優化概念教學 提升數學能力
——小學數學概念教學探討

福建省莆田市秀嶼區埭頭第二中心小學 黃永福

數學概念是反映現實世界中空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式，其主要以數學定義、公式、法治、定理等形式來表現，貫穿于小學數學各個知識點和教學全過程。數學教學都以數學概念為起點，是對數學概念的拓展和遷移運用，離開數學概念，數學教學也就成了無源之水和無本之木。但是現實的教學中，數學概念教學一直被忽略，教學方式也存在一定的問題，主要表現在重記憶、輕理解，重結論、輕過程，更多的是讓學生死記硬背各個數學定義、數學公式，導致學生知其然而不知其所以然，偏離了深度學習的理念，也不利于學生知識的自我建構。應將概念教學作為數學教學的起點，通過概念教學，讓學生更好地認識概念、理解概念、應用概念，從而提高學習效率，提升數學能力。

一、重視數學閱讀，理解概念內涵

不僅語文學習需要閱讀，數學學習同樣離不開閱讀。前蘇聯數學教育家斯托利亞爾說：“數學教學也就是數學語言的教學。”而語言的學習與教學建立在閱讀基礎之上，因而閱讀對數學學習而言極為重要。數學概念通常以高度抽象概括的數學語言來表述，要理解數學概念的內涵，就離不開數學閱讀。

1.咬文嚼字，抓住關鍵。

小學生尤其是中高年級的學生具備了一定的語言理解能力，在對復雜文字型數學概念的教學中，要借助閱讀理解來幫助他們理解概念的深層含義。如六年級上冊《比》這一課中“比的基本性質”這個數學概念——“比的前項和后項同時乘或除以相同的數（0 除外），比值不變”，在教學中教師先讓學生將教材中這一定義閱讀兩遍，并引導學生抓其中的關鍵信息：“這句話中你認為哪些信息至為重要？請試著在相關字詞下畫上波浪線或者圈出來。”

有學生說：“特別要注意‘同時’兩個字。”“為什么呢？”教師追問。“因為不是同時乘或除的話比值是不相等的。”學生補充道。教師乘勢引導，讓學生舉例來說明。

“比如3∶5，如果前項3 乘以2，而5不乘以2，那么就變成了6∶5 了，它的比值就發生了變化。”學生如此舉例，直接又恰當，同學們紛紛表示認同。

“那么，只適用于乘嗎？大家看看還有哪個詞語進行了說明？”教師補充。學生發現了“乘或除以”這個詞，認識到不僅可以乘，還可以除。

又有學生補充：“一定要乘或除以相同的數，如果不是相同的數肯定比值會發生變化。”學生又舉出例子：原比4∶5，如果前項乘以4，后項乘以3，則變成了16∶15，比值發生了變化。

最后還有學生說：“‘0 除外’是一定要注意的，這很容易被我們忽視，因為一個比如果乘以0 或者除以0 就變成了0，當然比值就變化了。”

教師一一肯定了學生的細心閱讀，通過對比的基本性質這個定義的閱讀，學生抓住了“同時乘或除以”“相同的數”以及“0 除外”三個關鍵信息，這就完整地實現了對比的基本性質這一數學概念的正確認知理解。

2.自我表達，個性理解。

數學語言是抽象的，數學概念中定義、定理、公式等都注重科學、嚴謹、邏輯與符號化，這對于以形象思維見長的小學生而言理解起來是“不友好”的。教師可以有意識地打破概念術語對學生理解的思維束縛，以自己理解的個性化的語言來轉譯抽象的數學語言，通過生活數學用語、舉例子等學生好記、好懂的語言來自我定義數學概念。

如二年級下冊《圖形的運動（一）》涉及到軸對稱圖形以及對稱軸這兩個數學概念，如果通過定義法來表述這兩個概念，則為“如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對稱軸。”教師讓學生嘗試著用自己的話來轉述這兩個概念，學生都有了個性化的理解。“一個圖形對折后能完全重合，就是軸對稱圖形，這個折線就是對稱軸。”“一個圖形可以分成相等的兩半就是軸對稱圖形，將它平分的線就是對稱軸。”……這都是正確的理解。又如《分數的初步認識》中“幾分之一”和“幾分之幾”這兩個表述復雜且容易混淆的數學概念，可以讓學生以直白的距離的方式來表達自己的理解，如“一個蛋糕平均分為3 份，其中的一份就是蛋糕的1/3。”“一只蘋果平均分成4 份，其中的2 份就是整個蘋果的2/4。”以具體的例子來逆向表達數學概念，形象又直觀，體現了學生的個性化數學思維成果。

二、開展數學操作，積累數學經驗

建構主義學習理論強調，學習是學生自主知識經驗積累的過程，要讓學生親歷知識，加深印象，增進理解，實現知識的深層次建構。以數學操作為載體的數學實驗，給了學生探究數學的橋梁和載體，在“做”數學的過程中積累數學經驗，加深學生對數學概念的記憶和理解，做到知其然并知其所以然。驗證性實驗和探究性實驗在數學概念教學中發揮著重要作用：

1.數學操作驗證數學概念，加深印象。

驗證性的數學操作實驗，其價值在于加深學生對數學概念的印象，促進學生對概念的認知和記憶，其在數與代數、圖形與幾何、統計與概率三大領域教學中都有著很強的兼容性。比如五年級下冊《分數的意義和性質》這一單元第三課《分數的基本性質》的學習涉及“分數的基本性質”這一概念教學。關于“分數的分子和分母同時乘或者除以一個相同的數（0 除外），分數的大小不變。這叫做分數的基本性質”這一概念的表述，教師可以通過數學實驗來驗證：比較1/2、2/4、4/8、8/16 四個分數的大小。第一步，用圓規繪制4 個半徑相等的圓（為方便比較，半徑統一設定為6cm）；第二步，分別將4 個圓平均分成2、4、8、16 等份；第三步：以填色的方式分別表示4 個圓的1/2、2/4、4/8、8/16 ；第四步：觀察所涂區域的大小，并得出結論。學生通過實驗操作發現，在一個相同大小的圓中表示1/2、2/4、4/8、8/16 ，其大小都是一樣（圓面積的一半）。從而認識到：1/2=2/4=4/8=8/16，反過來也成立，于是就驗證了“分數的分子和分母同時乘或除以相同發數（0 除外），分數的大小不變”這個分數的基本性質的數學概念。同樣，在其他的定義、定理、公式的數學概念中，也可以通過驗證試驗來加深學生的印象，幫助學生積累更豐富的數學感性經驗。

2.數學操作探究數學概念，強化理解。

探究性學習體現了學生的學習主體性，是學生必備的數學學習能力和品質。在數學概念教學中，可以通過學生操作的數學實驗來探究數學概念，調動學生的思維和邏輯，師生共同發現和歸納數學概念，強化學生對數學概念的深層理解。如六年級下冊《圓柱》這一單元的教學涉及“圓柱的表面積”的學習內容，圓柱的表面積的計算公式是一個重要的數學概念，借助自主動手操作的數學實驗，讓學生自己發現和推理，總結出圓柱的表面積計算公式，這樣比直接告訴學生公式讓其死記硬背效果無疑更好。課堂之初，教師給學生布置“剪一剪”的數學操作任務：第一環節。第一步：裁剪一個長方形；第二步：將長方形卷起來并用透明膠黏合，做成一個圓柱的側面；第三步：測量圓柱上下底的直徑，并繪制兩個直徑相同的圓，將其裁剪下來做圓柱的上下底面。通過三個步驟制作出一個圓柱體。第二環節。引導學生觀察與思考：圓柱的表面積由哪兩部分組成？（側面與底面）。第三環節：側面的表面積和底面積的計算。側面積，其是一個長方形，長對應的是底面周長，寬對應的是高，因而側面積等于底面周長乘以高，即S側面=Ch；底面積，由兩個圓的面積組成，即2πr2，因此學生在裁剪圓柱的探究實驗中總結出S圓柱=Ch+2πr2。經過剪一剪、算一算，親歷圓柱表面積計算公式這一數學概念的推理過程，強化了對該數學概念的理解。數學實驗操作方法在幾何知識的公式類數學概念的理解上有著很高的適用性。

三、引導實踐應用，增強概念理解

數學概念源于數學問題，也要回歸數學應用。將數學概念與現實生活數學問題的應用結合起來，以數學概念來解釋生活中的數學現象，解決生活中的數學問題，提高學生數學知識應用的意識和能力，培養學生的數學實踐素養。

1.借助數學概念解決數學問題。

數學概念在解決數學問題過程中發揮著重要的作用，在概念實踐應用中學生的數學思維與解決問題能力得到有效提升。如五年級下冊《因數與倍數》教學前，教師組織學生進行了一次“逢3 蹲”的游戲，規則是：學生按照座次從1 開始輪流報數并拍手掌，每逢數字3 以及3 的倍數的數不說出來，也不拍手掌，以下蹲身體代替。一開始，學生進行得比較順利，隨著數字進入20 以上，學生運算速度明顯慢了下來，數字越大，學生越慢，出錯越多，最終游戲定格在了數字75。游戲后，教師教學“3 的倍數的特征”講授重要的數學概念“一個數各位上的數的和是3 的倍數，這個數就是3 的倍數”，這對數學運算尤其是口算練習上有著很強的實用性。然后教師再一次開展“逢3 蹲”的游戲，發現了3 的倍數的基本規律，學生判斷的速度和準確度得到了顯著提升，最終報數來到了三位數147。可見，運用數學概念來解決現實中的數學運算問題，能有效提高學生的運算速度和準確度。教師可以圍繞數學概念創設不同的數學問題情境，引導學生有意識地運用數學概念來解決現實的數學問題，提高學生解決問題的能力。

2.通過數學實踐抽象數學概念。

數學規律的總結概括對學生數學邏輯思維的發展大有裨益，要樹立學生的模型意識，從復雜的數學現象和問題中抽象出普遍性的模型和概念，以公式化、符號化語言來闡述復雜的數學問題，從數學內涵與本質的角度促進學生數學核心素養的培養。實踐中的數學問題紛繁復雜，更需要化繁為簡，在數學實踐中抽象出數學概念。以五年級上冊“植樹問題”為例，教材雖然以例題的方式呈現了幾種不同的植樹模型，但是沒有概括不同情境下的植樹長度、植樹間距與植樹棵數的關系，這無疑容易導致學生思維的混淆和錯亂。教師可以通過學生親身體驗的數學綜合性學習活動來抽象出不同情境下的植樹問題數學概念。為了簡化過程，教師可以讓學生在一段長度為10 米的沙土地進行插棍（代替植樹）實驗，設定植樹間距為2米，探究四種情形下植樹棵數（n）與植樹長度（L）與植樹間距（d）之間的數量關系。①兩端都植樹時，植樹棵數n=L÷d+1；②一端植樹，另一端不植樹時（含環形封閉線路），n=L÷d；③兩端都不植樹時，n=L÷d- 1。通過數學實踐活動，在不同植樹場景中抽象出三種不同植樹模型所對應的計算公式。學生在解決“植樹問題”相關問題時，就能夠代入具體植樹模型，運用公式來進行輕松解決。在數學實踐中抽象出實用的數學概念，幫助學生輕松解決數學問題，同時也發展了學生的數學邏輯思維。

結束語

一切數學知識點都起于數學概念，是對概念的拓展與深化，理解了數學概念，對其相關知識的學習也就有了基礎。因而數學概念的教學應成為數學教學的重點。小學數學教學過程中，教師不應忽視概念學習，同時也要注重避免機械的記憶，要掌握概念教學的基本規律與有效方法，讓學生在數學閱讀中理解概念內涵，在數學操作中認知概念形成過程，在實踐與應用中加深對概念的理解，促進概念對學習實踐的指導應用，在對概念的深度學習、深度理解、深度應用過程中實現數學思維的發展和數學能力的提升，最終提高數學學習效率。