巧用構造法破解一類函數綜合問題

曹 琪

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

函數作為《普通高中數學課程標準(2017年版)》四條主線內容之一，是高考命題的重點，試題能很好地體現《中國高考評價體系》中，關于高考考查要求的基礎性、綜合性和創新性，是考查數學學科核心素養和關鍵能力的重要載體，因此，也是學生學習的難點.利用導數研究函數的性質，是解決函數問題的主要方法，本文基于高考和各地模考試題，談構造函數在破解函數綜合問題的應用，以追蹤熱點，突破難點.構造函數的主要依據有兩個，一是根據已知條件或所求問題中式子的結構特點；二是根據求導基本法則，即導函數的結構特征.前者一般以確定函數為研究對象，后者則多以抽象函數的形式出現.無論是哪種形式，本質上都是模型識別，是數學建模在學科內的具體體現.

1 構造函數比較大小

例1(2021年八省聯考12題)已知a<5且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，則( ).

A.c

C.a

所以函數f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.

故有f(3)

即f(c)

而0

例2 (2020年高考新課標Ⅰ卷理12)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

分析雖然a，b分居在等式兩邊，但兩邊結構不完全相同，為構造函數設置了一定障礙，同時，選項又為破除障礙作了很好的提示，即等式右邊要么向2b轉化，要么向b2轉化.事實上，從運算角度來看，只有右邊有一定的運算空間.

解析因為2a+log2a=4b+2log4b

=22b+log4b2

=22b+log2b

<22b+log2(2b)，

令f(x)=2x+log2x，

則f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

又因為上式可表示為f(a)

所以a<2b，故選B.

例3 已知函數f(x)的圖象關于y軸對稱，f′(x)為f(x)的導函數(下同)，且當x∈(-∞,0)時，f(x)+xf′(x)<0恒成立.a=20.2·f(20.2)，b=logπ3·f(logπ3)，c=log39·f(log39)，則a，b，c的大小關系是____.

分析a，b，c具有明顯的相同結構，為我們構造函數提供了便利.利用函數比較大小，需要研究函數的單調性，f(x)+xf′(x)<0恒成立，正是函數單調性的導數表示.

解析令F(x)=xf(x)，則a=F(20.2)，b=F(logπ3)，c=F(log39)=F(2).

因為函數f(x)的圖象關于y軸對稱，

所以f(x)為偶函數，從而F(x)為奇函數.

又當x∈(-∞,0)時，F′(x)=f(x)+xf′(x)<0，

所以F(x)在(-∞,0)上單調遞減，在(0,+∞)上單調遞減.

顯然有，2>20.2>1>logπ3>0.

所以c

例4 (2021年湖北七市州聯考)已知函數f(x)是定義在區間(0，+∞)上的可導函數，滿足f(x)>0，且f′(x)+f(x)<0.若0

A.f(a)>(a+1)f(b)

B.f(b)>(1-a)f(a)

C.af(a)>bf(b)

D.af(b)>bf(a)

解析根據f′(x)+f(x)<0，聯想函數F(x)=exf(x).

因為F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]<0，

所以F(x)在(0，+∞)上單調遞減.

又0F(b).

即eaf(a)>ebf(b).

也即f(a)>eb-af(b).

所以函數g(x)在(0，1)上單調遞減.

則g(x)>g(1)=0.

所以af(a)>bf(b)，故選C.

2 構造函數解不等式

A.(-2,0)∪(0,2)

B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-2,0)∪(2,+∞)

D.(-∞,-2)∪(0,2)

故函數g(x)在(0,+∞)上單調遞減.

而g(1)=0，所以，當00，f(x)<0；

當x>1時，g(x)<0，f(x)<0.

從而，當x>0時，f(x)<0恒成立.

又函數f(x)為R上的奇函數，

所以，當x<0時，f(x)>0.

不等式(x2-4)f(x)>0可化為

解得x<-2，或0

例6 定義在R上的函數f(x)，對于任意實數x，都有f(x)>f′(x)，且f(x)+2021為奇函數，則不等式f(x)+2021ex<0的解集為____.

所以g(x)為R上的減函數.

又f(x)+2021為R上的奇函數，

所以f(0)+2021=0.

即f(0)=-2021.

不等式f(x)+2021ex<0可化為

即g(x)

根據函數g(x)的單調性，得x>0.

3 構造函數求值或取值范圍

解析令F(x)=exf(x)，則F′(x)=ex[f′(x)+f(x)]≥0.

故函數F(x)為R上的增函數，或者為常數函數.

又F(0)=e0f(0)=1，F(2)=e2f(2)=1，

所以F(x)=1.

所以g(x)在(0，+∞)上單調遞增.

易知h(x)在(0,+∞)上單調遞減.

4 構造函數解決恒成立問題中參數的取值范圍

分析對于含參不等式恒成立問題，一般考慮參變分離，如果參變分離很困難，一是考慮直接研究含參函數的性質；二是對不等式變形，若不等式的兩邊能分解成結構相同的兩部分，則可構造函數進行求解.

所以函數f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增.

所以a≥-e，即實數a的最小值為-e.

te2tx-ln2x≥0.

因為x>0，所以2txe2tx-2xln2x≥0.

即2txe2tx≥2xln2x=ln2x·eln2x.

令F(x)=xex，

上式可表示為F(2tx)≥F(ln2x).

因為F′(x)=ex+xex=ex(x+1)>0，

所以，函數F(x)在(0,+∞)上單調遞增.

因此，2tx≥ln2x對?x>0恒成立.

顯然，含參不等式恒成立問題，解題難度更大，要求學生有較強的變形能力，以及敏銳的洞察力，構造函數解決問題依然是核心.