基于NMPTS 模型的太陽黑子預測

馬芳 王鴻緒

（1、沈陽工業大學，遼寧 沈陽 110870 2、海南熱帶海洋學院，海南 三亞 572022）

1 概述

太陽活動對人類、其他生物都有重大影響（Zeydin，et al.2019）. Abdel-Rahman & Marzouk.（2018）應用的方法是一階自回歸模型AR（1）和改進的綜合移動平均模型ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Models）。經過九十多年的發展，建立于二世紀七十年代的ARIMA 模型是應用最廣泛的回歸分析方法之一，可以根據該時間序列的過去及現在值來預測其未來值（Li & Liu.2019）。本文在時間序列論域J 和差值論域H 上建立分式函數Ae（m，q，s）和次逆函數與預測函數Ke（m，q，s），提出并證明收斂定理，從而建立一個預測時間序列的新模型（A new model of a prediction for a time series，NMPTS）。

新預測模型NMPTS 和智能優選不動點算法，共同組成NMPTS 的預測理論。本文的主要改進有四點：a.直接應用“時間序列的數據”建立預測公式，這是提高模型預測精度的主要原因之一；b.應用演繹法和極限理論提出新模型NMPTS；c.把基于函數論和模糊控制算法（FTFCA）叫做NMPTS 的智能優選不動點的算法；d.提出“時間序列數據的差值”的概念，使得NMPTS 的基于函數論和模糊控制的建模（The function theory and a fuzzy control based the model，FTFCM）FTFCM1D1Ke不僅能夠預測時間序列J 的訓練階段和測試階段的數據，而且能夠預測時間序列J 的未來階段的數據。

新模型NMPTS 和智能優選不動點的算法，共同組成NMPTS 的預測理論。并用它對于太陽黑子（未來階段）201908～201912 月的數量進行預測。與現有的AR（1）模型和ARIMA 模型比較，預測精度有較大提高。

2 NMPTS 的基本理論

其中自變量m∈（0，1]，q∈（0，1]，s∈（0，1]。Ae（m，q，s）叫做時間序列J 或NMPTS 的第e 個分數函數。Ke（m，q，s）叫做時間序列J 或NMPTS 第e 個分數函數Ae（m，q，s）對應的次逆函數或預測函數、預測公式、預測模型。

定義2 設時間序列論域為J={J1，J2，…，Jn}。第e-1 個差值的計算公式為

得到差值的論域為H={H1，H2，…，Hn-1}。

定理2 設時間序列論域為J={J1，J2，…，Jn}，差值論域為H={H1，H2，…，Hn-1}。根據定理1 和定理2 能夠證明：

定理3（NMPTS 的連續性定理）設時間序列論域為J={J1，J2，…，Jn}，差值論域為H={H1，H2，…，Hn-1}。則

（1）（NMPTS 的分數函數Ae（m，q，s）的連續性定理）NMPTS 的分數函數Ae（m，q，s）是（0，1]（0，1]（0，1]上的連續函數；

（2）（NMPTS 的預測函數Ke（m，q，s）的連續性定理）NMPTS 的預測函數Ke（m，q，s）是（0，1]（0，1]（0，1]上的連續函數。

定理4（NMPTS 的收斂定理）設時間序列論域為J={J1，J2，…，Jn}，差值論域為H={H1，H2，…，Hn-1}。對于任意取定的m∈（0，1]，q∈（0，1]，s∈（0，1]。固定q，當m→0，s→0 時，則：

（1）（NMPTS 的分數函數Ae（m，q，s）的收斂定理）NMPTS的分數函數Ae（m，q，s）是收斂的，并且第e 個NMPTS 的分數函數Ae（m，q，s）收斂于時間序列J 中第e 個元素的表達式q/Je（e=1，2，…，n）；

（2）（NMPTS 的預測函數Ke（m，q，s）的收斂定理）NMPTS的預測函數Ke（m，q，s）是收斂的，并且第e 個NMPTS 的預測函數Ke（m，q，s）收斂于時間序列J 中第e 個元素Je（e=1，2，…，n）。

定義4 設時間序列論域為J={J1，J2，…，Jn}，差值論域為H={H1，H2，…，Hn-1}。以任意點G（m，q，s）作為計算的起點，如果應用預測公式Ke（m，q，s）（e=1，2，…，n）預測時間序列J中的第e（e=1，2，…，n）個數據時，當所有得到的預測值Ke（m，q，s）（e=1，2，…，n）經過四舍五入的近似值等于J 中的第e（e=1，2，…，n）個數據Je時，則再多保留小數點后1～3位，此時得到的SE 和MSE 分別叫做準SE 和準MSE。并稱準MSE 為不動點。此時得到的模型叫做實現NMPTS 中的建模，并記這個預測模型為基于函數論和模糊控制（FTFCM）的建模為FTFCM1D1Ke（m1，q，s1），或者NMPTS 中的建模FTFCM 11DK（em1，q，s1），或者時間序列J 中的建模FTFCM11DK（em1，q，s1）。

3 NMPTS 的智能優選不動點的算法

設時間序列論域為J={J1，J2，…，Jn}，差值論域為H={H1，H2，…，Hn-1}。

（1）在時間序列J 的訓練階段，以任意點G（m，q，s）作為計算的起點，固定q，令m=s 逐漸減少，編程，搜索，用預測公式（2）進行計算，…，預測函數值Ke（m，q，s）的收斂定理保證：一定能得到不動點準MSE≈0，實現建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）。

檢驗：如果在NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）中把參數m1和s1繼續減少。雖然MSE 可能繼續減少，不是不動的，但是每個預測值Ke經過四舍五入都能等于觀測值Je卻是不動的。則確認FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）是NMPTS 中的訓練階段的建模。

（2）在時間序列J 的測試階段，應用NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）計算時間序列J 中的測試階段的數據。用公式（3）進行計算。如果得到不動點準MSE≈0，那么NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m1，q，s1）為時間序列的訓練階段和測試階段的建模；否則應用預測模型Ke（m2，q，s2）（應當m2

檢驗：如果在NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）中把參數m3和s3繼續減少，雖然MSE 可能繼續減少，不是不動的，但是每個預測值Ke經過四舍五入都能等于觀測值Je卻是不動的。則確認FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）是NMPTS 中的測試階段的建模。并進一步確認FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）是NMPTS 中的訓練階段和測試階段的建模。它是計算NMPTS中的未來階段數據的預測模型。

（3）在時間序列J 的未來階段，應用NMPTS 中的建模FTFCM1D1Ke（m3，q，s3）和NMPTS 的智能搜索優選不動點算法（雙樣本求法），及預測公式（6）以及虛擬預測值公式（7）進行計算。

①在預測時間序列Y={Y1，Y2，…，Yn}的未來階段數據Hn+1時，在虛擬預測值公式

中，取σ=1，計算時間序列J 的未來階段第n+1 個數值Jn+1的虛擬預測值K*n+1。

②使用測試階段得到的Kn，要把Kn也看成未來階段的數據，并把Kn和Kn+1作為一組未來階段的數據進行預測計算，求出未來階段預測值Kn+1的數據。計算出Kn和Kn+1。

③計算的過程分別定義為：啟動計算（微0調計算），微調計算（微1調計算），微微調計算（微2調計算），……。對應的（微g 調計算）（g=1，2，…）的步長根據參數的大小，自行設計。例如可分別取1×10-h，為微h調計算的步長。計算的次數為第1 次計算，第2 次計算，…。計算預測值時，要用預測公式（3）進行計算。類似地可計算時間序列Y 的未來階段的第n+2，n+3，…個數據的預測值。

④在具體計算時，微i調計算的使用規則是：

………

第j 輪微i調計算。第j+2 次計算。如果第j+1 次計算得知MSEj+1比第j 次計算得到的MSEj小，則繼續微i調計算；如果大，出現拐點，則退回到第j 次計算，改為微i+1調計算，繼續計算。

⑤計算到（第k 輪微m調計算）第u 次計算得到的MSEu，如果與前面的（第p 輪微s調計算）第q 次計算得到的MSEq相等，則得到不動點準MSEu=MSEq，此時對應的預測值Kn+1就是本方法求出的時間序列J 的未來的第n+1 個數據的預測值。不動點準MSE 是各輪各微各次計算中最小的。

⑥檢驗。如果繼續進行“加輪加微加次”計算，“不動點準MSEn+1”不變，而且“預測值Kn+1”也不變。

⑦在預測時間序J 的未來階段數據Kn+2時，要把Kn+1看成未來階段數據，并使用已經計算出的Kn+1的數據，把Kn+1和Kn+2作為一組未來階段數據進行預測計算，類似于①～⑥各步驟，得到“不動點準MSEn+2”，以及“預測值Kn+2”。

類似地可計算時間序列J 的未來階段的預測值Kn+3，Kn+4，…，各數據的預測值。

4 數值實驗-太陽黑子的預測研究

把太陽黑子201601～201712 月的數據作為訓練階段，201801～201907 月的數據作為測試階段階段，201908～201912 月的數據作為未來階段，應用NMPTS 的預測理論和NMPTS 的智能優選不動點法進行預測，預測結果與各模型預測結果比較如表1 所示。

表1 各模型預測太陽黑子測試階段和未來階段的數據比較

表2 展示了FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的預測數據，約比Abdel-Rahman & Marzouk（2018）應用AR（1）&ARIMA prediction 的預測精度高4 倍以上；比Abdel-Rahman& Marzouk（2018）列舉出NOAA prediction 的預測精度高4倍以上。

表2 各模型預測太陽黑子的數據的比較

5 結論

提出NFMTS 的預測理論。在太陽黑子的數值試驗中，相比Abdel-Rahman & Marzouk（2018）應用AR（1）& ARIMA模型以及Abdel-Rahman & Marzouk（2018）提供的NOAA使用的模型預測太陽黑子的測試階段和未來階段201801～201912 的月數據，NFMTS 的建模FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的預測精度都有較大幅度的改善。表2 顯示：對于預測太陽黑子的未來階段201908～201912 的月數據，NMPTS 的建模FTFCM1D1Ke（0.0001，1，0.0001）的預測數據也有一定的優勢。所以NFMTS 的預測理論對于太陽黑子數量的時間序列，補充了一種新的預測方法；對于一般的時間序列，提供了新的預測方法。