一道三角形面積最值真題引發(fā)的探究

魏東升

(福建省廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū) 363107)

解三角形和三角函數(shù)、三角恒等變形等知識一樣，是高中數(shù)學(xué)中的一塊非常重要的內(nèi)容，在歷年的高考中一直是考查的熱點之一．筆者在一節(jié)“正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用”習(xí)題課中給出了一道2019年高考北京卷文科的真題，同學(xué)們出色的表現(xiàn)讓筆者感慨！為方便討論，筆者把探究過程整理如下.

1 試題再現(xiàn)

題目如圖1，A,B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，∠APB是銳角，大小為β，則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為( ).

A．4β+4cosβB． 4β+4sinβ

C．2β+2cosβD． 2β+2sinβ

圖1

2 試題解析

這是一道關(guān)于解三角形最值的問題，是選擇題中的壓軸題．主要考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，是一道不可多得的好題．

圖2

分析如圖2，設(shè)圓心為O，連接OA，OB,OP,AB,則∠AOB=2∠APB=2β.

記S弓形=S扇形OAB-S△AOB=4β-4sinβ·cosβ，

所以S陰影=S弓形+S△ABP，其中S弓形為定值.

所以當S△ABP最大時，S陰影最大.

對于S△ABP最值的求法，由于題設(shè)直接給出了外接圓半徑及相應(yīng)的圖象，因而運用數(shù)形結(jié)合思想計算S△ABP是最自然的選擇，但如果不給圖象，且把題目作如下改編：

△ABP中，AB=4sinβ，∠APB=β，則△ABP面積的最大值為____.

又該如何作答呢？筆者班上的學(xué)生見此變式甚為興奮，學(xué)生A快速地給出了如下作答：

解法1 由圖3可知，當AP=BP時，S陰影最大.

圖3

因為AB=4sinβ，此時

=4sinβ(1+cosβ).

通過外接圓解題無疑是最佳途徑．此法完全是“站”在剛才真題這個“巨人的肩膀”上作出的完美解答，但這在考場上并不容易想到，特別是在沒有“巨人”的幫助下．

這時，學(xué)生B和學(xué)生C分別給出了以下兩種思路：

解法2 假設(shè)邊PA,PB的長分別為b,a，在△ABP中,AB=4sinβ，由余弦定理,得

AB2=16sin2β

=16(1-cos2β)

=a2+b2-2abcosβ

≥2ab-2abcosβ

=2ab(1-cosβ).

即ab≤8(1+cosβ).

所以△ABP面積的最大值為4(1+cosβ)sinβ.

解法3 假設(shè)邊PA,PB的長分別為b,a，結(jié)合正弦定理,知

=8sinA·sinB·sinβ

=8sinβ·sinA·sin(β+A)

=8sinβ·sinA(sinβ·cosA+cosβ·sinA)

=4sinβ·[sin2A·sinβ+cosβ·(1-cos2A)]

=4sinβ·[cosβ-cos(2A+β)]

≤4sinβ·(cosβ+1).

所以△ABP面積的最大值為4(1+cosβ)sinβ.

解法2是在解三角形的余弦定理中巧妙地引入了均值不等式，利用了不等式的有界性，這是求二元最值的一種常見手法；解法3是把所求問題中關(guān)于邊的變量通過正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的變量，進而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

以上兩種解法實際是我們處理解三角形最值問題的常見方法，說明這兩位同學(xué)的基本功很扎實.就在我給學(xué)生B和學(xué)生C給予肯定話語時，學(xué)生D給我?guī)砹梭@喜：

AB2=16sin2β=a2+b2-2abcosβ，

消去b整理得到關(guān)于a2的二次方程

sin2β·a4-(16sin4β+4S·sinβ·cosβ)a2+4S2

=0.

要使該方程有意義，則判別式

△=(16sin4β+4S·sinβ·cosβ)2-16sin2β·S2

≥0，

從而得到S≤4(1+cosβ)sinβ.

所以△ABP面積的最大值為4(1+cosβ)sinβ.

解法4其實是把所求問題看作是方程的一個變量，利用二次方程有解，用判別式非負得到所求量的最值，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.我情不自禁地給學(xué)生D投去了贊許的目光.

“老師，我還想到了一種方法”，數(shù)學(xué)課代表E站了起來：

解法5 以圓心為原點建立如圖4所示的直角坐標系，其中A,B兩點關(guān)于y軸對稱.

圖4

在△ABP中,AB=4sinβ，經(jīng)計算可得

A(-2sinβ,-2cosβ)，

B(2sinβ,-2cosβ).

假設(shè)P(2cosα,2sinα),則

-(2cosα-2sinβ)(2sinα+2cosβ)|

≤4sinβ(1+cosβ).

所以△ABP面積的最大值為

4(1+cosβ)sinβ.

不愧是數(shù)學(xué)課代表，本法實際上是三角函數(shù)、解三角形和向量的綜合運用，其通過坐標很好地把三角形面積這個幾何問題進行代數(shù)化.更難能可貴的是，她還記住了剛學(xué)不久的三角形面積公式的坐標表示！同學(xué)們不禁為她出色的表現(xiàn)鼓起了掌…

解題往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條重要途徑，通過解題能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的深入理解，進而學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去解決不局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的生活中的許多問題．重視解題過程中的素養(yǎng)滲透，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生從追求解題到追求解決問題的思維轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)教師從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的導(dǎo)向轉(zhuǎn)變．從這個角度上來講，解題教學(xué)中的方法、手段和目的都顯得非常重要．