問題引領(lǐng)：激活學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維
——以“角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)”為例

福建省福州第七中學(xué) 辛小榕

高階思維是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力，按照布魯姆教育目標(biāo)分類體系，依據(jù)認(rèn)知的復(fù)雜程度從低到高劃分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造六個(gè)層次，其中分析、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造稱為高階思維能力。筆者以“角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)”初三復(fù)習(xí)課為例，組織學(xué)生提出問題、分析問題、研究問題、解決問題，形成問題學(xué)習(xí)機(jī)制，在師生互動(dòng)、生生互動(dòng)中完成數(shù)學(xué)認(rèn)知成長(zhǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力的提升。

一、提出問題，啟動(dòng)生本高階思維

大多數(shù)人認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)思維處于被動(dòng)主要因素是學(xué)生不愿意主動(dòng)思考、懶于思維，而實(shí)際上并非如此，由于教師沒能提供能夠讓學(xué)生主動(dòng)思維的思考點(diǎn)，即問題，沒有規(guī)劃解決問題的思維支架，所以才導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“惰性”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要遵循一些規(guī)律，要求教師創(chuàng)設(shè)的問題在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，或許“跳一跳”能夠“摘到桃子”，只有這樣才能激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思維的積極性，而在解決問題受阻時(shí)，教師也能及時(shí)提供必要的思維支架，以及恰到好處的問題設(shè)計(jì)和指導(dǎo)，都能夠有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維。

1.師本設(shè)定問題。

愛因斯坦說(shuō)過(guò)：從新的角度看待舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真進(jìn)步。教師在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上提出問題，是對(duì)舊知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，能充分激發(fā)學(xué)生的思維，激活學(xué)生高階思維。這種以舊問重提方式的問題驅(qū)動(dòng)，有助于學(xué)生的思維從低階走向高階，因?yàn)榈碗A思維的學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握往往是分散的、孤立的、不系統(tǒng)的，抓不住問題的本質(zhì)，也就無(wú)法形成高階思維，進(jìn)而影響分析問題解決問題能力的提高。

以《角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)》為例，學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備是足夠的，在初一時(shí)已掌握角平分線的定義，會(huì)利用量角器畫角平分線，以及利用將紙張對(duì)折后折痕即為角平分線，到初二學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)和判定后，利用邊邊邊定理構(gòu)造全等三角形，能夠得到兩個(gè)角相等的認(rèn)知，進(jìn)而得到角平分線，掌握角平分線的尺規(guī)作圖的一種方法。教師圍繞學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知基礎(chǔ)提出思考問題：什么是角平分線？如何畫出角平分線？畫角平分線需要注意什么？學(xué)生接受問題后，先回顧角平分線的定義，抓住問題進(jìn)行深度思考，教師組織學(xué)生進(jìn)行互動(dòng)交流，結(jié)合問題做深入思考，歸結(jié)出畫角平分線的方法和規(guī)律，并與學(xué)生展開多重互動(dòng)對(duì)話，讓學(xué)生在思考、分析、操作、歸結(jié)中完成認(rèn)知構(gòu)建。

2.生本提出問題。

教師組織學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，能夠給學(xué)生帶來(lái)更多學(xué)習(xí)觸動(dòng)，也能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)科思維。教師從問題的本源出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生逐漸進(jìn)入到解決問題核心，利用學(xué)生已有知識(shí)儲(chǔ)備一步一步完成問題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生與同伴互相交流，挖掘問題的本質(zhì)，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問題的重要性，搭建起未知與已知之間的橋梁，從而達(dá)到解決問題的目的。通過(guò)設(shè)計(jì)問題、討論問題，最終確定解決方案，有助于知識(shí)的系統(tǒng)化形成，挖掘了問題的本質(zhì)屬性，在學(xué)生分析、解決問題的思維過(guò)程中，初步促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維目標(biāo)的建立。

學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)探索環(huán)節(jié)，其學(xué)習(xí)思維逐漸進(jìn)入活躍期，教師要求學(xué)生在深入思考基礎(chǔ)上，適時(shí)提出學(xué)習(xí)疑問，為后面學(xué)習(xí)討論創(chuàng)造條件。學(xué)生都能夠積極回饋，設(shè)計(jì)出自己關(guān)注的問題。如：可以利用菱形的性質(zhì)來(lái)畫出角平分線嗎？等腰三角形的三線合一是什么原理？圓心角和圓周角是什么關(guān)系？利用等腰三角形的外角性質(zhì)能解決角平分線的畫法問題嗎？……教師對(duì)學(xué)生設(shè)計(jì)問題做梳理，組織學(xué)生對(duì)這些問題做深入探索，課堂學(xué)習(xí)研究氣氛逐漸建立起來(lái)。因?yàn)槎际菍W(xué)生設(shè)計(jì)的問題，自然能夠引發(fā)學(xué)生的共鳴，教師適時(shí)作出一些引導(dǎo)和啟示，為學(xué)生提供問題解讀方向，確保課堂問題探索學(xué)習(xí)順利展開。學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，教師充分放權(quán)給學(xué)生，讓學(xué)生設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)問題，這本身就是一種有創(chuàng)意的設(shè)計(jì)。

二、分析問題，歷練生本高階思維

盡管問題提出更容易激起學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維，但也要依賴于問題的變式和問題解決過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)。對(duì)于同一個(gè)問題的進(jìn)一步發(fā)問，目的是要讓學(xué)生的思維從表層到深層，對(duì)問題的質(zhì)疑、反思，并通過(guò)自省性探究問題，呼喚批評(píng)性思維推動(dòng)高階思維的發(fā)展。

1.師生討論問題。

教師推出數(shù)學(xué)問題后，要組織學(xué)生做深度研究。在問題探究過(guò)程中，教師要借助發(fā)現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)契機(jī)，組織學(xué)生展開自主思考、分析、比較下，建立師生互動(dòng)機(jī)制，進(jìn)而達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)就是數(shù)學(xué)高階思維的表現(xiàn)方式。如果缺少分析比較，那所研究的問題只能停留在低階思維。數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)過(guò)程僅僅是知識(shí)的線性傳授與接收，這是完全不夠的，因?yàn)樗兄R(shí)自身都具有結(jié)構(gòu)性，學(xué)習(xí)過(guò)程就是學(xué)生自主建構(gòu)的過(guò)程，良好的教學(xué)設(shè)計(jì)和變式，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的主動(dòng)性、積極性，這樣就能有一個(gè)良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，親身經(jīng)歷過(guò)程后才能對(duì)知識(shí)有更深層次的理解。

師生互動(dòng)交流是最為常見的教法應(yīng)用，教師需要發(fā)揮主導(dǎo)作用，積極設(shè)計(jì)問題、投放問題、分析問題、討論問題，讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)入到問題環(huán)節(jié)，在深入研討中建立學(xué)科認(rèn)知。如教學(xué)《角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)》，教師設(shè)計(jì)問題：用直尺和圓規(guī)來(lái)畫角的平分線，其應(yīng)用原理和依據(jù)是什么？學(xué)生對(duì)這個(gè)問題比較感興趣，因?yàn)槎加兄背吆蛨A規(guī)，自然想到了實(shí)際操作，教師深入到學(xué)生群體之中，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)操作情況做觀察，組織學(xué)生針對(duì)問題做討論，逐漸達(dá)成學(xué)習(xí)共識(shí)。學(xué)生結(jié)合實(shí)際操作做問題研討，教師根據(jù)學(xué)生操作做指導(dǎo)，教與學(xué)達(dá)成更多默契與和諧，學(xué)生從研討問題過(guò)程中，對(duì)角平分線畫法有了更多理解和認(rèn)知。在這樣的數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維就在師生互動(dòng)中得以發(fā)展，教師從學(xué)生學(xué)習(xí)主體出發(fā)，組織學(xué)生結(jié)合實(shí)際操作展開深入思考和討論，讓問題研究在不知不覺中完成，學(xué)生在實(shí)踐探索中自然建立學(xué)科認(rèn)知能力。

2.生生辯論問題。

在教師的層層設(shè)問下提出新的問題情境，在學(xué)生不懈的探索中，教師引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新問題，這時(shí)學(xué)生不僅敢于對(duì)現(xiàn)有的認(rèn)知提出自身的看法及觀點(diǎn)，學(xué)生還能對(duì)多種做法進(jìn)行思辯，清晰地指出所存在的問題，并能挖掘出解決問題的本質(zhì)屬性，只有發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，才能順利解決問題在不同情境下的解決途徑，這樣學(xué)生能利用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)優(yōu)化解決問題，在對(duì)新知的認(rèn)知中學(xué)生的思維提高了一個(gè)層次，達(dá)到發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的目的。

以《角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)》為例，在學(xué)生已經(jīng)充分理解掌握角平分線的不同做法的基礎(chǔ)上，教師再次提出問題：以上這幾種做法與課本中的做法比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？課本為何不采用別的方法？學(xué)生面對(duì)這些新問題，再度展開深入思考，并自發(fā)展開互動(dòng)討論，課堂思辨氣氛逐漸建立。教師適時(shí)做出一些提示，讓學(xué)生自然進(jìn)入到問題研讀環(huán)節(jié)。學(xué)生在對(duì)比分析中發(fā)現(xiàn)，課本中的做法更簡(jiǎn)潔且更具有一般性，如果要平分一個(gè)平角時(shí)，利用菱形的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一就存在困難，這樣對(duì)角平分線的做法的認(rèn)識(shí)就更進(jìn)一步。教師再進(jìn)一步引發(fā)思考，讓學(xué)生把尺規(guī)作圖中的“無(wú)刻度直尺和圓規(guī)這兩個(gè)工具”改成“只有一把有刻度的直尺”，看看這樣能否建立新的思考起點(diǎn)？學(xué)生主動(dòng)展開探索，逐漸找到解決問題的途徑和方法。教師引導(dǎo)學(xué)生利用直尺探索對(duì)邊互相平行的條件，利用等腰加平行得到角平分線。學(xué)生很快就有一些新發(fā)現(xiàn)，教師繼續(xù)設(shè)計(jì)，將操作任務(wù)要求改成“只有一把無(wú)刻度的直尺”做角平分線，學(xué)生進(jìn)入探索環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)利用直尺可以構(gòu)造一個(gè)特殊四邊形菱形，利用菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角，順利進(jìn)入到操作環(huán)節(jié)，成功畫出角平分線。最后教師對(duì)條件再次更改為“用一個(gè)帶刻度直角三角板”做角平分線，學(xué)生發(fā)現(xiàn)利用三角板構(gòu)造全等三角形就能做角平分線。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生學(xué)習(xí)思維不斷升級(jí)，學(xué)習(xí)效果呈現(xiàn)出來(lái)。

三、解決問題，提升生本高階思維

數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的關(guān)注點(diǎn)不能僅僅停留在學(xué)生知識(shí)所得，更為關(guān)鍵的是為思維而教，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是否向高階思維發(fā)展，這才是最為關(guān)鍵的問題。學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程就是自我知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程，而只有在問題設(shè)計(jì)的處理上，遵循由淺入深、由易到難的原則，這樣拓展加深了各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，學(xué)生的思維在充分碰撞及交流中突破創(chuàng)造性思維，直至學(xué)生自主解答、互相辨析，甚至自主編題獲得共識(shí)，從而提升數(shù)學(xué)高階思維。

1.探索內(nèi)化問題。

創(chuàng)新能力越強(qiáng)，則高階思維越強(qiáng)，教師適時(shí)推出一系列問題，能夠成功激活學(xué)生學(xué)習(xí)思維。這類問題往往具備多角度、深層次、寬空間的特征，它相比常規(guī)性問題更具有挑戰(zhàn)性，更能激發(fā)學(xué)生思維的積極性和主動(dòng)性，如果問題探索進(jìn)程順利，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新型思維，在思考解決問題的過(guò)程中向提升高階思維邁進(jìn)。教師借助問題組織學(xué)生展開學(xué)科學(xué)習(xí)，為學(xué)生提供深入思考的機(jī)會(huì)，這本身就是一種探索行為，對(duì)促進(jìn)其學(xué)習(xí)成長(zhǎng)有重要幫助。

教師推出操作任務(wù)，基本不用問題的形式設(shè)計(jì)，也屬于問題探索范疇，學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)需要展開深度分析，在實(shí)際探索中啟動(dòng)學(xué)習(xí)思維。以初三數(shù)學(xué)一節(jié)復(fù)習(xí)課《角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)》為例，教師在最后又拋出一個(gè)新的問題引發(fā)思考，如何解決只給兩條不平行的直線，因有障礙物找不到角的頂點(diǎn)，但是要畫它的角平分線。此問題也可以理解成沒有角卻要做它的角平分線，沒有角的頂點(diǎn)利用角平分線的定義來(lái)解決這個(gè)思路，顯然是行不通的，所以要另辟新路。引導(dǎo)學(xué)生用角平分線的判定定理，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上，可以在兩邊分別任意取一點(diǎn)做垂直并截取相等，然后再分別做平行線，就形成一個(gè)新的角，再做這個(gè)新角的平分線，通過(guò)兩平行線間的距離處處相等就得到要求做的角平分線，或者還可以在兩邊任取兩點(diǎn)連接形成四個(gè)角，作它們的角平分線構(gòu)成兩個(gè)交點(diǎn)，連接起來(lái)就是所求做的角平分線。

2.實(shí)踐應(yīng)用問題。

沒有角的頂點(diǎn)卻要做它的角平分線，一道看似無(wú)法解決的問題，卻在教師有效引導(dǎo)下，學(xué)生勇于主動(dòng)探究問題的關(guān)鍵，從而順利地完成問題解決。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)鼓勵(lì)學(xué)生從不同角度尋求問題解決途徑，增強(qiáng)思維的靈活性和變通性，有效激發(fā)學(xué)生思維的主動(dòng)性，拓寬了思維的廣度和深度，讓學(xué)生分析問題和解決問題的方法呈現(xiàn)多方位多角度多層次，這樣問題的有效拓展既能鞏固新知，又讓學(xué)生在充分思維的過(guò)程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，享受創(chuàng)造性解決數(shù)學(xué)問題的樂趣，從而在探究過(guò)程中有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維。

數(shù)學(xué)在生活中有廣泛應(yīng)用，教師圍繞數(shù)學(xué)問題組織學(xué)生主動(dòng)參與到實(shí)踐環(huán)節(jié)，能夠?yàn)閷W(xué)生創(chuàng)造更多學(xué)習(xí)思考的機(jī)會(huì)。學(xué)生高階思維的順利啟動(dòng)，勢(shì)必對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)帶來(lái)更多助力支持。以初三數(shù)學(xué)的一節(jié)復(fù)習(xí)課《角平分線畫法的再認(rèn)識(shí)》為例，在學(xué)生自主探究的過(guò)程中，設(shè)計(jì)問題發(fā)展的三個(gè)階段，實(shí)現(xiàn)高階思維的培養(yǎng)、發(fā)展、提升三個(gè)層次。首先是由一個(gè)舊知引發(fā)新問題，利用不同學(xué)段的知識(shí)解決原有的問題，讓問題的解決呈現(xiàn)多樣性，并加深了不同學(xué)段知識(shí)間聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)的系統(tǒng)化，其次再對(duì)問題的變式進(jìn)行思辯，反應(yīng)解決問題的本質(zhì)屬性，最后則是對(duì)問題進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，讓思維從復(fù)制走向創(chuàng)造。在這個(gè)教學(xué)組織過(guò)程中，教師充分發(fā)揮問題調(diào)度作用，為學(xué)生提供更多深入學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，其學(xué)習(xí)體驗(yàn)更為豐富。

在雙減政策背景下，減負(fù)不減質(zhì)，教師不僅要關(guān)注的是數(shù)學(xué)課堂的教，更重要的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何思考，在思考中學(xué)會(huì)分析即提出問題、評(píng)價(jià)即思辯問題、創(chuàng)造即升華問題。在教學(xué)中，“授之以魚，不如授之以漁”，教師應(yīng)以學(xué)生數(shù)學(xué)思維展開問題設(shè)計(jì)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維形成組織問題探索，利用數(shù)學(xué)問題研究盡可能給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)更大的思維空間，鼓勵(lì)學(xué)生展開創(chuàng)造性思考和探索，強(qiáng)調(diào)問題質(zhì)疑和反思總結(jié)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維水平得以提升，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。