線面關系的證明方法探究之“一找二作三證明”

周關保

(廣東省陽江市第一職業技術學校 529948)

立體幾何中，空間的線面關系有三種：平行、相交和線在平面內，其中，線面垂直是線面相交的一種特殊情況.縱觀歷年試題，發現立體幾何中考得最多的是證明“線面平行”及“線面垂直”的問題或需要轉化為這兩種關系再證明的題型.由此，線面平行及線面垂直的關系是立體幾何中證明題型的核心內容.

1 證明方法 “一找二作三證明”的剖析

“一找二作三證明”是筆者在教學實踐中總結的一種證明線面平行或線面垂直方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：

第一步，就是“一找”：(1)根據直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個平面內“找”出一條直線與已知直線平行即可.(2)根據直線與平面垂直的判定定理，要證明線面垂直，就要在此平面內“找”出兩條相交的直線分別與此直線垂直.其次是“一找”的原則：一是要“找”的都是線線平行或線線垂直，二是要在一個平面圖形中“找”.

第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行或線線垂直的關系，則進入 “二作”的程序.從三個方面去理解“二作”，第一方面，“作”就是作輔助線或輔助平面,有簡單的“作”或復雜的“作”；第二方面，每一次“作”的時候都要圍繞證明所需去“作”,要證平行關系就去“作”線線平行，要證垂直關系就去“作”線線垂直；第三方面，要把線線平行或線線垂直的關系“作”在一個平面圖形中.

第三步，就是“三證明”：經過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規范地寫出證明命題的整體過程.在“三證明”中要注意三點，第一，數學符號要標準，幾何語言表述要規范；第二，書寫要有層次性；第三，最后表述證明結果時要嚴格遵守判定定理的條件.

2 理解題意，運用“一找”

2.1 應用舉例

例1 如圖1，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB,AB1⊥B1C1．求證：AB∥平面A1B1C.

圖1

證明因為ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，

所以四邊形ABB1A1是平行四邊形.

所以AB∥A1B1.

又因為AB?平面A1B1C，A1B1?平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C.

評析本題直接運用“一找”就可以解決問題.閱讀完題目，直接在平面A1B1C內就可以找到A1B1∥AB，從而運用線面平行的判定定理證明，這種是顯性的證明題型.若要證明面面平行，則需轉化為兩次線面平行的證明，就要在其中一個平面內“找”兩條相交的直線分別與另一個平面內的兩條相交直線分別平行.

圖2

求證：AC⊥平面BEF.

證明連接BF，因為在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,所以四邊形ACC1A1是矩形.

又因為E，F分別是AC，A1C1的中點，

所以EF∥CC1.則EF⊥平面ABC.

因為AC?平面ABC，所以EF⊥AC.

在△ABC中，因為AB=BC，所以 △ABC是等腰三角形.

又因為E是AC的中點，所以BE⊥AC.

又因為EF，BE?平面BEF，且EF∩BE=E，

所以AC⊥平面BEF.

評析本題直接運用“一找”就可以解決問題.由已知能夠在平面BEF內找到直線EF、直線BE分別與直線AC垂直，從而運用線面垂直的判定定理證明.在此過程中，還運用了線面垂直的性質定理及等腰三角形的中線進行轉化，這也是要“找”的重要內容.

2.2 “一找”依據

2.2.1 線線平行的常見“找”法依據

(1)中位線的平行；

(2)平行四邊形的對邊平行；

(3)平行線的傳遞性；

(4)線面垂直的性質定理；

(5)面面平行的性質定理.

2.2.2 線線垂直的常見“找”法依據

(1)直角三角形：勾股定理；

(2)等腰或等邊三角形：底邊的中線(或頂角的平分線)與底邊垂直；

(3)矩形或正方形：兩鄰邊互相垂直；

(4)菱形：對角線互相垂直；

(5)圓：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；

(6)線面垂直的性質定理：若一條直線垂直于平面，則這條直線垂直于平面內的所有直線.

3 理清題意，運用“二作”

3.1 應用舉例

圖3

求證：PO⊥平面ABC.

即AB2+BC2=AC2.

所以△ABC是等腰直角三角形.

連接BO，且O為AC的中點，則BO=2.

即BO2+PO2=PB2.

所以PO⊥BO.

又因為AC，BO?平面ABC，且AC∩BO=O，

所以PO⊥平面ABC.

評析本題是證明線面垂直問題，要證明PO⊥平面ABC，就要在平面ABC內“找”兩條直線與直線PO垂直.由題意可知，PA=PC，點O為AC的中點，易知PO⊥AC；另一條直線就要進行“作”的操作了，再結合三棱錐的底面ABC可知，△ABC是一個等腰直角三角形，故需要連接BO，這樣輕易地“作”出了另一條所需的直線，再由線面垂直的判定定理證得結論.

3.2 “二作”小結

在“二作”中，恰當地“作”出滿足題意的輔助線或輔助面對解題帶來很大的便捷.對于一些復雜的題型，常常需要找到準確的切入點，運用“二作”構造輔助線或輔助面，快速地把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，從而打開證明思路.“二作”中常用的“作”法：中位線、對角線、中線、垂線、過特定點“作”平行線或垂線、構造輔助平面等.前面“一找”小結中所有的“找”法依據都可以運用.

4 綜合實踐，探析“一找二作三證明”

求證：平面AMD⊥平面BMC.

圖6

為了更好地運用“一找二作三證明”的證法，在“一找”中務必要記住“在同一個平面圖形中尋找兩線的平行關系或垂直關系”；在“二作”中要時刻關注著已知條件的特殊點、特殊線及特殊圖形，在同一個平面圖形中“作”出兩線的平行關系或垂直關系；在“三證明”中，要注意規范書寫證明過程，做到層次分明.立體幾何的學習有利于培養和發展學生的空間想象能力和邏輯推理能力，有利于提高學生的數學思維能力和數學遷移能力，有利于學生樹立轉化的數學思想.因此，教師在實際的教學中，要站在運用數學思想方法和思維方式的高度上來指導教學，有意識地滲透立體幾何所體現的各種數學思想，注意學生常犯的錯誤，加強對證明方法的訓練，嚴格要求學生運用規范的幾何語言書寫證明步驟.