2利用K 均值聚類算法對(duì)訓(xùn)練樣本聚類。

對(duì)于一個(gè)具有S個(gè)接收信號(hào)的訓(xùn)練樣本集{y1,y2,…,yS}而言，由于光源索引號(hào)所傳遞的信息屬于隱含信息，因此實(shí)際接收信號(hào)是受到加性高斯噪聲和信道衰落影響后的PPM 信號(hào)，那么就可以根據(jù)接收信號(hào)特征將其聚類為L個(gè)簇。具體的聚類過程如下。

①從訓(xùn)練樣本集{y1,y2,…,ys}中隨機(jī)選取L個(gè)接收信號(hào)作為初始質(zhì)心，假設(shè)表示第k個(gè)簇的初始質(zhì)心k=1,2,…,L。

②計(jì)算接收信號(hào)yi(i=1,2,…,S)到各質(zhì)心的歐氏距離，并尋找最小距離對(duì)應(yīng)的質(zhì)心，即，然后將yi分類至該質(zhì)心所對(duì)應(yīng)簇中。

③計(jì)算每個(gè)簇中所有接收信號(hào)的均值，并將其作為新的質(zhì)心，重復(fù)步驟②和步驟③直至所有的質(zhì)心C1,C2,…,CL不再發(fā)生變化。

為了減小隨機(jī)初始質(zhì)心對(duì)聚類結(jié)果的影響，重復(fù)步驟①～步驟③P次。每次隨機(jī)選取初始質(zhì)心并經(jīng)循環(huán)迭代后均會(huì)得到L個(gè)簇。為描述不同次聚類結(jié)果的斂散性程度，采用SSE 作為度量聚類質(zhì)量的目標(biāo)函數(shù)。SSE 越小，說明各簇中的接收信號(hào)越接近其質(zhì)心，聚類結(jié)果越好。因此，選取SSE 最小的一次聚類作為最終聚類結(jié)果。依據(jù)此方法，將離線接收信號(hào)聚類為L個(gè)簇，同時(shí)得到每個(gè)簇的質(zhì)心。

步驟3質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間映射關(guān)系的獲取。

對(duì)步驟2 中所得的簇進(jìn)行解映射。當(dāng)KMC 算法收斂于全局最小值時(shí)，各質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間具有一一映射關(guān)系。所以，不需要對(duì)每個(gè)簇中的接收信號(hào)進(jìn)行完全解映射，可采用局部解映射來降低解映射的計(jì)算復(fù)雜度。就是說，從每個(gè)簇中任意選取一個(gè)接收信號(hào)，利用ML 算法遍歷所有可能PPM 符號(hào)，并選取歐氏距離最小的作為該簇對(duì)應(yīng)的PPM 符號(hào)，由此得到各質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)之間的映射準(zhǔn)則。局部解映射過程為

其中，y(ω)表示從第ω個(gè)簇中選取的接收信號(hào)，H(ω)表示接收信號(hào)y(ω)所對(duì)應(yīng)的信道衰落系數(shù)。

若質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間不滿足一一映射關(guān)系，返回步驟2 并增大初始化次數(shù)重新進(jìn)行聚類和解映射，直至質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間滿足該關(guān)系，下面，以圖4 為例來具體說明。

圖4 局部解映射示意

假設(shè)接收信號(hào)y8的解調(diào)結(jié)果為[Am000]，那么簇 3 中的所有接收信號(hào)可直接解映射為[Am000]，質(zhì)心C3與調(diào)制符號(hào)間的映射關(guān)系可表示為C3→[Am000]。同樣，利用步驟3 可得到其余質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間的映射關(guān)系。

步驟4在線信號(hào)的實(shí)時(shí)檢測(cè)。

以步驟3 所得映射關(guān)系為準(zhǔn)則對(duì)在線信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)。具體地，分別計(jì)算接收信號(hào)到L個(gè)質(zhì)心的歐氏距離，找到最小歐氏距離所對(duì)應(yīng)的質(zhì)心，并將該質(zhì)心所對(duì)應(yīng)的調(diào)制符號(hào)作為解調(diào)結(jié)果。在已知PPM 信號(hào)xl的基礎(chǔ)上，采用窮搜索的方式檢測(cè)光源索引號(hào)。其依據(jù)為

最后，對(duì)光源索引號(hào)和調(diào)制符號(hào)分別進(jìn)行逆映射即可恢復(fù)出原始的信息比特。

3 系統(tǒng)誤比特率分析

由式(12)與式(13)可知，當(dāng)判決準(zhǔn)則準(zhǔn)確無誤時(shí)，在線檢測(cè)過程可以看作分別對(duì)質(zhì)心（PPM 符號(hào)）與光源索引進(jìn)行窮搜索的一種檢測(cè)方法，即所提算法實(shí)質(zhì)上為一個(gè)分步檢測(cè)的ML 算法。假設(shè)僅考慮理想情況，也就是說，在訓(xùn)練樣本數(shù)足夠大且判決準(zhǔn)則準(zhǔn)確無誤的情況下，推導(dǎo)所提算法的理論誤比特率。依據(jù)文獻(xiàn)[23]，采用聯(lián)合界技術(shù)來分析SPPM系統(tǒng)在所提算法下的平均比特錯(cuò)誤概率（ABEP,average bit error probability），其上界可表示為

其中，APEP（average pairwise error probability）表示平均成對(duì)錯(cuò)誤概率。根據(jù)文獻(xiàn)[5]，發(fā)射端發(fā)送符號(hào)xl,s而被接收端誤檢為時(shí)的APEP 為

其中，ρ為平均電信噪比（SNR,signal to noise ratio），為Gaussian-Q 函數(shù)。為了描述方便，定義

其中，hs和分別表示信道矩陣H的第s列和第列，hs=Hxs，分別表示實(shí)際發(fā)送光源索引向量xs和調(diào)制符號(hào)向量xl的估計(jì)值。

由式(16)可知，獲得誤比特率的關(guān)鍵在于正確分析檢測(cè)錯(cuò)誤的類型，并計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的APEP。只有當(dāng)光源索引號(hào)和PPM 符號(hào)均被正確檢測(cè)出時(shí)，信號(hào)才能被正確解調(diào)。基于分步分類的檢測(cè)思想，同時(shí)綜合考慮影響系統(tǒng)誤碼性能的因素，可將其錯(cuò)誤歸納為以下3 類。

第一類錯(cuò)誤：光源索引號(hào)和PPM 符號(hào)均檢測(cè)錯(cuò)誤，即s≠，l≠。其錯(cuò)誤類型可表示為

經(jīng)過計(jì)算，第一類錯(cuò)誤結(jié)果為

其中，hsi表示信道矩陣H中的第i行第s列元素，表示信道矩陣H中的第i行第列的元素。經(jīng)計(jì)算可得，第一類錯(cuò)誤共計(jì)有Nt(Nt-1)L(L-1)項(xiàng)。

第二類錯(cuò)誤：PPM 符號(hào)檢測(cè)正確而光源索引號(hào)檢測(cè)錯(cuò)誤，即s≠，l=。同樣采用和第一類錯(cuò)誤相同的分析方法，計(jì)算化簡可得第二類錯(cuò)誤結(jié)果為

第二類錯(cuò)誤項(xiàng)數(shù)為LNt(Nt-1)。

第三類錯(cuò)誤：光源索引號(hào)檢測(cè)正確而PPM 符號(hào)檢測(cè)錯(cuò)誤，即s=，l≠。采用和第一類錯(cuò)誤相同的分析方法，計(jì)算化簡可得第三類錯(cuò)誤結(jié)果為

第三類錯(cuò)誤項(xiàng)數(shù)為NtL(L-1)。

由以上3 種錯(cuò)誤類型可知，其錯(cuò)誤結(jié)果表達(dá)式可分為2 種形式，一種是2 個(gè)隨機(jī)變量加權(quán)平方累加的形式，另一種是加權(quán)差平方累加和形式。對(duì)于第一種形式而言，由于h是服從Gamma-Gamma 分布的隨機(jī)變量，則其平方的矩量母函數(shù)（MGF,moment generating function）[24]為

其中，G[·]為Meijer G 函數(shù)。根據(jù)有關(guān)多個(gè)隨機(jī)變量MGF 的性質(zhì)[24]，可求得W1的APEP 為

其中，c1=c2=。

對(duì)于錯(cuò)誤類型 2W，由于缺少對(duì)應(yīng)加權(quán)差的平方和形式的分布函數(shù)，這里采用高斯核密度估計(jì)（KDE,kernel density estimation）方法[5]來計(jì)算此時(shí)的APEP。其近似結(jié)果為

其中，n為采樣數(shù)，，ε2為根據(jù)W2計(jì)算所得的均值，χ為核密度估計(jì)的窗寬。

對(duì)于錯(cuò)誤類型W3，同樣使用MGF 方法，可求得APEP 為

其中，c=。

將以上3 種錯(cuò)誤類型對(duì)應(yīng)的APEP 代入式(14)，可得系統(tǒng)誤比特率上界為

由式(25)可知，系統(tǒng)的理論誤比特率會(huì)受到調(diào)制階數(shù)、探測(cè)器數(shù)目、光源數(shù)目以及大氣湍流強(qiáng)度等的影響，有關(guān)其具體變化將在下文中詳細(xì)給出。

4 性能分析

為了更好地說明所提算法的性能，本文采用蒙特卡羅方法對(duì)所提算法的誤比特性能和計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行了仿真分析。相應(yīng)的仿真條件為：假設(shè)接收端已知完整的信道狀態(tài)信息，SPPM 系統(tǒng)瞬時(shí)功率歸一化為1，光電轉(zhuǎn)換效率η=0.5。強(qiáng)湍流時(shí)，α=4.2，β=1.4，=3.5；中等湍流時(shí)，α=4.0，β=1.9，=1.6；弱湍流時(shí)，α=11.6，β=10.1，=0.2[2]。訓(xùn)練集數(shù)據(jù)和測(cè)試集數(shù)據(jù)分別采用 1.2×106、9×105個(gè)隨機(jī)生成的SPPM 接收信號(hào)。為了方便識(shí)別，采用(Nt,Nr,L)來標(biāo)注SPPM 系統(tǒng)參數(shù)。若無特殊說明，仿真過程中的大氣信道條件為中等湍流。

4.1 誤比特率性能分析

圖5 為不同SPPM 系統(tǒng)的理論誤比特率與蒙特卡羅仿真結(jié)果，此時(shí)初始化次數(shù)P=60。由圖5 可知，在KMC 算法收斂于全局最小值的情況下，理論分析結(jié)果與蒙特卡羅仿真結(jié)果相吻合。即在低信噪比時(shí)，理論誤比特率大于實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果，而當(dāng)SNR≥25 dB 時(shí)二者近似重合，這是因?yàn)槔碚撜`比特率僅是仿真誤比特率的上界。

圖5 不同SPPM 系統(tǒng)的理論誤比特率與蒙特卡羅仿真結(jié)果

圖6 為采用本文所提算法、ML 檢測(cè)算法、線性譯碼檢測(cè)算法（MMSE 檢測(cè)算法和ZF 檢測(cè)算法）以及CS 檢測(cè)算法時(shí)SPPM 系統(tǒng)的誤比特率性能。此時(shí)，初始化次數(shù)P=60。由圖6 可知，1)本文所提算法能夠取得近似ML 檢測(cè)算法的誤比特率性能，且明顯優(yōu)于線性譯碼算法和CS 檢測(cè)算法。對(duì)于(2,3,4)-SPPM系統(tǒng)而言，相比于CS 檢測(cè)算法及線性譯碼檢測(cè)算法（MMSE 檢測(cè)算法和ZF 檢測(cè)算法），當(dāng)BER=10-2時(shí)，本文所提算法的信噪比分別改善了約5 dB、8 dB 和11 dB。2)當(dāng)探測(cè)器數(shù)目小于光源數(shù)目時(shí)，本文所提算法仍表現(xiàn)出良好的誤碼性能。例如，在(8,4,4)-SPPM系統(tǒng)中，當(dāng)BER=10-2時(shí)，相比于CS 檢測(cè)算法，其信噪比改善了約8 dB，同時(shí)有效彌補(bǔ)了線性譯碼算法無法適用于探測(cè)器數(shù)目小于光源數(shù)目系統(tǒng)的缺陷[25]。

圖6 采用不同檢測(cè)算法時(shí)SPPM 系統(tǒng)的誤比特率性能

圖7 為不同湍流條件下(8,4,4)-SPPM 系統(tǒng)的誤比特率性能。此時(shí)，初始化次數(shù)P=60。從圖7 可以看出，本文所提算法在中等湍流和強(qiáng)湍流條件下所取得的誤比特率性能基本相同，均優(yōu)于弱湍流條件下系統(tǒng)的性能。相比于弱湍流，當(dāng)BER=10-3時(shí)，中強(qiáng)湍流條件下系統(tǒng)的信噪比改善了約3 dB。這是因?yàn)橹袕?qiáng)湍流條件下的信道衰落系數(shù)差異性較大，信號(hào)間的特征更明顯，使在同等條件下其聚類精度更高、誤比特率性能更好。

圖7 不同湍流條件下(8,4,4)-SPPM 系統(tǒng)的誤比特率性能

對(duì)于本文所提算法而言，能否建立質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間的一一映射關(guān)系是決定系統(tǒng)誤比特率性能的關(guān)鍵，而質(zhì)心的求取與KMC 算法的聚類結(jié)果密切相關(guān)。為了進(jìn)一步說明本文所提算法的性能，下面將分別討論不同初始化次數(shù)以及聚類數(shù)目對(duì)系統(tǒng)誤比特率性能的影響，其結(jié)果如圖8 和圖9 所示。

圖9 聚類數(shù)目對(duì)系統(tǒng)誤比特率性能的影響

圖8 為初始化次數(shù)對(duì)(4,4,8)-SPPM 系統(tǒng)誤比特率性能的影響。由圖8 可知，1)當(dāng)P≤20 時(shí)，系統(tǒng)的誤比特率性能均出現(xiàn)了錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)，且隨著P值的增加這一現(xiàn)象得到了明顯改善。這是因?yàn)槌跏蓟螖?shù)較小時(shí)KMC 算法無法收斂于全局最小值，導(dǎo)致質(zhì)心（簇）與調(diào)制符號(hào)之間的映射關(guān)系中存在多對(duì)一的情況，即訓(xùn)練階段所建立的映射關(guān)系中缺失部分PPM 符號(hào)。當(dāng)再以該映射關(guān)系為準(zhǔn)則對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行在線檢測(cè)時(shí)，信噪比的增加并不會(huì)帶來系統(tǒng)誤比特性能的改善。2)當(dāng)P≥30 時(shí)，錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)已完全消除，系統(tǒng)的誤比特率性能與ML 檢測(cè)算法幾乎相近，此時(shí)繼續(xù)增大初始化次數(shù)對(duì)系統(tǒng)誤比特率性能的改善并不明顯。由此可見，聚類數(shù)目確定后，增大初始化次數(shù)能夠在一定程度上緩解隨機(jī)初始化質(zhì)心對(duì)聚類結(jié)果的影響，降低系統(tǒng)的誤比特率。對(duì)于(4,4,8)-SPPM 系統(tǒng)而言，若采用本文所提算法進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，當(dāng)同時(shí)考慮系統(tǒng)誤比特率性能和訓(xùn)練階段計(jì)算復(fù)雜度時(shí)，初始化次數(shù)可設(shè)定為30。

圖8 初始化次數(shù)對(duì)(4,4,8)-SPPM 系統(tǒng)誤比特率性能的影響

圖9 為聚類數(shù)目（即PPM 階數(shù)）對(duì)系統(tǒng)誤比特率性能的影響。由圖9 可知，1)對(duì)于不同調(diào)制階數(shù)的SPPM 系統(tǒng)而言，初始化次數(shù)對(duì)其誤比特率性能的影響不同。例如，(4,4,2)-SPPM 系統(tǒng)在P=1 時(shí)就取得較好的誤比特率性能；(4,4,4)-SPPM 系統(tǒng)則需要5 次才能消除錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)；(4,4,16)-SPPM 系統(tǒng)出現(xiàn)了較大的誤比特率性能損失，即便初始化次數(shù)增大至100，錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)也未能消除。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因同圖8 相似，聚類數(shù)目越大，隨機(jī)初始質(zhì)心來自不同特征的接收信號(hào)集合的概率越小，此時(shí)KMC 算法越容易陷入局部最小值，需要更大的初始化次數(shù)才能保證KMC 算法能夠收斂于全局最小值。由此可見，本文所提算法更適用于低階PPM 系統(tǒng)，考慮到調(diào)制階數(shù)對(duì)訓(xùn)練復(fù)雜度的影響，可確定本文所提算法適應(yīng)的調(diào)制階數(shù)范圍為L≤8。2)結(jié)合圖8 可得，調(diào)制階數(shù)不同時(shí)本文所提算法的最優(yōu)初始化次數(shù)也不同。例如，(4,4,8)-SPPM 系統(tǒng)的最優(yōu)初始化次數(shù)為30。因此，在實(shí)際應(yīng)用中訓(xùn)練階段初始化次數(shù)的大小應(yīng)根據(jù)PPM 的調(diào)制階數(shù)而定。3)初始化次數(shù)為30 時(shí)，調(diào)制階數(shù)依次為2、4和8 的SPPM 系統(tǒng)均未出現(xiàn)錯(cuò)誤平臺(tái)效應(yīng)，且所取得的誤比特率逐漸減小。當(dāng)BER=10-4時(shí)，相對(duì)于調(diào)制階數(shù)為2 的SPPM 系統(tǒng)，調(diào)制階數(shù)為8 的SPPM系統(tǒng)的信噪比改善了約2 dB。

4.2 計(jì)算復(fù)雜度分析

譯碼算法的復(fù)雜度是決定算法能否走向?qū)嵱没年P(guān)鍵。因此，根據(jù)光信號(hào)的特點(diǎn)，以一次加法和一次乘法運(yùn)算作為一個(gè)復(fù)雜度的度量，分析對(duì)比了ML 檢測(cè)算法、線性譯碼檢測(cè)算法（MMSE 檢測(cè)算法和ZF 檢測(cè)算法）、CS 檢測(cè)算法以及本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度，其結(jié)果如表1 所示。

表1 各算法復(fù)雜度

由于本文所提算法分為離線訓(xùn)練時(shí)質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間準(zhǔn)則的獲取和在線信號(hào)的實(shí)時(shí)檢測(cè)，因此，其計(jì)算復(fù)雜度也分為離線訓(xùn)練和在線檢測(cè)的復(fù)雜度。

1)離線訓(xùn)練時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度

假設(shè)訓(xùn)練樣本集中接收信號(hào)的個(gè)數(shù)為S，參照式(9)～式(11)，本文所提算法在離線訓(xùn)練時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度包括光源索引號(hào)檢測(cè)、訓(xùn)練樣本的聚類及其局部解映射3 個(gè)部分。

在光源索引號(hào)的檢測(cè)中，依據(jù)式(9)，檢測(cè)一個(gè)接收信號(hào)的計(jì)算復(fù)雜度為(6NrL+L)Nt+2NrL-1。因此，當(dāng)完成S個(gè)訓(xùn)練樣本的光源索引號(hào)檢測(cè)時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度為((6NrL+L)Nt+2NrL-1)S。采用K 均值聚類算法對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行聚類時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度為P(S-L)LI≈PSLI，其中，I表示迭代次數(shù)[10]。在局部解映射的過程中，由式(11)可見，需要遍歷所有可能的調(diào)制符號(hào)。因此，當(dāng)完成L個(gè)接收信號(hào)的解映射時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度為(2NtNrL+2NrL-1)L2。綜上所述，訓(xùn)練階段本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度為

其中，Comtaining表示本文所提算法離線訓(xùn)練時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度。

2)在線檢測(cè)時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度

在對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)時(shí)，其計(jì)算復(fù)雜度包括光源索引號(hào)檢測(cè)與調(diào)制符號(hào)檢測(cè)2 個(gè)部分。由式(12)和式(13)可知，求解接收信號(hào)到一個(gè)質(zhì)心間歐氏距離的計(jì)算復(fù)雜度為3NrL-1。由于質(zhì)心的搜索空間為L，因此 PPM 符號(hào)檢測(cè)的復(fù)雜度為L(3NrL-1)。光源索引號(hào)檢測(cè)的復(fù)雜度為Nt(2NtNrL+2NrL-1)。因此，在線檢測(cè)時(shí)本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度為

對(duì)于確定的SPPM 系統(tǒng)來說，本文所提算法只需進(jìn)行一次離線訓(xùn)練即可得到各質(zhì)心與調(diào)制符號(hào)間的映射關(guān)系，因此，只需考慮在線檢測(cè)時(shí)的計(jì)算復(fù)雜度即可。

由表1 可知，5 種檢測(cè)算法的計(jì)算復(fù)雜度均與Nt、Nr、L有關(guān)。為了說明它們之間的變化，在圖10 中給出了L=8、Nr=8時(shí)各檢測(cè)算法復(fù)雜度與光源數(shù)目間的關(guān)系。

圖10 計(jì)算復(fù)雜度與光源數(shù)目的關(guān)系

由圖10 可知，1)本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度明顯低于ML 檢測(cè)算法，而且隨著光源數(shù)目的增加，其在復(fù)雜度方面的優(yōu)勢(shì)更加顯著。當(dāng)光源數(shù)目分別為2、4、8 和128 時(shí)，本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度比ML 檢測(cè)算法的計(jì)算復(fù)雜度分別下降了約62.57%、80.03%、85.43%和87.49%。2)與ZF 檢測(cè)算法和CS 檢測(cè)算法相比，本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度有所增大。當(dāng)Nt=128時(shí)，本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度比ZF檢測(cè)算法和CS檢測(cè)算法的復(fù)雜度分別增大了約3.68 倍和121.39 倍。3)與MMSE 檢測(cè)算法相比，當(dāng)光源數(shù)目小于64 時(shí)，本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度高于MMSE 檢測(cè)算法的計(jì)算復(fù)雜度。但是，當(dāng)光源數(shù)目大于64 時(shí)，本文所提算法的計(jì)算復(fù)雜度低于MMSE 檢測(cè)算法。

綜上所述，結(jié)合圖6 與圖10 可得，本文所提算法具有近似ML 檢測(cè)算法的誤比特性能，且其復(fù)雜度明顯低于ML 檢測(cè)算法；與CS 檢測(cè)算法相比，本文所提算法以增加部分復(fù)雜度為代價(jià)，有效降低了系統(tǒng)的誤比特率。

5 結(jié)束語

針對(duì)無線光通信系統(tǒng)對(duì)高傳輸速率和低復(fù)雜度的要求，本文依據(jù)光空間脈沖位置調(diào)制的信號(hào)特點(diǎn)，基于機(jī)器學(xué)習(xí)中的無監(jiān)督學(xué)習(xí)（K 均值聚類），提出了一種適合于SPPM 的分步分類檢測(cè)算法。研究表明，本文所提算法有效彌補(bǔ)了CS 檢測(cè)算法應(yīng)用場(chǎng)景受限的缺陷，與線性譯碼算法相比，其能夠適用于探測(cè)器數(shù)目小于光源數(shù)目的通信場(chǎng)景，并以部分復(fù)雜度的增加為代價(jià)有效提升了系統(tǒng)的誤比特性能。相比于ML 檢測(cè)算法，本文所提算法在取得近似ML 檢測(cè)算法誤比特性能的條件下，大幅降低了信號(hào)檢測(cè)的計(jì)算復(fù)雜度。尤其是在光源數(shù)目較大的SPPM 系統(tǒng)中，本文所提算法更具有明顯優(yōu)勢(shì)。但是，當(dāng)PPM 階數(shù)大于8 時(shí)，系統(tǒng)所取得的誤比特率性能還不夠理想，筆者將繼續(xù)對(duì)KMC 算法進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，以滿足不同通信系統(tǒng)的信號(hào)檢測(cè)需求。