高中數學三角函數解題技巧探析建議

甘肅省隴西縣第二中學 謝克仁

高中三角函數是整個數學學習的重點以及難點，是歷年高考試題的熱門考點，它主要考查的是學生的邏輯分析能力、推理能力以及抽象思維能力，能幫助學生提高綜合能力，為學生未來的發展打下堅實的基礎。但在實際的教學中，一般這個部分的內容學習起來是比較吃力的，有的老師使用的是傳統的教學方式，讓學生對公式死記硬背，導致學生不會變通，當題目稍微變動一下就不會解題，在這樣的教學方式下，學生的能力永遠也不會得到提高，更無法適應當下的高考。所以，熟練掌握三角函數的解題技巧是很有必要的，對其他科目的學習也會有很大幫助。

一、當前高中三角函數教學過程中存在的主要問題

1.教師不注重學生能力的培養。

高中階段的學習任務非常繁重，不僅學生面臨著巨大的學習壓力，教師也有很大的教學壓力。由于我國還處于應試教育的階段，所以一切的學習和教學都是為了提高學生的成績，為將來的高考做準備。所以在平時的教學中，很多教師就不注重教學手段的使用，而采用的是灌輸式的方式，在課上直接進入正題，學生的興趣和積極性還沒有被調動起來，無法理解公式是如何得來的。老師也不會去講解公式具體的推導過程，學生只能死記硬背公式。雖然這的確是快速提高成績的一個有效方法，但它不適合新課標下的教學，學生的各項能力都無法得到培養，只會限制學生綜合能力的發展。高中三角函數是數學學習的重中之重，其中必須要掌握正弦函數、余弦函數以及正切函數的公式推導過程，知道它們的基本概念以及如何在綜合題中運用。歸根結底，學生在學習三角函數時比較吃力與老師的教學方式有很大的關系，當老師只關注學生成績的提高，不關注學生的能力是否得到培養時，學生在學習模塊時就尤其吃力。

2.學生缺少預習和復習。

高中學習任務重，這是毋庸置疑的，但想要靠課堂的四十五分鐘完全掌握知識是幾乎不可能的，三角函數這一章的內容比較復雜，涵蓋的知識點比較多，學生需要花費大量的時間來學習。受初中學習習慣的影響，很多學生還沒有適應高中的學習模式，沒有養成課前預習和課后復習的習慣，同時課堂上學習的內容也不是單純的數字計算，而是變成了邏輯思維和抽象思維的培養。很多學生還無法適應高中的學習節奏，課前沒有做好充分的預習，等到了上課的時候就會一頭霧水，稍不留意就會錯過重要知識點。課上沒聽懂，課后做題的時候也無法進行針對性的訓練，復習也沒有計劃，久而久之就會造成完全聽不懂的后果。還有一部分學生喜歡做題的時候看答案解析，遇到難題時不去試著解決，而是寄希望于參考答案，學習態度不端正，學習習慣也沒有培養好，自然在之后的學習中逐漸失去興趣。

3.公式學習不求甚解。

高中三角函數這一模塊有很多公式，很多學生在面對一道題的時候無從下手，不知道該用哪個公式，究其原因，還是沒有真正掌握三角函數的本質。比如有一道三角函數的題是這樣的：已知sin（390°）=sin（30°＋360°）=sin30°=1/2，tanβ=3/4，求sinβ 和cosβ。很多學生在看到這道題的時候，一般首先會想到同角的正余弦比就是要求的正切值，但他們卻忽略了一個重要的知識點，即同角的正弦值的平方與余弦值的平方的和等于一，利用這個規律就可以輕松解答這道題。遇到這種題的時候，我們一般所用的方法就是簡化求值，只需要將角化成誘導公式左邊角的形式就可以輕松解決，但很多學生在做題的時候，由于對公式還沒有掌握透徹，不清楚究竟該使用哪個公式，往往把一道簡單的題復雜化，最后導致更不會解。這個問題的根本原因就是學生對公式的學習不求甚解，沒有掌握透徹。

4.易忽略有字母的三角函數值的符號。

忽略三角函數值的符號是學生在做題過程中經常容易出現的一個問題。例如：已知sinα=-3/5，求cosα 和tanα 的值。很多學生在做這道題的時候會出現一個錯誤，即利用sin2α＋cos2α=1 的變式：sinα=1-cos2α，這種的解題方法是完全錯誤的，正確解法應該是將sinα 和cosα組成二元一次方程組，利用已知的條件判斷出α 是第一象限角還是第三象限角，然后進行分情況討論。很多學生在做題的過程中往往會忽略題目中給出的條件，在進行計算的時候也容易忽略掉符號，最終導致計算出現錯誤。

5.在運用誘導公式時，對符號的把握不到位。

在學習完三角函數的整個章節后就會發現，基本的公式一共有16個，相比其他章節的公式來說已經算非常多的了，而想要真正運用好這些公式也不是一件簡單的事，有時稍不注意就會把公式的符號弄錯，導致這道題的結果出錯。有一個誘導公式是sin（л+α）=-sinα，這時應該把α 看作一個銳角，而л+α 就位于第三象限，根據學過的知識，正弦值如果在第三象限，那么結果就是負值，這才有了公式中的“-”，但很多學生在做題的時候不會考慮到這些，對符號的把握不到位，他們根據角的終邊最終落在第幾象限來確定公式后的符號，這樣的解法會造成出錯率很高，也錯用了三角函數的公式。

二、提高高中學生三角函數解題技巧的有效對策

1.充分利用數形結合的方式來解題。

如果單純地去解抽象的三角函數題可能會有些難度，尤其是對于正在學習中的學生來說，不是一件簡單的事，我們在解三角函數的題的時候，往往運用的是常規思維，計算起來就非常吃力，但如果換一種思維方式，將三角函數的圖形和坐標聯系起來解題，就會變得容易得多，這種數形結合的解題方式是三角函數中使用最多的方法之一，它能將抽象的三角函數轉換為具體的圖形，解題的過程就會變得更加具體。例如，有一道題是這樣的：求三角函數y=sinx/(2+cosx)的最值。這道題就是典型的運用數形結合的方式來解答的題。首先可以建立一個坐標系，設一個點O（cosx，sinx），已知點O 是一個單位圓上的一點，我們通過觀察圖形即可得知，函數y 所要表達的意義就是O 與已知定點之間的連線的斜率。而當連線與圓相切時，斜率會達到最值，并且有兩個最值，最小值和最大值，通過計算即可得知，最小值為，最大值為。在三角函數中，數形結合是一種常用的解題技巧，可以解決很多抽象的問題，學生在學習這一模塊的時候要尤其注意學會這種方法的運用。

2.投機取巧，掌握一些特殊的三角函數。

學會使用一些技巧會讓解題過程變得簡單很多，除了有數形結合的方式，適當的時候還可以“投機取巧”，利用特殊的規律進行解題。在學習這部分的內容時，教師可以給學生羅列出一些特殊的三角函數值和圖形，要求學生把特殊的值記憶下 來 即 可。比 如sin30°=1/2=cos60°，sin90°=1，cos90°=0，這些都是特殊的三角函數值，記住這些將會對做題很有幫助。這種方法一般在做選擇題的時候非常適用，可以直接利用一些特殊值代入選項來進行驗證，這樣大大提高了做題的效率，節省了很多時間，這樣就不用對整個題目進行完整地計算，從而找出最便捷的解題方式，而且一般正確率會很高。這種方法需要學生多加練習。

3.夯實理論知識基礎。

縱觀近些年的高考數學題目，考查的基本都是基礎知識，偏難的題很少出現，主要考查學生是否真正掌握基本概念，能否運用基礎知識進行變通解題。所以要想真正掌握三角函數這一方面的知識，就必須吃透課本，牢牢掌握三角函數的基本概念，如正弦函數的圖形、性質及公式的變化等，認真練習課本上的例題，然后再進行強化訓練。很多學生在學習這部分的內容時，往往還沒有真正掌握三角函數的基本概念，就急于求成，迫不及待地找題來做，導致做題過程中出現很多問題，既浪費時間又沒有真正得到提高。所以只有對基礎理論知識掌握透徹，才能輕松進行公式的推導，通過做一道題而學會做一類題的方法。例如有這樣一道題：如果α 是第四象限的角，那么180°-α是第幾象限的角？這道題的解題思路就是，已知α 在第四象限，那么就可以得出270°+k·360°＜α＜360°+k·360°，k∈Z，根據三角函數的性質又可以得到：-90°-k·360°＞180°-α＞-180°-k·360°，那么最終就可以得出180°-α 是第三象限的角。這道題實際上并不難解，它主要考查的是學生對基礎概念和基礎知識的運用，能熟練地進行角度制和弧度制的計算，區別象限角、區間角。所以說，在學習數學的過程中，尤其要注意基礎知識的理解，才有可能做到舉一反三、觸類旁通，提高自身的綜合運用能力，從而形成嚴密的數學思維。

4.解題期間注意對隱含條件的分析。

三角函數由于公式多，所以在出題時可以進行多方面的變換，尤其是一些帶有圖表的題目，其中多數含有隱性條件，需要學生們在做題時仔細把握，如果學生很難發現其中的隱性條件，那么這道題將很難做出來。例如：已知一個三角形ABC 是銳角三角形，sin∠C=，tan∠B＝2，問∠A 的余弦值是多少。我們知道，三角形的內角和是180°，所以∠A+∠B+∠C=180°，所以可以進一步得到cos∠A=cos (180°- ∠B- ∠C)=-cos(∠B+∠C)=sin∠Bsin∠C-cos∠Bcos∠C，再根據同角的正弦值的平方與余弦值的平方和是1，以及sinα/cosα=tanα,再加上題中隱含的銳角三角形的條件，可以得到。

5.利用托底法簡化表達式。

上述所講的方法是針對一些簡單題型而言的，當面對一些復雜題型的時候，我們可以使用托底法將題型簡化，進而求得結果。比如有這樣一道題：已知tanα=3，求sinα-3cosα/2sinα+cosα 的值。在這道題中，只有把表達式化簡為包含tanα 的形式，才能利用已知條件計算得出答案。根據求解表達式特點，可以將其分子和分母同時除以cosα，將其轉化為tanα-3/2tanα+1，代入已知條件后，可以快速求解出，sinα-3cosα/2sinα+cosα=0. 這種方法是針對題型比較復雜的情況，解題的方法不是一成不變的，而是需要在具體的情況中進行變通，盡量做到化繁為簡、化難為易，節省做題的時間。

6.建立運動觀點體系。

在三角函數題目中有一種常見的出題形式，即函數圖像中有一個點P，經過一定的運動時間后，求P 與另一個點Q之間的距離。有的時候也會要求解出兩個函數終點的距離。若是遇到此類題目，教師可以引導學生們建立運動觀點體系來解題。比如，函數f(x)=sin x，函數g(x)=x2，函數f (x) 圖像上有點P，最初位置為（0，0），函數g(x)圖像上有點Q，最初位置為（0，0），將PQ 兩點連接起來。P 在f(x)圖像上按照速率v 運動，Q 在g(x)圖像上按照速率V 運動，要求解出經過一定運動后t 時段P、Q 兩點之間的長度L 的值。拿到題目后，應首先進行仔細的分析，了解P、Q 兩點的運行軌跡，并畫出函數圖像，再解出t 時的值。實際上，學生在求解這類題目時也可以通過設置假設點了解不同點之間的關系。除此之外，三角函數題目中還有一種較為常見的出題形式，即平移問題，也可以借助運動觀點來解答。學生可以先設置函數圖像的對稱點或對稱軸，可以選擇坐標原點或y 軸，接著確定平移方向，將對稱點或對稱軸進行移動就可以得出結果。

7.注意總結方法規律。

數學學習注重習題的練習，但練習并不指的是采用題海戰術，而是有針對性的選擇有代表性的題型去練習，尤其是具有典型特征的題目應當多去練習，總結其中的規律，否則如果是盲目、沒有針對性的練習不僅不會有所提高，還會增加學習的負擔。其次，要進行針對性的練習，三角函數的題型分為很多種，每一種三角函數的題型都有一套獨特的解題方式，學生在進行練習的時候，可以根據類型的不同進行分類型訓練，發現并總結其中的方法規律，從而真正掌握其中的解題技巧，當以后再次面對這類型的題的時候就能輕松解決。三角函數的解題方法有很多種，除了上述所說的數形結合法、特殊值代入法、轉化法等以外，還有簡化法、排除法等多種方法，學生在平時做題的過程中一定要注意多去總結方法和規律，從而學習各種各樣的解題技巧，這樣有助于提升解題的效率。

結束語

綜上所述，高中數學三角函數部分的知識是繁雜的，對高中生來說是有一定難度的，但是數學的學習是需要講究方法的，它和其他科目不同的是，數學的學習需要學生有活躍的思維，有分析問題的能力，如果只是死記硬背公式，那么很難將數學學好。三角函數是高中數學中的重點和難點，也是高考必考內容，做題時可能會遇到一些“奇怪”的題型，但一定不要產生畏難心理，一定要冷靜分析，運用所學的基礎知識一步步分析，靈活運用各種公式，多去思考、多去探索，不僅學會分析問題，還要多去總結知識點，勤于練習，讓自己的思維變得更加靈動。數學學習的過程就是一個培養學生思維和能力的過程，只有明白問題的本質，做起題來才能得心應手。