基于編碼矩陣結(jié)構(gòu)特征的非刪余極化碼參數(shù)盲識別算法

王垚，王翔，楊國東，黃知濤

（1.國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410073；2.陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400036；3.中國人民解放軍92001 部隊，山東 青島 266023）

0 引言

為了實現(xiàn)穩(wěn)定可靠的通信，信道編碼技術(shù)被廣泛應(yīng)用于各類數(shù)字通信系統(tǒng)中，該技術(shù)的合理運用可以有效提高信息傳輸?shù)馁|(zhì)量。其中，極化碼是已知的唯一一種被嚴格證明在二進制離散無記憶信道（B-DMC,binary discrete memoryless channel）下能夠達到香農(nóng)極限的信道編碼方法[1]，并被確定為5G 增強型移動寬帶（eMBB,enhanced mobile broadband）場景下的控制信道編碼方案[2]。極化碼是5G 通信中采用的新型編碼方式，對其進行參數(shù)盲識別的研究，具有重要的研究價值。

在認知通信和非合作通信領(lǐng)域，信道編碼盲識別受到了國內(nèi)外越來越多的關(guān)注。從編碼過程上看，極化碼屬于線性分組碼，且當前線性分組碼盲識別課題已經(jīng)有了較多的研究成果與積累。文獻[3]利用接收碼字的秩特性，提出一種基于秩準則的編碼類型識別算法。文獻[4]提出一種基于游程特征的線性分組碼與卷積碼類型識別算法，該算法可以較好地對線性分組碼與卷積碼進行區(qū)分。針對循環(huán)碼識別問題，文獻[5]從循環(huán)碼定義出發(fā)，利用歐幾里得算法，完成循環(huán)碼生成多項式的識別。文獻[6-7]利用循環(huán)碼生成多項式為xn+1的因子這一特性，通過因式分解實現(xiàn)循環(huán)碼識別，但誤碼適應(yīng)能力不足。針對BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）碼識別問題，文獻[8]提出了一種利用碼根差熵和碼根統(tǒng)計的本原BCH 碼識別算法，但在高碼率情況下識別性能變差，且算法計算量較大。文獻[9]提出了一種基于伽羅華域傅里葉變換（GFFT,Galois field Fourier transform）的識別算法，通過算法的優(yōu)化避免了錯誤碼字對識別結(jié)果的影響，誤碼適應(yīng)能力得到提高。文獻[10]首次引入軟判決序列對本原BCH碼進行識別，通過計算碼字多項式的碼根 KL（Kullback-Leibler）散度，利用碼根概率分布識別出碼長、本原多項式以及生成多項式，識別性能得到較大的提高。針對RS（Reed-Solomon）碼識別問題，文獻[11]提出了基于伽羅華域中高斯消元的識別算法，該算法在碼長較短的情況下具有一定實用性，但是計算復(fù)雜度會隨著碼長增加而急劇增加，且容錯性能較差。文獻[12]從提高容錯性能出發(fā)，提出基于GFFT的識別算法，雖然算法容錯性能得到了提升，但運算量隨著碼長增加會急劇增加。文獻[13]建立了基于似然判決的二元域統(tǒng)計判決模型，引入了能夠衡量校驗關(guān)系成立大小的平均校驗符合度概念，通過遍歷的方式對參數(shù)進行匹配，該算法具有較好的低信噪比適應(yīng)能力。此外，針對卷積碼[14-15]、低密度奇偶校驗（LDPC,low density parity check）碼[16-17]、Turbo碼[18-19]等不同編碼方式的識別問題，也有大量的研究。

由于極化碼特有的編碼理論與方法，傳統(tǒng)的線性分組碼識別算法并不適用于極化碼，且目前針對極化碼識別的研究較少。其中，文獻[20]通過對信道刪除概率和極化碼碼長進行遍歷，求得對應(yīng)的生成矩陣及其零空間，并利用零空間對硬判決碼字矩陣依次進行校驗，確定編碼參數(shù)。文獻[21]通過對碼長和凍結(jié)比特進行遍歷，依次選取凍結(jié)比特求得所對應(yīng)的對偶向量，利用對偶向量對軟判決碼字矩陣進行校驗，判斷碼字是否選取該比特作為其凍結(jié)比特，但在對統(tǒng)計量計算的過程中進行了近似處理。現(xiàn)有算法由于未有效利用極化碼的相關(guān)性質(zhì)，均需要采用參數(shù)遍歷的方式對參數(shù)空間進行搜索，得到參數(shù)的估計值，導(dǎo)致算法過程較復(fù)雜、計算量較大，同時在計算過程中采用硬判決序列或?qū)y(tǒng)計判決量進行近似，算法的誤碼適應(yīng)能力不足。

針對上述問題，本文同樣對標準非刪余極化碼的編碼過程展開了研究。通過對極化碼相關(guān)性質(zhì)的研究，證明了描述極化碼生成矩陣、碼長、信息比特和凍結(jié)比特之間特有關(guān)系的定理與命題；利用信息比特的分布規(guī)律，實現(xiàn)碼長的識別；引入似然差（LD,likelihood difference）作為檢驗關(guān)系的判決統(tǒng)計量，并從理論上分析了似然差的統(tǒng)計特性，基于最大最小準則對最優(yōu)判決門限進行了求解，實現(xiàn)信息比特與凍結(jié)比特的識別，對碼率進行估計。所提算法充分利用了極化碼生成矩陣的結(jié)構(gòu)特征，在保證識別性能的前提下，顯著降低了運算量。仿真證明了所提算法的有效性。若無特殊說明，下文極化碼均指標準極化碼。

1 信道極化

極化碼的產(chǎn)生來源于信道極化理論。對于一個二進制離散無記憶信道W:X→Y，其轉(zhuǎn)移概率為W(y|x)，x∈X，y∈Y。信道極化的過程包含2 個階段：信道合并和信道分裂。信道合并是指N個獨立信道經(jīng)過線性變換合并為信道W N:XN→YN，信道分裂則是將信道WN分解成N個子信道。圖1 為標準極化碼一級信道結(jié)構(gòu)，將2 個比特進行編碼，可得

圖1 標準極化碼一級信道結(jié)構(gòu)

將0x和1x分別通過信道W進行傳輸，得到y(tǒng)0和1y，則合并后的信道2W的轉(zhuǎn)移概率為

多級級聯(lián)進行上述操作，最終可以實現(xiàn)多級極化。經(jīng)過n=lbN次極化后，得到的合并信道WN的轉(zhuǎn)移概率[1]為

其中，BN表示比特逆序重排矩陣，F(xiàn)N=?nF，，?表示Kronecker 積。對于非標準極化碼，也可采用3 ×3 或更高階次的核F。分裂后的子信道的轉(zhuǎn)移概率[1]為

1.1 極化信道可靠性估計

對于二進制刪除信道（BEC,binary erasure channel），為描述極化信道的可靠性，可以引入巴氏參數(shù)[1]作為表征信道W質(zhì)量的參數(shù)，其定義為

當信道W只用來發(fā)射單個比特時，巴氏參數(shù)是使用最大后驗概率判決時錯誤概率的上界。當信道為BEC 時，Z(W) 可以通過式(6)計算得到[1]。

圖2 BEC 子信道巴氏參數(shù)分布

1.2 極化碼編碼

極化碼利用可靠性較高的子信道來傳輸有用的信息比特，而利用可靠性較差的子信道傳輸凍結(jié)比特。極化碼的編碼過程用生成矩陣的形式可以表示為

其中，u1×N為原始比特序列，c1×N為編碼后的比特序列，GN為生成矩陣，2n N=為碼長，n為正整數(shù)。生成矩陣表示為

容易證明，生成矩陣GN是一個N×N維的滿秩矩陣，其行向量與子信道一一對應(yīng)。假設(shè)A是一個元素個數(shù)為k的正整數(shù)的集合，A中每個元素為信息比特所對應(yīng)子信道的行標號，則其補集cA中的元素為凍結(jié)比特所對應(yīng)子信道的行標號，碼率為。uA為要傳輸?shù)男畔⒈忍兀瑸閮鼋Y(jié)比特，于是編碼過程可表示為

一般情況下，極化碼的凍結(jié)比特均取0，此時編碼過程可進一步簡化為

由極化碼編碼原理可知，當給定編碼長度，極化碼的編譯碼結(jié)構(gòu)將被唯一確定，且可以通過生成矩陣的形式表示編碼過程。由此可知，標準非刪余極化碼識別最終目的是完成對極化碼碼長、信息比特及凍結(jié)比特的識別。通常在實際通信系統(tǒng)中，采用線性分組碼的比特流序列通常有固定的幀結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的同步碼[21]，且已有相應(yīng)方法能夠?qū)崿F(xiàn)對幀同步碼的盲識別[22-23]，故本文假設(shè)已完成幀同步，集中對極化碼參數(shù)識別問題進行討論。除特別說明外，本文矩陣運算均在二元域F(2) 上進行。

2 極化碼識別原理與算法

2.1 識別原理

根據(jù)極化碼編碼原理可知，標準非刪余極化碼碼長通常為2n（n＞0 ），不同碼長的極化碼對應(yīng)著不同的生成矩陣GN。在給出具體的識別算法之前，首先對矩陣GN的相關(guān)性質(zhì)進行研究，給出相關(guān)的定理及命題，作為極化碼參數(shù)識別算法的理論基礎(chǔ)。

定理1對于矩陣F?n，具有如下性質(zhì)

定理1 利用數(shù)學(xué)歸納法易證得。根據(jù)定理1可知，對于矩陣F?n，當剔除其第i行后，記得到的新矩陣為，矩陣的對偶向量即F?n的第i列。根據(jù)極化碼編碼性質(zhì)可知，生成矩陣GN與矩陣F?n由相同的行向量組成，只是行向量的排列順序不同，其對應(yīng)關(guān)系由矩陣BN所決定，易證得

考慮碼長為N=2n、碼率為k/N的極化碼，當碼字(c1,c2,…,cN),…,(c(L-1)N+1,c(L-1)N+2,…,cLN)被拓展為(c1,c2,…,cN,…,c(L-1)N+1,c(L-1)N+2,…,cLN)時，拓展后的碼字等價于碼長為LN(L=2m)的新極化碼，拓展后的極化碼生成矩陣可記為=IL?GN，其中IL為維數(shù)為L×L的單位矩陣。

命題1對于拓展后碼長為LN(L=2m)的新極化碼，記其對應(yīng)的（n+m）次克羅內(nèi)克積為F?(n+m)，生成矩陣為，則有

證明

證畢。

2.2 凍結(jié)比特與信息比特識別

假設(shè)接收到的碼流序列共包含M個完整碼字，記為r，其中N滿足2n N=。考慮命題1 中m=1 時的情況，即碼字矩陣的設(shè)定碼長與真實碼長相等，利用截獲的碼流序列r構(gòu)建碼字矩陣R

在無誤碼條件下，根據(jù)式(10)，接收到的碼字可表示為R=C=UGN(A)，其中U為對應(yīng)的信息矩陣。記碼字矩陣R與矩陣?nF相乘所得矩陣為Φ。

命題2在無誤碼條件下，矩陣Φ中零列向量的數(shù)量為n-k，零列向量的位置與凍結(jié)比特的位置一一對應(yīng)。

證明對于矩陣R與矩陣?nF，可得

其中，矩陣Pk×N為行滿秩矩陣，用于選出GN中行標號屬于集合A的行。考慮到矩陣BN為行置換矩陣，每行每列有且僅有一個元素為1，行與行之間、列與列之間1的位置均不同，可將式(17)化簡為

根據(jù)極化碼編碼性質(zhì)可知，生成矩陣GN與矩陣F?n中行向量所處位置的對應(yīng)關(guān)系由矩陣BN決定。因此根據(jù)命題1 可知，當剔除生成矩陣GN第i行后得到矩陣，存在由BN決定的變換π(·)，使矩陣的對偶向量為F?n的第π(i)列。則信息比特和凍結(jié)比特所對應(yīng)子信道的行標號集合分別為A={π-1[α(1)],π-1[α(2)],…,π-1[α(k)]}和Ac={π-1[b1],π-1[b2],…,π-1[bN-k]}。證畢。

因此，根據(jù)命題2 可知，當碼字矩陣設(shè)定的碼長與真實碼長相等時，只需要考察碼字矩陣R與矩陣F?n各列之間的校驗關(guān)系，并利用映射關(guān)系π(·)即可求得集合A。當矩陣F?n第i列與碼字矩陣R不滿足校驗關(guān)系時，π-1(i)為集合Ac中的一個元素，否則π-1(i)為集合A中的一個元素。同時，碼率估計值為

2.3 碼長識別

根據(jù)2.2 節(jié)分析可知，當碼字矩陣設(shè)定的碼長與真實碼字長度相同時，利用碼字矩陣R與矩陣F?n的運算結(jié)果，可以實現(xiàn)信息比特和凍結(jié)比特置的識別。但實際接收中，無法事先知道極化碼碼長，因此本節(jié)將繼續(xù)對碼長識別進行分析。

首先，考慮無誤碼情況。當碼字矩陣設(shè)定的碼長大于真實碼長時，即N′=LN=2n+m（m＞ 1），可構(gòu)造碼字矩陣RL。此時碼長為N=2n、碼率為k/N的極化碼，被拓展為碼長為LN(L=2m)的新極化碼。接收到的碼字矩陣可表示為R L=其中UL為對應(yīng)的信息矩陣。記碼字矩陣RL與矩陣F?(n+m)相乘所得矩陣為ΦL。

命題3在無誤碼條件下，矩陣ΦL中零列向量的數(shù)量為(n-k)L，且周期性出現(xiàn)，周期為N。

證明根據(jù)命題1 與式(17)可得

根據(jù)2.2 節(jié)分析可知，矩陣Γ的任意一行γi的元素，只有在α(i)的位置為1，其他位置均為0。因此，矩陣F?m?Γ將周期性出現(xiàn)零列向量，周期為N。證畢。

根據(jù)命題3 可知，矩陣F?(n+m)中與碼字矩陣RL滿足校驗關(guān)系的列將周期性出現(xiàn)，其周期與碼長、矩陣F?(n+m)存在嚴格約束關(guān)系。因此，當接收碼字不存在誤碼時，選擇合適的碼長并計算矩陣ΦL，根據(jù)矩陣中零列向量的分布情況可以得到碼字矩陣設(shè)定的碼長與真實碼長之間的關(guān)系，計算出真實碼長。

但當接收序列存在誤碼時，碼字矩陣RL與矩陣F?(n+m)之間的校驗關(guān)系將被破壞。另一方面，對于矩陣F?(n+m)中碼重較重的列向量而言，由于碼重較大，也更容易受誤碼影響，導(dǎo)致校驗關(guān)系失效。

根據(jù)矩陣F?n構(gòu)造原理可知，F(xiàn)?n滿足性質(zhì)

因此，將F?n的后2k列（k=2,…,n）記為Pk，則有

即碼字矩陣RL與矩陣F?(m+n)進行校驗關(guān)系檢測時，其后2k個校驗值，等價于碼字矩陣與矩陣F?k進行校驗關(guān)系的檢驗。因此，可將矩陣F?k中未通過正交檢驗的列的數(shù)量與2k的比值，作為碼字矩陣碼長為2k時的等效極化碼碼率估計值，記為。根據(jù)文獻[21]中定理1 可知，在無誤碼情況下，當碼字矩陣設(shè)定的碼長小于真實碼長時，等效極化碼碼率將大于真實碼率；當碼字矩陣設(shè)定的碼長大于或等于真實碼長時，其將等于真實碼率。但又由于誤碼的影響，部分校驗關(guān)系將被破壞，使通過檢驗的凍結(jié)比特減少，碼率增加。因此在誤碼條件下，當碼字矩陣設(shè)定的碼長等于真實碼長時，所求得碼率?η為最低碼率，可利用該性質(zhì)判斷極化碼碼長。

2.4 校驗關(guān)系檢測

在實際信息傳輸過程中，碼字會受到噪聲的影響而產(chǎn)生誤碼，由于硬判決序列只包含序列判決結(jié)果，而軟判決序列不僅能提供0/1 比特數(shù)據(jù)，還能額外提供判決序列的可靠性信息。因此，本文采用軟判決序列進行處理，對編碼參數(shù)進行識別。為與前文區(qū)分，由軟判決序列構(gòu)成的碼字矩陣記為TL。

假設(shè)信號采用二進制相移鍵控（BPSK,binary phase-shift keying）調(diào)制，在加性白高斯噪聲（AWGN,additive white Gaussian noise）信道條件下，其中ni,j為均值為0、方差為2σ的高斯白噪聲序列，si,j為BPSK 調(diào)制符號，與原始碼字ci,j之間滿足

引入對數(shù)似然比（LLR,log-likelihood ratio），定義為[24]

記矩陣F?n中第j列為fj，為了研究碼字與fj的校驗關(guān)系，單獨取碼字矩陣TL第i行ti進行研究，此時對應(yīng)的碼字為ci，可以將式(23)進行推廣得到ci與fj正交的對數(shù)似然比為

其中，fj=[f1,j,f2,j,…,fN,j]T，ti=[ti,1,ti,2,…,ti,N]，ci=[ci,1,ci,2,…,ci,N]，lj,t為fj第t個非零值的索引。在計算LLR 時，需要多次進行較復(fù)雜的雙曲正切及其反函數(shù)的運算。為降低運算量，引入似然差LD來替代LLR，其定義為[25]

考慮以下兩類假設(shè)檢驗。

H1：fj與極化碼碼字構(gòu)成校驗關(guān)系。

H0：fj與極化碼碼字不構(gòu)成校驗關(guān)系。

設(shè)wt=weight(fj)，即向量fj中含有wt個“1”。當校驗關(guān)系成立時，意味著碼字ci中下標為{lj,t}的碼元中應(yīng)有偶數(shù)個碼元為“1”，共有種可能。因此，當H1成立時，LDj的均值和方差分別為

當H0成立時，由于碼字與向量jf之間不存在校驗關(guān)系，LDj的均值和方差分別為

代入式(26)可得

同理可得

式(31)～式(33)只考慮了第i個碼字的似然差，將碼字矩陣的所有行考慮進去，則可得到平均似然差，即

設(shè)兩類假設(shè)的判決門限為Λ，由于在非合作通信系統(tǒng)中無法獲得兩類假設(shè)的先驗信息，因此本文采用極小化極大準則來求解門限Λ。同時，假定正確判斷的代價因子取值為0，錯誤判斷代價因子取值為1。根據(jù)極小化極大準則可知，門限Λ需滿足

解得門限為

根據(jù)設(shè)定的碼長，利用截獲的數(shù)據(jù)構(gòu)造出碼字矩陣，然后依次利用矩陣中列向量與碼字矩陣進行校驗，計算出統(tǒng)計校驗量與對應(yīng)的門限Λ。當統(tǒng)計校驗量大于門限時，則認為該位置為凍結(jié)比特，反之則為信息比特。

2.5 識別算法流程

由前文分析可知，合理設(shè)定接收碼字矩陣的碼長值，構(gòu)建碼字矩陣LR與矩陣，依次對碼字矩陣LR與矩陣后2k（k=2,3,…）列之間的校驗關(guān)系進行檢驗，當某一個列向量的校驗關(guān)系成立時，矩陣GN中與其對應(yīng)的行即凍結(jié)子信道的所在行。然后計算等效極化碼碼率的估計值，對碼長、碼率進行估計，即通過一次計算完成參數(shù)的識別，而不需要像現(xiàn)有算法需要對所有可能碼長進行遍歷，有效降低運算量，具體如算法1 所示。

算法1基于編碼矩陣結(jié)構(gòu)特征的極化碼參數(shù)識別算法

3 仿真分析

考慮到5G 通信中增強移動寬帶場景下控制信道編碼方案，確定采用的極化碼最大母碼長度在下行控制信道中為512，在上行控制信道中為1 024，最低碼率為1/8。因此，仿真設(shè)定極化碼碼長分別為32、64、128、256、512、1 024，最大碼長為1 024。不失一般性，設(shè)噪聲環(huán)境為AWGN 信道。

3.1 統(tǒng)計模型驗證

本節(jié)主要對前文推導(dǎo)的似然差統(tǒng)計特性進行驗證。前文在推導(dǎo)似然差分布函數(shù)的過程中進行了一定假設(shè)，其正確性是算法有效求解判決門限的前提條件。根據(jù)矩陣的構(gòu)造規(guī)律可知，其列向量的碼重取值集合為{ 2k|k∈{1,2,…,nmax}}。仿真設(shè)定了4 種碼重值，分別為32、64、256、1 024。設(shè)定的信噪比范圍為-10～12 dB，步長為0.5 dB。利用均值與方差的定義，仿真求得在不同條件下平均似然差的均值與方差，并和理論推導(dǎo)計算得到的均值與方差進行對比。

從圖3 中可以看出，在不同假設(shè)條件下，利用定義所求得的均值與方差和理論計算得到的值幾乎完全重合，證明了前文中對于似然差分布函數(shù)推導(dǎo)的正確性。其中，圖3(b)中的方差曲線在某信噪比下出現(xiàn)峰值，其原因是當H1成立時，矩陣中任意列向量fj的似然差均值為ζ，其方差為ζ可由數(shù)值計算求得，其取值范圍為（0,1）。同時，對于函數(shù)f(ζ)=，當ζ∈(0,1)時，函數(shù)f(ζ)在ζ=時取得極大值0.25。圖3(b)的橫坐標為信噪比，而隨著信噪比的提高，ζ值逐漸趨近于1，因此方差曲線會在某一信噪比時取得峰值。圖4 為wt取不同值時函數(shù)f(ζ)=在（0,1）的取值。

圖3 似然差統(tǒng)計特性對比

圖4 wt 取不同值時函數(shù) f (ζ) 在（0,1）的取值

3.2 算法有效性驗證

本節(jié)主要利用仿真對命題1 及算法的有效性進行驗證。本節(jié)所采用極化碼碼率為1/2，碼長為64，設(shè)定的最長碼長2nmax為128。信噪比分別取5 dB 和0，設(shè)定碼字個數(shù)為2 000 個。在2 種信噪比條件下，記錄不同列的平均似然差值和門限，以及不同碼字矩陣碼長的等效碼率。不同信噪比下的平均似然差與門限及判決結(jié)果分別如圖5 和圖6 所示。

圖5(a)給出了不同列的平均似然差和對應(yīng)的判決門限。當似然差大于門限時，判定校驗關(guān)系成立，該列向量對應(yīng)的π-1(i)為凍結(jié)比特，否則為信息比特。圖5(b)則給出了似然差判決結(jié)果。從圖5(b)可以看出，當信噪比為5 dB 時，接收信號的誤碼率較低，校驗關(guān)系檢測結(jié)果的序列中存在2 個完整的周期。同時，圖5(c)中等效碼率也隨著碼字矩陣碼長的增加而降低，當n=5 時降到最低，與仿真設(shè)定值相對應(yīng)，且與2.3 節(jié)分析結(jié)果一致。

圖5 N=64，SNR=5 dB 條件下判決結(jié)果

當信噪比降到0 時，接收信號的質(zhì)量下降，導(dǎo)致了更多的誤判。從圖6(b)中可以看出，判決結(jié)果前后兩段已經(jīng)不同，即由于誤碼的影響，判決結(jié)果出現(xiàn)了錯誤，周期性被破壞。從圖6(c)可以看出，當碼字矩陣碼長小于真實碼長時，碼率大于真實碼長的碼率；當碼字矩陣碼長大于真實碼長時，碼率同樣大于真實碼長的碼率，與2.3節(jié)的分析一致。

圖6 N=64，SNR=0 條件下判決結(jié)果

3.3 容錯能力驗證

本節(jié)主要考察不同碼字個數(shù)、碼率對本文算法識別性能的影響，并對算法容錯能力進行驗證。

1) 碼字個數(shù)對識別性能的影響

本節(jié)主要考察累計碼字數(shù)量對算法的影響。仿真設(shè)定極化碼碼長為64，碼率為1/2，設(shè)收到的碼字數(shù)量分別為1 000、2 000、3 000、4 000，信噪比為-2～4 dB，間隔為0.5 dB，蒙特卡羅次數(shù)為500，統(tǒng)計不同信噪比下算法的識別率，結(jié)果如圖7 所示。從圖7 中可以看出，隨著碼字數(shù)量的增加，算法性能也有所增加，主要是因為隨著碼字數(shù)量的增加，所求得的平均似然差逐漸逼近理論值，使判決結(jié)果正確率更高，算法性能也隨之提升。

圖7 N=64 時不同信噪比下算法的識別率

2) 碼率對識別性能的影響

本節(jié)主要考察碼率對算法性能的影響。仿真設(shè)定極化碼碼長為64，碼率分別設(shè)定為1/4、1/2、5/8、3/4，碼字數(shù)量為2 000，信噪比為-2～4 dB，間隔為0.5 dB，蒙特卡羅次數(shù)為500，統(tǒng)計不同信噪比下算法的識別率，結(jié)果如圖8 所示。從圖8 可以看出，碼率對于算法的識別性能影響不大。通過對極化碼編碼過程的研究發(fā)現(xiàn)，這主要是因為隨著碼率的變化，雖然信息比特數(shù)和凍結(jié)比特數(shù)隨之改變，但高碼率對應(yīng)的對偶向量是低碼率對偶向量的子集，且是低碼率對偶向量中碼重較重的部分，更易受誤碼影響。也就意味著，隨著碼率的降低，對偶向量集合元素不斷增加，但增加的對偶向量碼重較低，受誤碼影響較小，更易識別。綜上所述，對識別性能影響較大的對偶向量是不同碼率條件下對偶向量的交集，因此算法識別性能受碼率的影響也較小。

圖8 M=2 000 時不同信噪比下算法的識別率

3.4 性能對比

本節(jié)主要考察碼長對于識別性能的影響，并與現(xiàn)有算法的性能比較。仿真設(shè)定的目標碼長為32、64、128、256、512、1 024，設(shè)定極化碼碼率為1/2，碼字數(shù)量為2 000，信噪比范圍為-2～8 dB，間隔為1 dB，蒙特卡羅仿真次數(shù)設(shè)定為500 次，統(tǒng)計不同算法在不同信噪比下的識別率，結(jié)果如圖9 所示。

從圖9 可以看出，隨著碼長的增加，算法識別性能逐漸下降。這主要是因為當碼長增加時，碼重也隨之增加，同時需要識別的信息比特和凍結(jié)比特增加，更易受到誤碼的影響，單個碼字中出現(xiàn)誤碼的概率也就更高。因此在相同條件下，隨著碼長的增加，識別難度逐漸增大，誤判概率也就越大。從識別結(jié)果來看，當信噪比為6 dB 時，對于碼長為1 024的極化碼，所提算法能夠達到接近100%的識別率，說明算法具有較好的誤碼適應(yīng)能力。

圖9 不同算法在不同信噪比下的識別率

同時，圖9 給出了與文獻[21]算法的仿真對比結(jié)果，文獻[21]算法的識別性能是現(xiàn)有最優(yōu)的。從圖9 中可以看出，本文算法在性能上有明顯的提升，尤其是在信噪比較高時，本文算法能夠較快地達到100%的識別率。文獻[21]同樣采用軟序列作為處理對象，并采用對數(shù)似然系數(shù)作為統(tǒng)計判決量，但在計算對數(shù)似然系數(shù)時進行了近似處理，降低了運算精度。本文對于似然差的計算未做近似處理，且從3.1 節(jié)可以看出，本文推導(dǎo)的統(tǒng)計特性與實際情況一致，因此具有更好的識別性能。同時，在計算量方面，本文算法在計算似然差的過程中，有效利用了極化碼生成矩陣的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，與現(xiàn)有算法相比，不需要進行碼長、碼率等參數(shù)的遍歷，有效降低了運算量，具體見3.5 節(jié)分析。

3.5 算法計算復(fù)雜度分析

假設(shè)接收到的軟判決序列長度為L，最大碼長為。首先，需要對每個判決值計算其似然差，在實際計算中已有多種高精度近似快速算法，其計算速度與乘法運算處于同一數(shù)量級[26]。本文仿真采用MATLAB 2016b 軟件，在i7-9750H 處理器平臺進行。在實際仿真平臺運算中，測得計算似然差計算所需時間約為乘法的5 倍。在對?nF的每個列向量進行檢驗時，需要進行元素相乘和向量加法，共需要次乘法運算和次加法運算。同時，本文將門限計算等價為5 次乘法運算。對于本文算法，當真實碼長為2n時，只需要計算個統(tǒng)計量，因此本文算法最大需要5L+次乘法運算和次加法運算。

文獻[21]中所提統(tǒng)計量需要對每個判決值進行判斷正負號和取模運算，各等價于一次加法運算，共需要2L次加法。計算每個統(tǒng)計量時，需要進行元素相乘、計算向量元素最小值和向量加法運算，其中比較大小可等價為一次加法，共需要L次乘法運算和次加法運算。對于不同的碼長2n，均需要計算2n個統(tǒng)計量。同時，其門限計算可等價為10 次乘法運算。最后，對不同碼長的計算量進行求和，最終為乘法運算和次加法運算。不論碼長大小，所需計算量為固定值。

綜上，本文算法計算復(fù)雜度更低，尤其是在碼長較小的情況下。

4 結(jié)束語

本文對標準非刪余極化碼盲識別問題進行了研究，推導(dǎo)證明了生成矩陣、碼字矩陣分別與克羅內(nèi)克矩陣之間的約束關(guān)系，以及不同參數(shù)對該校驗關(guān)系的影響，并基于以上性質(zhì)提出了一種極化碼盲識別算法。所提算法選擇軟判決序列進行處理，引入平均似然差作為判決統(tǒng)計量，能夠有效利用軟判決序列中的置信度信息，具有良好的誤碼適應(yīng)能力。同時，算法有效利用了極化碼生成矩陣的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，采用了一種新的識別策略，不需要對所有可能的碼長進行遍歷，所需計算量低于現(xiàn)有軟判決處理算法。仿真結(jié)果表明，所提算法識別性能優(yōu)于已有算法，工程實用性更強。后續(xù)研究主要針對非標準刪余極化碼，并考慮凍結(jié)比特不為零的場景，以完善極化碼盲識別問題的研究。