電荷泵鎖相環(huán)電路建模與仿真

曾兆權(quán)，龔立嬌，2，李紅躍

（1.石河子大學(xué) 機(jī)械電氣工程學(xué)院，石河子832000；2.石河子大學(xué) 農(nóng)業(yè)農(nóng)村部西北農(nóng)業(yè)裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石河子832000；3.新疆天富檢測(cè)有限公司，石河子832000）

鎖相環(huán)（phase-locked loops，PLL）是利用負(fù)反饋控制原理實(shí)現(xiàn)頻率及相位的控制系統(tǒng)[1]。其作用是將電路輸出的信號(hào)與其外部的參考信號(hào)保持同步，當(dāng)參考信號(hào)的頻率或相位發(fā)生改變時(shí)，鎖相環(huán)會(huì)檢測(cè)到這種變化，并且通過(guò)其內(nèi)部的反饋系統(tǒng)來(lái)調(diào)節(jié)輸出頻率，直到兩者重新同步鎖相。

鎖相環(huán)的分類(lèi)具有多樣性。按照其實(shí)現(xiàn)技術(shù)可分為模擬鎖相環(huán)和數(shù)字鎖相環(huán)[2-5]。按照其反饋回路的特點(diǎn)可分為整數(shù)倍分頻鎖相環(huán)（Integer-N PLL）和分?jǐn)?shù)倍分頻鎖相環(huán)（Fractional-N PLL）。按照鎖相環(huán)鑒頻鑒相器的實(shí)現(xiàn)方式，可以分為電荷泵鎖相環(huán)（Charge-Pump PLL）和非電荷泵鎖相環(huán)。按照其環(huán)路的帶寬，它可以分為寬帶鎖相環(huán)（Wide band loop PLL）和窄帶鎖相環(huán)（Narrow band loop PLL）[2-5]。

電荷泵鎖相環(huán)是一種鑒頻鑒相器適用于方波輸入信號(hào)的鎖相回路。該類(lèi)型鎖相環(huán)的特點(diǎn)是可以快速的鎖定到輸入信號(hào)的相位，達(dá)到很低的穩(wěn)態(tài)相位誤差[1]。因此，該類(lèi)型鎖相環(huán)被廣泛地應(yīng)用于各類(lèi)型電子設(shè)備中，成為音頻、視頻、通信、導(dǎo)航等各種裝置的重要組成部分。

電荷泵鎖相環(huán)電路具有負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng)所具有的系統(tǒng)狀態(tài)多、工作特性復(fù)雜的特點(diǎn)，其設(shè)計(jì)與仿真分析一直是電子設(shè)備時(shí)鐘系統(tǒng)的難點(diǎn)問(wèn)題[4-5]。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文研究了電荷泵鎖相環(huán)電路的設(shè)計(jì)步驟與仿真分析方法。首先，推導(dǎo)電荷泵鎖相環(huán)各模塊的數(shù)學(xué)模型；其次，建立了各模塊電路仿真模型，仿真分析了環(huán)路穩(wěn)定性以及各模塊對(duì)環(huán)路整體性能的影響。研究結(jié)果為電荷泵鎖相環(huán)電路的設(shè)計(jì)與仿真提供了理論依據(jù)，對(duì)實(shí)際電路設(shè)計(jì)具有一定參考價(jià)值。

1 電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型

如圖1所示，電荷泵鎖相環(huán)鑒頻鑒相器（PFD）、電荷泵（CP）、環(huán)路濾波器（LP）、壓控振蕩器（VCO）以及1/N分頻器（Divider）構(gòu)成。

圖1 電荷泵鎖相環(huán)系統(tǒng)框圖Fig.1 Charge pump PLL system diagram

參考信號(hào)?ref與輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)鑒頻鑒相器比較得到的兩路信號(hào)分別控制電荷泵開(kāi)關(guān)S1與S2，根據(jù)頻率相位比較結(jié)果對(duì)環(huán)路濾波器內(nèi)電容C1與C2進(jìn)行充放電進(jìn)而改變VCTRL的大小，控制VCO 產(chǎn)生和輸入?yún)⒖夹盘?hào)同頻率同相位的輸出信號(hào)。

1.1 鑒頻鑒相器與電荷泵

鑒頻鑒相器是電荷泵鎖相環(huán)輸入信號(hào)所進(jìn)入的第一個(gè)模塊，它將鎖相環(huán)輸出信號(hào)與輸入?yún)⒖夹盘?hào)進(jìn)行頻率相位比較得到控制信號(hào)。如圖2所示，電荷泵鎖相環(huán)的鑒頻鑒相器由2 個(gè)D 觸發(fā)器以及1個(gè)與門(mén)組成。其中，REF 為輸入?yún)⒖紩r(shí)鐘信號(hào)，DIV是經(jīng)由分頻器進(jìn)行1/N降頻后反饋至鑒頻鑒相器的時(shí)鐘信號(hào)。當(dāng)REF 領(lǐng)先于DIV 時(shí)，UP 端輸出高電平，DN 輸出低電平；當(dāng)DIV 領(lǐng)先于REF 時(shí)，UP 輸出低電平，DN 輸出高電平。PFD 的作用是輸出一個(gè)和REF 與DIV 之間相位差成線(xiàn)性關(guān)系的電壓誤差信號(hào)E（t），即：

圖2 電荷泵鎖相環(huán)鑒頻鑒相器Fig.2 Charge pump PLL PFD

式中：KPD是PFD 增益；Φref（s）是參考時(shí)鐘相位；ΦDiv（s）是隨時(shí)間變化的反饋時(shí)鐘信號(hào)相位。需要特別說(shuō)明的是，E（s）與Φref（s）-ΦDiv（s）之間的關(guān)系嚴(yán)格意義上說(shuō)是非線(xiàn)性的。當(dāng)Φref（s）-ΦDiv（s）=2π 時(shí)（REF 領(lǐng)先DIV 一個(gè)周期），E（t）的平均值為1；當(dāng)時(shí)Φref（s）-ΦDiv（s）=-2π（REF 落后DIV 一個(gè)周期），E（t）的平均值為-1。Φref（s）-ΦDiv（s）介于［-2π，2π］之間時(shí)，可以近似地認(rèn)為Φref（s）-ΦDiv（s）與E（t）的關(guān)系是線(xiàn)性的，即式（1）E（s）≈KPD（Φref（s）-ΦDiv（s））。如上所述，可得到PFD 傳輸函數(shù)為

為了將PFD 所產(chǎn)生的相位誤差信號(hào)E（s）（數(shù)字邏輯信號(hào)）轉(zhuǎn)化成能控制壓控振蕩器工作的電壓信號(hào)（模擬信號(hào)），需要在PFD 與VCO 之間加入濾波模塊。PFD 的輸出E（s）直接輸出給電荷泵，電荷泵再給后續(xù)電阻電容濾波網(wǎng)絡(luò)（C1，C2，R）進(jìn)行充放電（積分），實(shí)現(xiàn)邏輯量到模擬量的轉(zhuǎn)換。對(duì)于相位量而言，電荷泵（不包括后續(xù)的環(huán)路濾波器電容）僅作為一個(gè)增益模塊，提供一個(gè)值為ICP大小的增益。因此，PFD 與電流泵相結(jié)合的總傳輸函數(shù)為

1.2 環(huán)路濾波器

如圖2所示，環(huán)路濾波器由旁路電容C1和RC濾波器R，C2構(gòu)成，根據(jù)電阻電容串并聯(lián)計(jì)算方法，環(huán)路濾波器的S域傳輸函數(shù)為

1.3 壓控振蕩器

理想的VCO 輸出一個(gè)周期振蕩的信號(hào)，且該周期信號(hào)的頻率ωout與輸入控制電壓Vcont成線(xiàn)性關(guān)系，即：

式中：ω0是VCO 的固有頻率，即VCO 輸入控制電壓為0 V 時(shí)輸出信號(hào)的頻率；KVCO是VCO 增益，其單位為rad/s·v-1。VCO 作為一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，控制電壓Vcont作為系統(tǒng)的輸入，固有頻率成分信號(hào)所對(duì)應(yīng)相位之外輸出信號(hào)的相位Φout（t）作為系統(tǒng)的輸出。因此，對(duì)Vcont在時(shí)間上積分可以得到：

由1.1 節(jié)可知，Vcont是由PFD 產(chǎn)生，經(jīng)過(guò)環(huán)路濾波器濾波后的控制電壓信號(hào)，也與頻率ω 和相位有關(guān)，因此，對(duì)式（6）兩邊同時(shí)做拉普拉斯變化，根據(jù)拉普拉斯變換在時(shí)域積分的性質(zhì)得到VCO 的傳輸函數(shù)為

1.4 分頻器

分頻器的功能是將VCO 的輸出信號(hào)頻率降為其原有頻率的1/N，再反饋給PFD。

分頻器本質(zhì)上是一個(gè)計(jì)數(shù)器（counter），即計(jì)數(shù)到N后觸發(fā)產(chǎn)生一個(gè)脈沖。N為分頻倍數(shù)，即輸出頻率為輸入頻率的1/N，本文中N為一個(gè)正整數(shù)。Out（t）為VCO 的輸出信號(hào)，分頻器的輸入信號(hào)，Div（t）為分頻器的輸出信號(hào)。

分頻器的輸入與輸出頻率在時(shí)域上滿(mǎn)足以下關(guān)系：

式中：Fdiv為分頻器的輸出頻率；Fout為VCO 的輸出信號(hào)頻率。對(duì)式（8）兩端在時(shí)域上進(jìn)行積分可得到分頻器輸入與輸出相位的關(guān)系為

因?yàn)榉诸l器是對(duì)輸入頻率和相位進(jìn)行一個(gè)1/N的變換，因此，在S域上分頻器的傳輸函數(shù)為

1.5 環(huán)路增益與相位裕度

由式（3）、式（4）、式（7）和式（10）可以得到電荷泵鎖相環(huán)的環(huán)路增益（Loop Gain）為

進(jìn)一步根據(jù)反饋系統(tǒng)閉環(huán)增益的定義可得到電流泵鎖相環(huán)的閉環(huán)增益為

由式（11）可知，電荷泵鎖相環(huán)共有3 個(gè)極點(diǎn)和1 個(gè)零點(diǎn)[6]。令式（11）分子為0，求得零點(diǎn)頻率為；令式（11）分母為0，求得兩極點(diǎn)頻率為0，即ωp1，p2=0。第3 個(gè)極點(diǎn)的頻率為。因此，可以得到電荷泵鎖相環(huán)幅頻相頻特性波特圖，如圖3所示。其中，ωz為零點(diǎn)頻率；ωUGB為單位增益帶寬頻率，即環(huán)路增益為0 dB 時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率；ωp3為第3 個(gè)極點(diǎn)的頻率；ΦM為相位裕度。

圖3 電荷泵鎖相環(huán)幅頻相頻特性波特圖Fig.3 Bode diagram of charge pump PLL

由式（11）可知電荷泵鎖相環(huán)有2 個(gè)頻率為0的極點(diǎn)，再根據(jù)波特圖的性質(zhì)，這2 個(gè)直流極點(diǎn)使得環(huán)路增益從0 Hz 開(kāi)始以-40 dB/dec 的速度下降（如圖3），直至經(jīng)過(guò)第一個(gè)零點(diǎn)頻率ωz。同樣根據(jù)波特圖的性質(zhì)，這兩個(gè)直流極點(diǎn)使得環(huán)路相位從-180°開(kāi)始（如圖3）。零點(diǎn)（ωz）可以在幅頻上貢獻(xiàn)+20 dB/dec，在相頻上貢獻(xiàn)+90°，使得幅頻和相頻特性曲線(xiàn)上翹。第3 個(gè)極點(diǎn)在幅頻上貢獻(xiàn)-20 dB/dec，在相頻上貢獻(xiàn)-90°，再次使幅頻特性曲線(xiàn)以-40 dB/dec 下降，相頻特性曲線(xiàn)再下移90°[6]。觀察圖3 可知，為了使電荷泵鎖相環(huán)這個(gè)三階系統(tǒng)穩(wěn)定，第3 個(gè)極點(diǎn)的頻率ωp3必須高于單位增益帶寬頻率ωUGB。

根據(jù)波特圖相位圖的定義以及相位裕度的定義，可以得到電荷泵鎖相環(huán)的相位裕度（phase margin，PM）為

式中：第1 項(xiàng)-π 是由2 個(gè)直流極點(diǎn)所引入的相位偏移；第2 項(xiàng)是由零點(diǎn)ωz引入的正相位偏移；第3 項(xiàng)是由第3 個(gè)極點(diǎn)ωp3引入的負(fù)相位偏移；最后一項(xiàng)-（-π）則是相位裕度的定義規(guī)定的。根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)arctanA-，式（13）可以進(jìn)一步展開(kāi)為

對(duì)式（14）中ωUGB求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為0 可得到：

求解式（15）可得到相位裕度ΦM最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的單位帶寬增益ωUGB為

將式（16）代入式（14）中，可得到最大相位裕度為

進(jìn)一步可得到和的關(guān)系為

至此，若給定單位增益帶寬ωUGB和相位裕度ΦM，以及N和KVCO，即可通過(guò)式（11）、式（16）、式（17）和式（18）求得R，C1，C2以及Icp的值。

1.6 電荷泵鎖相環(huán)設(shè)計(jì)步驟

用于某高保真數(shù)字音頻系統(tǒng)時(shí)鐘的電荷泵鎖相環(huán)參數(shù)如表1所示。

表1 高保真數(shù)字音頻系統(tǒng)電荷泵鎖相環(huán)參數(shù)Tab.1 Parameters of charge pump PLL in high-fidelity digital audio applications

根據(jù)第1.5 節(jié)所推導(dǎo)的電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型來(lái)計(jì)算參數(shù)N，R，C1，C2使得電荷泵滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求且穩(wěn)定，設(shè)計(jì)計(jì)算步驟總結(jié)如下：

步驟1計(jì)算分頻器倍數(shù)=16。

步驟2單位增益帶寬頻率ωUGB一般為鎖相環(huán)輸入?yún)⒖碱l率Fref的1/20。因此可得。

步驟3由圖3 可知，電荷泵鎖相環(huán)的相位裕度ΦM主要受位于原點(diǎn)的2 個(gè)直流極點(diǎn)以及1 個(gè)零點(diǎn)所影響。為簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，忽略圖3 中第3 個(gè)高頻極點(diǎn)的影響，因此式（14）可簡(jiǎn)化為

步驟4電容C1主要用于濾除電荷泵輸出電壓的細(xì)小波紋，對(duì)整個(gè)環(huán)路的穩(wěn)定性影響較小。因此，為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，可以暫時(shí)忽略C1。式（11）中鎖相環(huán)環(huán)路增益可簡(jiǎn)化為進(jìn)一步對(duì)式（20）取模可得

將ωUGB=2π·2 MHz，ICP=100 μA，KVCO=626 MHz/V及RC2的值代入，可得R≈2.8 kΩ。

步驟5將式（21）中結(jié)果代入式（18）可以得。

步驟6由式（18）計(jì)算可得C1的值選擇約為C2的1/10，即C1=0.1，C2=5 pF。

至此，一個(gè)三階電荷泵鎖相環(huán)電路的系統(tǒng)設(shè)計(jì)完成。

2 電荷泵鎖相環(huán)計(jì)算機(jī)建模與仿真

按照上文推導(dǎo)電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型所搭建的電流泵鎖相環(huán)Simulink 仿真模型，如圖4所示，由脈沖產(chǎn)生器、鑒頻鑒相器（PFD）、電流泵（CP）、環(huán)路濾波（LPF）、壓控振蕩器（VCO）、示波器、反饋回路分頻器組成。其中仿真模型中的參數(shù)與表1所示參數(shù)值相同。

圖4 電荷泵鎖相環(huán)Simulink 仿真模型Fig.4 Simulink model of charge pump PLL

2.1 鑒頻鑒相器仿真模型

鑒頻鑒相器Simulink 仿真模型如圖5所示。由2 個(gè)D 觸發(fā)器（D Flip-Flop）和1 個(gè)與非門(mén)（NAND）以及1 個(gè)記憶單元（Memory）構(gòu)成。其中CKREF 為參考時(shí)鐘信號(hào)，CKFB 為經(jīng)過(guò)分頻器輸出的反饋時(shí)鐘信號(hào)，記憶單元用于模擬鑒頻鑒相器環(huán)路的延遲。

圖5 鑒頻鑒相器Simulink 仿真模型Fig.5 Simulink model of PFD

2.2 電荷泵仿真模型

電荷泵Simulink 仿真模型如圖6所示，由加法器、減法器、二選一開(kāi)關(guān)（Switch）、乘法器（Product）構(gòu)成。其中Constants 為Simulink 中的常數(shù)模塊，常數(shù)ICP 代表電荷泵的電流值（Icp=100 μA），IMIS 代表電荷泵的失配參數(shù)，理想狀況下IMIS值為0。

圖6 電荷泵Simulink 仿真模型Fig.6 Simulink model of charge pump

2.3 環(huán)路濾波器Simulink 仿真模型

環(huán)路濾波器Simulink 仿真模型如圖7所示，采用Simulink 中的傳輸函數(shù)模塊（Transfer Function），傳輸函數(shù)與式（4）相同，數(shù)值與1.6 節(jié)中步驟4～步驟6 所得到數(shù)值相同。

圖7 環(huán)路濾波器Simulink 仿真模型Fig.7 Simulink model of loop filter

2.4 壓控振蕩器仿真模型

壓控振蕩器仿真模型如圖8所示，其中常數(shù)VTH 為VCO 的開(kāi)啟電壓（Turn-on Voltage），一般設(shè)置為中值電壓的一半，在此即為0.75 V。增益Gain為VCO 增益KVCO=626 MHz/V，常數(shù)Fint為VCO 的空跑頻率即中值自由震蕩頻率，由表1 可知為450 MHz，增益Gain2 為VCO 運(yùn)行電壓的一半，即1.5 V。輸入給VCO 的電壓信號(hào)VVCO首先減去VTH 判斷是否達(dá)到開(kāi)啟電壓，隨后乘以VCO 增益，再加上Fint得到VCO 運(yùn)行頻率。運(yùn)行頻率再通過(guò)增益Gain1，積分器（Integrator），以及正弦波產(chǎn)生函數(shù)（Trigonometric Function）轉(zhuǎn)變?yōu)閂CO 運(yùn)行頻率所對(duì)應(yīng)的正弦信號(hào)，之后通過(guò)量化模塊（Sign）和增益Gain2 轉(zhuǎn)變?yōu)榉讲ㄝ敵鯲COCLK。在此過(guò)程中，F(xiàn)VCO 為VCO 輸出信號(hào)的頻率信息，VCOFB 為輸出給分頻器模塊的VCO 輸出相位信號(hào)。

圖8 壓控振蕩器仿真模型Fig.8 Simulink model of VCO

2.5 反饋回路分頻器仿真模型

分頻器Simulink 仿真模型如圖9所示，VCO 輸出的相位信號(hào)VCOFB 首先除以分頻倍數(shù)N=16，隨后通過(guò)正弦波發(fā)生模塊（sin）和量化模塊以及1/2 增益模塊轉(zhuǎn)變?yōu)檩敵龇讲〞r(shí)鐘信號(hào)CKFB。

圖9 分頻器Simulink 仿真模型Fig.9 Simulink model of frequency divider

3 仿真結(jié)果

如圖10所示，電荷泵鎖相環(huán)環(huán)路濾波器輸出信號(hào)在初始1.5 μs 左右穩(wěn)定，表明鎖相環(huán)環(huán)路達(dá)到鎖定狀態(tài)。

如圖11所示，經(jīng)測(cè)量鎖定后電荷泵鎖相環(huán)輸出時(shí)鐘信號(hào)的周期約為1.56 ns，即輸出時(shí)鐘頻率為640 MHz，與預(yù)期設(shè)計(jì)指標(biāo)相吻合，表明電荷泵鎖相環(huán)達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

圖11 鎖定后電荷泵鎖相環(huán)輸出時(shí)鐘信號(hào)與環(huán)路濾波輸出信號(hào)Fig.11 Locked output of charge pump PLL and loop filter

如圖12所示，電荷泵鎖相環(huán)輸出信號(hào)頻率是輸入信號(hào)頻率的16 倍，即輸入信號(hào)頻率40 MHz，輸出時(shí)鐘頻率640 MHz。

圖12 電荷泵鎖相環(huán)輸出時(shí)鐘信號(hào)與輸入時(shí)鐘信號(hào)對(duì)比Fig.12 Comparison of charge pump PLL output and input clock signal

4 結(jié)語(yǔ)

電荷泵鎖相環(huán)電路的設(shè)計(jì)與仿真分析是電子設(shè)備時(shí)鐘系統(tǒng)的重難點(diǎn)。本文針對(duì)典型電荷泵鎖相環(huán)，推導(dǎo)了其各模塊以及整體系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上，建立了各模塊電路仿真模型，最后仿真驗(yàn)證了環(huán)路穩(wěn)定性。仿真證明了所建立電荷泵鎖相環(huán)數(shù)學(xué)模型的正確性，對(duì)電荷泵鎖相環(huán)實(shí)際電路設(shè)計(jì)具有一定參考價(jià)值。