在深度思維中追尋數學本質

江蘇省濱海縣東坎街道中心小學 李艾娣

教師要由“知識本位”向“素養本位”轉向，促進數學學科思維的培養，讓學生通過深度學習去探尋數學規律，形成深度的數學理解，獲得有意義的建構。教師要借助挑戰性的問題引導學生積極參與，在深度的思考中獲得創新的見解。

一、比較：凸顯本質，形成深度理解

比較，能借助于相對點與不同點的研究理解知識，分析事物特征，形成有深度的理解。比較，能厘清概念與性質的異同，把握概念間的邏輯關系，能化解難點內容，暴露出錯根源，探尋分析錯根。教師要借助于知識的比較，加強橫向與縱向的聯系，能促進學生對本質內容的理解。

1.比較工具，掌握優勢。教師要借助于不同數學工具的比較，讓學生去發現優勢，從而不自覺地探尋其中蘊含的規律。如在學習蘇教版五下《圓的認識》一課內容時，教師提出問題：如果讓大家畫一個圓，你會用怎樣的方法去畫？學生想到了不同的方法，有的學生想到用瓶蓋、硬幣、鈕扣等圓形的物體去畫，有的學生想到借助三角尺中間的圓去畫，也有學生想到用圓規畫圖。教師讓學生試著用圓形物體、圓規這些方法畫圓，并說說自己的體會。學生通過比較，發現圓形物體畫得容易，但只能畫出與物體一樣大小的圓，圓規畫得慢，但可以畫出大小不等的圓。

為了讓學生發現圓規的特征，教者故意不去講述圓規的正常使用方法，而為他們留有探索使用圓規的空間。教師呈現標準的圓以及用圓規畫出的不規則的圓，讓學生分析“病因”，有針尖動了的，有兩腳距離發生變化的，有旋轉不流暢的……教師順勢引導學生認識圓規的各個部分，讓他們掌握畫圓的“竅門”，懂得“定點”“定長”這兩個關鍵點。

2.比較方法，多向思維。教師要引領學生立足于不同的視角去分析問題、探尋規律，以不同的方法去分析、歸納，從而獲得相同的答案。教師將多種方法加以對比，既能激活學生的思維，也能讓學生學會從不同的角度去思考問題、解決問題。

如在學習蘇教版五下《圓的面積》一課內容時，為促進學生對“轉化”思想的認識，教師引導學生將圓的面積“切割”成等大的小扇形（32 份、64 份……），并將之重組成近似的長方形，這個長方形的長就是圓周長的一半，高就是圓的半徑，因而可以自然地推導出圓的面積公式。教師也可以借助于多媒體動畫將圓的面積“層層剝離”，從外圈逐步向內層剝起，將之轉化為一個底為圓的周長、高為圓的半徑的三角形，這樣學生也能輕易地推導出圓的面積。教師通過形式化的推導，讓學生感受轉化的數學思維，也學會從多角度去探尋解決問題的方法。

3.比較主體，明晰特征。傳統教學中教師是“主體”，通過教師的講解，讓學生掌握數學規律。教師要讓學生成為探求知識的“主體”，彈性設計內容，為他們留有操作驗證的空間，通過優化教學活動，促進教學融合。教師要善于讓學，讓出課堂的“C 位”，讓出話語的機會、體驗的空間，給他們更大的探索空間，形成自己的獨特感悟，從而能探尋出數學知識的本質，形成有深度的理解。

在學習《圓的認識》一課內容時，教師讓學生用折、畫、量等方式去找到圓片的圓長、最長的線段，并驗證圓的直徑與半徑之間的關系。學生在探索中會發現折痕交叉的點就是圓心、折痕就是直徑，并發現圓是軸對稱圖形，直徑有無數條且每條長度都相等，通過測量、對比等方法發現圓的直徑是半徑的2 倍。雙主融合，能為學生搭建探索知識的平臺，讓學生形成的認識更深刻。

二、整體：縱橫聯系，建立知識脈絡

教師要立足于數學系統化、整體化的視角，對教學內容加以整合，疏通邏輯關系，建立內在聯系，優化學生的認知結構，能促進學生對數學思維方法的理解，將數學教學不斷引向深入。

1.縱向聯系，疏理知識脈絡。數學知識結構是呈螺旋上升的，教師要抓住知識的生長與延伸之處，能尋找數學概念的前世今生，建立局部與整體之間的關聯，再現知識的發展脈絡，能幫助學生獲得整體的認知。教師要借助“前知識”學習中積累的經驗去探索新知，讓學生去運用掌握的方法模型去解決問題，從而能形成整體化的理解。

如在學習蘇教版五上《除數是小數的小數除法》一課內容時，教師要立足于學生的認知經驗，讓學生回顧兩、三位數除以一位數，除數是整數的小數除法的計算方法，探索將除數是小數的除法轉化為除數是整數的除法，在“轉化”思想的運用中掌握計算的方法。教師提出問題：三峽船閘最大的一扇門高38.5 米，寬20.2 米，被稱為“天下第一門”，小男孩家的門高是2.2 米，根據上面的信息，你會提出怎樣的問題？通過學生探討交流，他們采用的方法是將米轉化為分米，或將除數、被除數都擴大10 倍，在探討中他們發現被除數與除數的小數點移動的位數要相同，商的小數點要與被除數移動后的小數點對齊。

2.橫向關聯，建立思維網絡。教師加強知識的橫向關聯，引領學生去分析、比較、概括、類比等活動，能幫助他們獲得整體的認知。教師只有聯系相關聯的內容，處理好知識之間的關聯，才能幫助學生建立結構化的知識體系。

如在學習蘇教版五下《三角形的面積》一課內容時，教師引領學生回顧“平行四邊形面積的推導”，讓他們結合“轉化”的數學思想將三角形的面積轉化為平行四邊形的面積。三角形的面積推導也為后面梯形的面積推導做好鋪墊。教師讓大家猜一猜：能不能將三角形轉化為已有的圖形來求面積？學生在小組探究中思考：將三角形轉化為學過的什么圖形？三角形與轉化后的圖形有什么關系？大家拿出準備好的三種類型的三角形，通過動手拼一拼、擺一擺或剪拼等方式進行探索。學生有了平行四邊形面積公式的支撐，必然會想到將三角形轉化為平行四邊形進行探究，從而能找到新舊知識之間的聯系，讓舊知識成為新知識的鋪墊。

學生要建構知識之間的聯系，能從整體關聯的角度將相關的知識點串連起來，能將零散、碎片的知識由點及面地聯系起來，形成一個縱橫交錯、立體化的知識“網絡”，能促進學生對所學知識點的系統理解。

3.融會貫通，拓展認知路徑。教師要立足于學生的已有經驗，通過有層次、遞進性的探索，促進他們對知識的理解內化。教師要對所學問題進行合理改變，如由長方體的表面積問題遷移到計算“制作無蓋魚缸所用的玻璃”問題，以實現知識的正向遷移，實現知識的融會貫通，能豐富他們的知識經驗，完善他們的認知結構。

教師要不滿足于結論的探尋，為學生留有思維拓展的空間，能加深對所學內容的理解，使他們的思維向縱深處延伸。如在學習《圓的認識》一課內容后，教師提出諸如“輪胎為什么設計成圓形的，而不是方形的？”“井蓋為什么是圓的？”學生通過查閱資料等方式，經歷探索、理解、應用的過程，能加深他們對圓的理解。教師讓學生剪下一個圓，折一折、畫一畫，看誰在自己的圓中畫的半徑最多？并追問：還能繼續畫嗎？能畫得完嗎？這說明了什么？學生通過積極的探索，能說出“半徑有無數條”的結論。教師讓學生用刻度尺量一量這些半徑，看看有什么發現？學生發現半徑都相等。教師追問學生：你們手上的圓的半徑與老師黑板上圓的半徑相等嗎？什么情況下半徑的長度才相等？在同一圓內有多少條直徑？這些直徑相等嗎？教師以問題導學，讓他們探尋圓的內在規律，能準確地把握圓的特征。

三、類推：觸類旁通，孕育創新思維

類推，是從兩個對象部分屬性相同，推出其他屬性亦相同，這是一種從特殊到特殊的推理，能使學生的思維實現“從0到1”質的突破。類推，在猜想、判斷、驗證等活動中建構知識間的關聯，將新的知識、新的方法納入到知識體系中。類推，能打破思維定式，讓學生經歷由此及彼的發現，提升學生觸類旁通的能力。

1.探尋對象，借猜想促頓悟。學生面對超出舊知范圍的內容進行思考、猜想，能產生全新的思考。教師要引導學生去尋找與探索對象相關的類比對象，讓他們去猜想、驗證，能從不同的視角去解決問題。

如在學習蘇教版四下《乘法分配律》一課內容時，教師提出問題：公園里共種植芍藥 12 排，牡丹 8 排，每排 9 棵，芍藥和牡丹一共有多少棵？學生找到了兩種方法解決問題：一種方法是，先求出芍藥與牡丹一共種了多少排，再求出共有多少棵，即（12+8）×9=180（棵）；另一種方法是，分別求出芍藥與牡丹各種了多少棵，即12×9+8×9=180（棵）。學生通過結果的對比，發現雖然算法不同，但結果是一樣的。教師引導他們聯系前面所學的運算律，會產生怎樣的猜想？學生將交換律與結合律放一起類比，從而對“乘法分配率”產生猜想。

2.大膽探索，借驗證促提升。類推能促進學生創造思維的發展，但很多類推未能獲得嚴密的論證，有些是片面的、不嚴謹的，教師要引導他們去驗證自己的猜想，使自己的思維變得更加嚴謹。教師要教會學生驗證的方法，可以通過舉例來驗證，也可以通過畫圖來驗證，學生通過分工協作，以不同的方法驗證自己的猜想，從而能促進學生思維品質的提升。

在學習蘇教版四下《三角形的內角和》一課內容時，教師讓學生量一量自己的三角板各個角的度數，并求出三個內角的和，再讓他們類比兩個特殊的直角三角形，猜想一下不同類型三角形的內角和是多少？為驗證他們的猜想，學生使出了“渾身解數”，有的學生通過測量各個角的度數，并求出內角和；有的學生用拼一拼的方式驗證，將三個角剪下來，拼在一起，看是不是平角；有的學生通過折一折的方法，先找到兩條邊的中點，并用線連起來，按這條線折起來，再將另外兩個角折起來……教師為學生驗證的機會，讓他們聚焦問題核心，運用不同的方法驗證，從而能促進創造思維品質的培育。

3.多元表征，借關聯促發展。學生在類推的過程，能從不同的角度探索，形成了多種驗證方法，能打通知識之間的關聯，讓他們在深度探索中形成自己的理解。教師要引導學生將符號、圖形、文字等多種表征方式聯系起來，深化學生對所學內容的理解。如在學習“乘法結合律”內容時，教師要類推加法結合律的學習方式，先讓學生用文字表述，再以符號簡化(ab)c=a(bc)，還可以運用圖形表達，不同表征方式彼此聯系、相互驗證，能促進學生對乘法結合律的理解。

四、批判：質疑問難，精確理解內容

教師要革新傳統的教學文化，改變“記憶、模仿、訓練”的模式，讓探究成為課堂學習的常態。批判不是簡單的質疑與否定，而是在探究中對概念、原理的分析與論證，能形成更好的判斷與理解。

1.合理質疑，精準把握概念。教師要圍繞重點處、疑點處引生質疑，讓他們能提供科學的證據、有力的推理對概念進行深度的再思考，從而能更精準地把握概念。如在學習四下《認識三角形》一課內容時，教師讓學生依圖試說什么叫三角形，當學生說出“由三條線段組成的圖形叫三角形 ”時，教師讓學生在操作中感悟，并舉出反例，從而使自己的表述變得更加嚴謹。在分類時，教師要追問“是否還有其他情況”，能促進他們對概念內涵的理解以及分類討論思考的滲透。

2.讓導發現，自探數學問題。學生對數學學習充滿好奇，教師要以“發問”激發學生的好奇心，引導他們探索在學習中遇到的問題。教師要善于“留白”，為學生留有自主探索數學規律的空間，讓他們在自主思考中有所發現、有所感悟。如在學習蘇教版二下《直角的初步認識》一課內容時，教師引導學生從實物抽象出直角，并通過直角特征的觀察建立表象。教師讓學生觀察鐘面上的時針與分針所形成的角，讓他們說說哪個是直角？學生在交流后，借助于三角尺上的直角去比一比，驗證自己的判斷，并強化了對直角的認識，并發現直角比銳角大、比鈍角小。

3.觀點交鋒，形成深度見解。教師要為學生營造開放的學習氛圍，引導學生從不同角度去思考問題，對不同觀點進行辯論，為自己的觀點尋找證據的支持，修正對方的誤解，也要直面錯誤，對自己的不足進行補充、完善。教師要引導學生敢于質疑、大膽批判，在辨析中形成深度的思考。學生在持有批判精神的同時，也要能理解他人的不同觀點，并探尋其中蘊含的數學思想。

總而言之，在小學數學教學中，教師要圍繞核心內容，引導學生經歷探索過程，形成深度的數學理解，能把握其中的數學規律，感悟蘊含的數學思想。教師要變“教”為“引”，變“授”為“啟”，能發掘學生的思維潛能，讓他們在體驗、感悟中獲得有意義的建構。