基于魯棒性原理的碎石樁置換率優化

李晴芳，汪 柱，于 洋

浙江大學海洋學院，浙江 舟山 316000

0 引言

軟土廣泛分布在我國東部沿海地區，具有壓縮性高、滲透性低和承載力低的特點[1-3]，是工程中常見的不良地基。如何提高軟土地基承載力并減小其壓縮變形，一直是巖土工程中關心的問題[4-5]。在眾多工程措施中，碎石樁具有造價低廉和施工方便的特點，得到了較為廣泛的應用[6-7]。碎石樁與軟土構成了復合地基，其加固效果(如工后沉降量的幅度)與碎石樁置換率關系密切。置換率越高，地基處理的效果越好；置換率越低，地基處理的效果越差。同時，置換率的高低也決定了地基處理成本的高低。如何在兼顧碎石樁處理效果與經濟成本的同時確定置換率一直是工程界關注的熱點問題。

近年來，國內外學者就碎石樁復合地基優化設計開展了大量研究工作。如：董金玉等[8]基于極差分析法分析了樁徑、樁長和樁間距對超靜孔隙水壓力和孔壓比的影響規律，得到了夯擴擠密碎石樁的最優加固方案；楊明輝等[9]利用正交設計理論，探究了碎石樁樁長和置換率對復合地基加固效果的影響程度，進而對各參數進行了優化設計；韓永強等[10]以樁長、樁徑和置換率作為復合地基的設計變量，采用遺傳算法提出了最低造價條件下的水泥粉煤灰碎石樁復合地基優化設計計算方法；Black等[11]在物理模型實驗中發現，從沉降控制的角度來看，碎石樁最優置換率取值應該在30%～40%范圍內；Madun等[12]研究了樁徑和樁長對承載能力和沉降的影響，并在此基礎上利用響應面方法確定了碎石樁最優樁徑和樁長；張曉君等[13]選用強夯置換碎石樁復合地基承載力的極限狀態方程，對隨機變量的概率模型進行了分析，提出了一種可靠度設計方法；洪昌華等[14]考慮模型不確定性的影響，計算了碎石樁復合地基承載力的可靠度指標，并討論了建立在可靠度基礎上的置換率設計問題；Deb等[15]提出了一種基于結合模擬優化的軟土地基多目標優化設計方法，認為模量比和碎石樁的極限承載力是優化設計的重要參數；覃偉[16]研究了不確定性條件下的碎石樁沉降問題，探究了固結系數、樁徑及土體變形能力對可靠度結果的影響。

由上述研究可見，碎石樁的優化設計從開始的基于巖土參數確定性的優化設計，逐步發展到了考慮巖土參數不確定性的可靠度優化設計，取得了極大進展。然而，這些方法并未對地基處理成本這一工程中重要的優化因素進行考慮。目前關于這方面的研究報道尚不多見，Juang等[17]在2013年提出的巖土工程魯棒性設計方法為解決這一問題提供了可能的途徑。其針對巖土參數的不確定性和巖土工程魯棒性開展了巖土工程優化設計，該方法已應用于邊坡工程[18-19]、隧道工程[20]、基坑工程[21]和地質災害防治工程[22-24]中。

本文在前人研究的基礎上，將碎石樁置換率作為需要優化的參數，兼顧巖土參數不確定性和地基處理成本，綜合考慮魯棒性、安全性和經濟性進行碎石樁優化設計，總結優化結果的影響規律，以期為巖土工程和地質防災工程提供相應參考。首先采用單向分層總和法計算復合地基工后沉降量，并將其作為確定性計算模型；然后，考慮碎石樁和樁間土體壓縮模量的不確定性，基于Monte-Carlo模擬方法獲得不同置換率條件下地基工后沉降量的平均值及標準差，并控制滿足復合地基安全性的工后沉降量平均值；再利用工后沉降量的標準差衡量魯棒性，進而通過置換率量化地基處理的成本，優化碎石樁置換率；最后討論了沉降量限值、壓縮模量變異系數和參數分布模式對優化結果的影響規律。

1 地基工后沉降量計算方法

在碎石樁復合地基中，置換率(m)為碎石樁的橫截面積與其所對應的影響區域面積之比：

(1)

De=αCs。

(2)

式中：Ac為碎石樁的橫截面積，m2；A為碎石樁影響區域面積，m2；Dc為碎石樁的直徑，m；De為碎石樁影響區域等效直徑，m；Cs為兩根碎石樁的中心間距，m；α為幾何相關系數，當碎石樁分別按照三角形、正方形和六邊形排列分布時，其對應取值分別為1.05，1.13和1.29。

工后沉降量是碎石樁復合地基設計時需要考慮的重要因素，可采用單向分層總和法計算[25]。將復合地基分為加固區與下臥層兩部分(圖1)。將加固區的沉降量記為S1，下臥層的沉降量記為S2。在豎向均布荷載作用下，復合地基的工后總沉降量S可表示為加固區沉降量與下臥層沉降量之和：

圖1 碎石樁復合地基示意圖

S=S1+S2。

(3)

為計算S1，將加固區中樁體和土體兩部分視為一種復合材料，采用復合壓縮模量來量化加固區的壓縮性。將加固區分成n層，每層復合壓縮模量為Ecsi，利用復合模量法計算S1：

(4)

Ecsi=mEc+(1-m)Esi。

(5)

式中：Δpi為第i層土的豎向附加應力平均值，MPa；Hi為第i層土的厚度，m；Ec為碎石樁的壓縮模量，MPa；Esi為第i層樁間土體的壓縮模量，MPa。

由分層總和法可計算S2：

(6)

2 碎石樁置換率魯棒性優化設計方法

在巖土工程魯棒性設計中，輸入參數分為兩類：一類是通過設計人員指定且易于控制的參數，稱為設計參數，如碎石樁置換率m；另一類是具有不確定性且難以通過人為措施完全消除這種不確定性的參數，稱為噪聲因素。如果設計所對應的系統響應對噪聲因素的變化不敏感，則認為該設計是具有魯棒性的[26-27]。由于無法完全消除噪聲因素的變化，巖土工程魯棒性設計的本質是通過調整設計參數來減小系統響應的變化[26]。在本文中，通過調整碎石樁置換率，使復合地基的工后總沉降量對碎石樁壓縮模量(Ec)和土體壓縮模量(Es)變化不敏感。

在巖土工程魯棒性設計方法中，要同時滿足魯棒性、安全性和經濟性要求。文中碎石樁優化設計的目標是要在滿足安全性的前提下，找到一個置換率，使得該置換率所對應的魯棒性最優和工程造價最小[28]。然而魯棒性最優和工程造價最小往往是相互沖突的。因此，Deb等[29]借助遺傳算法提出了帕累托前沿(Pareto front)的概念，其由造價相同的方案中魯棒性最優的方案構成，用于多目標優化設計，可在魯棒性和工程造價之間進行權衡。為得到唯一的優化設計方案，可采用Khoshnevisan等[27]提出的最小距離法找到位于帕累托前沿上的關節點(knee point)。對于相互沖突的目標，它可以產生最優的折衷方案，即選出最優設計方案。最小距離法如圖2所示，先找到實際并不存在的烏托邦點(Utopia point)，該點代表具有最低的工程造價和最優的魯棒性指標的設計方案，通過計算歐拉距離，找到帕累托前沿上到烏托邦點距離最小的點，其對應的設計方案就是綜合考慮了魯棒性、安全性和經濟性3個方面的唯一設計方案，即關節點。為實現魯棒性設計，要建立計算魯棒性、安全性和經濟性的評價指標。

圖2 最小距離法圖示

2.1 魯棒性指標計算方法

在魯棒性設計方法中，通常采用信噪比、結構失效概率置信水平、系統響應梯度和系統響應變化等指標量化魯棒性[27]。其中，系統響應變化可以直接反映出給定設計的系統性能對噪聲因素的敏感程度，能夠有效衡量其設計的魯棒性。但考慮到工后沉降量是用來評價碎石樁復合地基施工穩定性的重要參數之一，本文以工后沉降量標準差作為魯棒性評價指標，其數值越小，說明設計的魯棒性效果越好。

文中，Ec和Es為噪聲因素，根據其統計規律，利用Monte-Carlo模擬方法隨機生成Ns組噪聲參數，記為Xk(k= 1, 2, …,Ns)。對給定的置換率，每一組噪聲參數所對應的沉降量可由式(3)—(6)計算得到，記為Sk(k= 1, 2, …,Ns)。基于可靠度理論[30-31]，可求得Ns組工后沉降量的均值和標準差：

(7)

(8)

式中：Sμ為Ns組工后沉降量的均值；σs為Ns組工后沉降量的標準差。

一個置換率對應的工后沉降量的標準差越小，說明該置換率對碎石樁和土體的壓縮模量的變化越不敏感，即魯棒性越優。

2.2 安全性評價方法

通過工后沉降量的限值S0可評價設計的安全性。對于一個給定的置換率，如果其對應的工后沉降量的均值小于規定的工后沉降量的限值，則認為該置換率為一個可行的設計方案。針對所有碎石樁設計方案重復上述計算過程，便可從所有的備選置換率中得到可行設計方案。需要說明的是，安全性評價還可以根據需要考慮其他因素，比如碎石樁是否會在下臥層處發生刺入破壞等。工程實踐和理論分析表明，碎石樁存在一臨界樁長(約為碎石樁直徑的4倍)，當樁長大于臨界樁長，碎石樁很少會發生刺入破壞[32]。出于說明的目的，本文假設所研究的碎石樁長大于臨界樁長，因此不考慮刺入破壞。

2.3 工程造價計算方法

實際碎石樁復合地基的工程造價(C)主要包括施工組織、材料費用、設備租金和人工成本等。其準確計算方法具有地方特性。盡管沒有統一的計算方法，但可以確定的是工程造價與置換率直接相關。因此，本文用置換率直接表示工程造價：

C=m。

(9)

3 置換率的優化設計流程

碎石樁置換率的優化設計流程分為5個步驟：

1)定義碎石樁復合地基設計問題，將優化設計所需的輸入參數劃分為設計參數和噪聲因素。

2)確定備選的設計方案。根據設計參數(m)的典型取值范圍、施工布置及類似工程經驗，選擇離散的設計參數，即備選的設計方案，方案的數目用M表示。

3)量化噪聲因素的不確定性。基于碎石樁和巖土體參數力學特性的試驗數據，結合文獻及當地相似工程經驗，評估Ec和Es的分布、均值與標準差。

4)計算工程造價和魯棒性指標。對每一個設計方案，根據Monte-Carlo模擬方法隨機生成Ns組噪聲因素，利用式(3)—(6)計算得到Ns組工后沉降量，根據式(7)(8)計算這Ns組沉降量的平均值和標準差(魯棒性指標)。如果沉降量的平均值小于沉降量限值，則該方案為可行的設計方案，進一步利用式(9)計算其工程造價。針對M組備選方案中的每一個設計方案，重復上述過程，得到所有可行設計方案。

5)依據帕累托前沿和關節點獲得最優設計方案。根據4)計算的工程造價與魯棒性指標，得到帕累托前沿，找到關節點，其所對應的設計方案就是最優設計方案。關于建立帕累托前沿和關節點的詳細步驟可以參考文獻[33]。

4 應用案例

采用昆明市某高速公路段第一合同段樁號K1+930斷面[34]作為案例說明碎石樁置換率優化設計的方法與流程。該案例路基頂寬為25.0 m，路基兩側邊坡比為1∶1.5，填土高度為5.0 m，路堤分布荷載為95 kPa。工程采用碎石樁處理軟土地基，碎石樁呈正三角形分布，樁長(L)為15.0 m，樁徑為1.0 m，樁間距為1.8 m。路基幾何形狀和下部土層分布如圖3所示，相關參數如表1所示。出于說明性目的，將該工程工后沉降量的限值設置為75.0 cm，下一章將討論該限值變化對優化結果的影響。

①填筑土；②淤泥質黏土夾亞黏土；③黏土及淤泥質黏土；④黏土；⑤黏土及淤泥質黏土。

表1 研究區碎石樁復合地基中的碎石樁和土體參數

假設Ec和Es均服從對數正態分布，Ec和Es的均值按表1取值。根據文獻[35]，碎石樁和樁間土體壓縮模量的變異系數(f(Ec)和f(Es))分別取0.32和0.36。置換率的取值范圍選為10%～50%，按1%的間隔取值，構成碎石樁置換率的41個備選設計方案。對每一個方案，利用Monto-Carlo模擬方法隨機生成Ns組噪聲因素數值。對每一組噪聲因素，利用式(3)—(6)計算得到Ns組工后沉降量。Monto-Carlo模擬方法計算結果的精度隨樣本數量增加而提高，另外隨計算精度提高，耗時也隨之增加。為平衡計算精度和時間，計算了不同Ns值對應的工后沉降量平均值，如圖4所示。由圖4可見，當Ns值大于104.0時(圖4虛線之后)，工后沉降量的平均值基本趨于穩定。因此選擇Ns= 104.0進行后續計算。

圖4 隨機樣本數對碎石樁復合地基沉降量均值的影響

針對每個備選的置換率(共41個)，根據式(7)計算出對應的工后沉降量平均值，若小于沉降量限值(75.0 cm)，則認為該置換率為一個可行的設計方案，最終篩選出36組可行設計方案。對每個可行的設計方案，通過式(8)(9)計算工后沉降量的標準差(魯棒性指標)和工程造價，得到圖5所示的帕累托前沿。由圖5可見：為提高設計的魯棒性即減小工后沉降量標準差，需要更高的工程造價，因此需在經濟成本和魯棒性兩者之間取得一個最優平衡。用前文提到的最小距離法確定最優設計方案，步驟如下。

1)對工程造價和魯棒性指標(稱為目標函數)進行歸一化處理：

(10)

式中：Xj,max為第j個目標函數Xj的最大值；Xj,min為第j個目標函數Xj的最小值；XN為第j個目標函數Xj的歸一化值。

歸一化處理后，烏托邦點坐標為(0，0)(即工程造價最低，魯棒性最優)。

2)根據最小距離法[25]，計算帕累托前沿上每個可行設計方案對應點到烏托邦點的歐拉距離：

(11)

本文介紹的優化設計流程利用MATLAB程序語言實現，一般性能計算機均可完成。本例解算使用計算機配置為英特爾 Core i5-6200U@2.30 GHz 雙核處理器、英特爾 HD Graphics 520主顯卡、三星 LPDDR3 1867MHz 4GB×2內存，利用軟件MATLAB R2017a，得出本案例最優置換率所用時長為14.75 s。

根據計算得到的歐拉距離，其最小值對應點即為關節點。圖5中實心圓點為關節點，其對應的置換率為29%，為最優置換率。從設計與施工方便的角度考慮，可以根據工程造價在帕累托前沿上選取最優設計方案附近的置換率(如 30%)作為最終應用的置換率。

圖5 雙目標(魯棒性和工程造價)優化條件下的帕累托前沿和關節點

5 討論

5.1 沉降量限值對優化設計結果的影響

為明確沉降量限值S0對優化設計結果的影響，分別取沉降量限值為75、70和65 cm。圖6展示了3種沉降量限值條件下的帕累托前沿和關節點，所對應的碎石樁置換率優化結果在表2中列出。

如圖6所示，隨著工后沉降量限值的減小，帕累托前沿上可行設計方案的數量減少；說明隨著安全性要求的提高，由于置換率較低的碎石樁復合地基具有較大的沉降，不再滿足安全要求。由表2可見，隨著沉降量限值的減小即安全要求的提高，最優設計方案對應的工程造價升高；說明更嚴格的安全性要求需要投入更多的建造經濟成本。

圖6 3組不同沉降要求下的帕累托前沿和關節點

表2 3組不同沉降要求下的魯棒性優化結果

5.2 壓縮模量變異系數對優化設計結果的影響

巖土體參數往往存在極大不確定性，故實際工程中巖土體參數的變異系數往往難以確定，其取值也可能會對優化設計結果產生影響。首先，f(Es)數值取0.36并保持不變，改變f(Ec)數值為0.22、0.32和0.42，利用公式(10)進行歸一化處理后得到帕累托前沿和關節點如圖7a所示。同樣，f(Ec)數值取0.32并保持不變，改變f(Es)數值為0.36、0.46和0.56，得到歸一化處理后的帕累托前沿和關節點如圖7b所示。

從圖7可以看出,f(Ec)和f(Es)存在一個共同的變化趨勢，即隨著變異系數的增加，沉降量標準差增大，工程造價也增加;表明隨著噪聲因素的不確定性增加，魯棒性變差，且工程造價增加。

圖7 不同樁體(a)和土體(b)壓縮模量變異系數下的帕累托前沿和關節點

表3展示了f(Ec)和f(Es)都變化時對應的優化設計結果。由表3可見：與f(Ec)相比，f(Es)的變化對魯棒性指標的影響程度更大，也就是說，工后沉降量對f(Es)的變化更加敏感；隨著f(Es)的增加，可行設計方案數量減少幅度較大，說明隨著f(Es)的增大，置換率較小的設計將不再滿足安全要求。

表3 不同樁體和土體壓縮模量變異系數下的優化結果

5.3 參數分布模式對優化設計結果的影響

巖土工程中常用的參數分布有正態分布和對數正態分布。前文假設噪聲因素服從對數正態分布，此部分假設噪聲因素服從正態分布，重復前文碎石樁綜合優化設計流程解決本文工程實例置換率優化設計問題，優化結果如表4所示，可見最優置換率為32%。結合圖5同時進行歸一化處理后的優化設計結果如圖8所示，總體上參數分布對優化結果的影響較小。相較于對數正態分布，利用正態分布處理時，沉降量標準差增加即魯棒性變差，同時符合安全要求的可行性方案減少；這是由于正態分布模式下隨機生成的噪聲因素計算后對應的沉降標準差增加，置換率較小的方案計算得出的沉降量均值不再滿足安全要求。從表4數據還可以看出：相較于對數正態分布模式，正態分布模式下最優設計方案對應的置換率和魯棒性指標都明顯增加。總結來說，正態分布處理后的噪聲因素數值變化很大，由此計算得到的工后沉降量不確定性更高。

表4 兩種不同參數分布模式下魯棒性優化結果

圖8 歸一化處理后不同參數分布模式下的帕累托前沿和關節點

6 結論

1)本文結合工程案例詳細闡述了基于巖土工程魯棒性的碎石樁復合地基置換率優化設計的方法和流程。經過上述優化設計流程得到最優置換率為29%，可實現魯棒性和經濟性的最優平衡。為施工方便，可在帕累托前沿上選取最優設計方案附近的置換率(如30%)作為最終工程應用值。

2)沉降量限值的變化會對最終優化設計方案產生影響，結果表明在實際工程中，需要投入更多的工程造價來滿足更高的安全性要求。

3)碎石樁壓縮模量和土體壓縮模量對最終優化結果的影響為：二者的魯棒性指標都會隨變異系數的增加而增加，工程造價也隨之提高；隨碎石樁壓縮模量變異系數的增大，可行方案數量無明顯減少，魯棒性指標增幅較小，而隨土體壓縮模量變異系數的增大，可行方案數量明顯減少，并且魯棒性指標增幅很大。

4)相較于對數正態分布，采用正態分布模擬噪聲因素參數分布時，符合安全要求的可行性方案減少，最優設計方案對應的魯棒性指標和工程造價均增大，其隨機生成的噪聲因素數值變化更大，由此計算的結果不確定性更高。