基于聯合優化技術的單臂行星架輕量化設計

張成標,闕洪軍,楊海師,張理偉

(重慶齒輪箱有限責任公司,重慶 402200)

0 引 言

行星架作為行星齒輪傳動中主要構件之一，承受其較大的外力矩，有較大的尺寸與質量，結構也比較復雜，且行星架的結構設計對各行星輪之間的載荷分配和傳動機構的承載能力、噪聲和振動等都有很重要的影響[1]。常見的行星架結構有雙臂整體式、雙臂裝配式和單臂式[2]。單臂行星架結構的齒輪箱對質量的要求相對苛刻，在傳統設計中，行星架多是憑經驗公式或材料力學經簡化模型而得出的公式進行設計，盲目性大，設計參數較為保守，造成行星架的尺寸、質量一般比較大[3]。因此，通過結構優化，在保證行星架結構剛度前提下，降低行星架質量有著十分重要的意義。

隨著拓撲優化理論的不斷發展與完善，拓撲優化技術被廣泛應用到工程中[3]。寧曉斌等[4]采用拓撲優化方法，對液壓挖掘機斗桿結構進行拓撲優化仿真，在保證強度的前提下降低了斗桿的質量。董惠敏等[5]以雙壁整體式行星架為研究對象，建立拓撲優化數學模型，應用有限元件對其進行拓撲優化，根據材料分布建立行星架的概念模型，并進行結構設計。

拓撲優化的目的是在給定的設計域內尋找最優的材料分布，但拓撲優化后會使其結構剛度小幅降低，因此需要通過擅長參數、尺寸優化方面的尺寸優化來彌補。張瑞等[6]采用拓撲優化與尺寸優化相結合的方法，進行隔爆型接線蓋加強筋優化設計，確定最優加強筋筋型。李修峰等[7]以氣瓶支架結構減重為目標，運用拓撲優化獲得支架的基本構型，然后對支架主要特征參數進行尺寸優化，確定較為合理的截面尺寸，最后驗證設計的合理性。

筆者以單臂行星架為對象，基于有限元軟件通過聯合優化技術的方法，先將行星架臂板結構進行拓撲優化，后調整行星架臂板厚度尺寸，對其尺寸優化調節，對比各組行星架模型后，選擇最佳模型，在滿足行星架剛度不變的前提下，實現單臂行星架結構的輕量化。

1 聯合優化的數學模型

1.1 結構拓撲優化的數學模型

結構拓撲優化是指在限定的給定邊界條件的設計空間中，通過一定的優化方法，找到滿足設計約束和設計目標的最佳結構。拓撲優化的方法很多，文中采用工程上常用的基于相對密度分布的拓撲優化方法進行行星架的優化設計，優化目標為最小柔度[9-10]。

相對密度法是一種常用的拓撲優化方法，其原理是假想設計區域的密度在0～1之間是可變的，與初始材料密度存在非線性關系；同樣道理，彈性模量也是如此。

構建材料的密度和彈性模量的數學模型:

ρ(x)=xeρ0

(1)

(2)

式中：ρ0為材料的初始密度；E0為材料的初始彈性模量；xe為單元的相對密度；p為剛度懲罰因子。

則以最小柔度為目標函數的拓撲優化數學模型為：

(3)

(4)

KU=F

(5)

0≤xmin≤xe≤1

(6)

式中：U為總體位移矩陣；K為總體剛度矩陣；Ue為單元位移矩陣；Ke為單元剛度矩陣；N為單元數量；f為體積分數。

1.2 尺寸優化的數學模型

尺寸優化的實質就是求解滿足約束條件下的自變量構造函數的最小值問題，約束變量也稱為狀態變量，為自變量的函數，尺寸優化數學模型一般形式為：

目標函數：

min：f(X),X=[x1,x2,…xn]T∈Rn

(7)

狀態變量：

gu(X)≤0,u=1,2,…,m

(8)

hv(X)≤0,v=1,2,…,n

(9)

2 行星架聯合優化

文中基于有限元軟件對行星架結構聯合優化，圖1為行星架聯合優化流程圖，首先對初始幾何模型進行拓撲優化，根據保留的體積分數不同，需要進行多次拓撲優化，然后根據各組拓撲優化結果建議對應的幾何模型，對幾何模型進行結構分析，并將行星輪軸的撓度與初始模型對比，研究拓撲優化后撓度變化規律；然后對行星架臂板厚度進行尺寸優化，使其行星輪軸撓度降低到拓撲優化前的水平，得到的6組行星架幾何模型，在這6組幾何模型中篩選出最合理的模型作為最終模型。

圖1 行星架聯合優化流程圖

2.1 行星架臂板的拓撲優化

2.1.1 優化區域的選取

由于行星輪軸與行星架采用過盈配合，且之前存在軸向定位面，所以行星架的行星輪安裝孔周圍需要留出非優化區域，以保證行星輪軸與行星架連接的可靠性。行星架臂板的優化區域如圖2所示。

圖2 行星架臂板優化區域

2.1.2 優化變量的設置

優化區域保留材料的體積分數從30%～80%分6個程度，為保證三個行星輪軸位置一樣的優化結果，添加循環對稱的約束條件；為保證行星架臂厚度方向優化結果的一致性，故采用殼單元進行拓撲優化分析；如圖3所示。

圖3 行星架邊界條件施加

采用節點耦合的方式對行星架加載，加載位置為行星輪軸承中心，約束行星架輸出內孔的全部自由度。為了解決拓撲優化結果存在多孔材料分布問題，將剛度懲罰因子設置為p=3[11]。

2.1.3 優化后的模型

圖4為不同優化程度下的材料密度分布云圖，可以看出，隨著保留材料的體積分數降低，行星輪孔間區域材料密度接近于零的越來越多。通常，材料相對密度大于0.6的區域要被保留，小于0.4的區域要被舍棄，0.4～0.6為過渡區域。

圖4 不同優化程度的材料密度分布

2.1.4 優化后模型分析

根據2.1.3節的拓撲優化結果，去除材料相對密度小于0.6的區域，并光順邊緣區域，構建各個優化程度下的幾何模型，并將行星輪軸裝配到行星架上，如圖5所示；未優化前的幾何模型如圖6所示，為了便于對比，將其體積分數定為f=1。

對各行星架有限元模型施加相同的邊界條件進行分析，行星架與行星輪軸配合為0.036 mm，各行星輪軸上軸承安裝位置施加軸承載荷15 158 N，約束行星架輸出內孔的全部自由度，求解完成后，提取行星輪軸軸線的撓度。

圖7為不同體積分數拓撲優化后的行星輪軸撓度曲線，可以看出，與優化前結果(f=1)對比，拓撲優化后行星輪軸撓度是增加的，并且隨著拓撲優化保留材料的體積分數的降低，行星輪軸的撓度是逐漸變大，且最大撓度的變化梯度也是逐漸增大的，如圖8所示。

圖5 拓撲優化后行星架組件

圖6 原行星架組件f=1

圖7 不同體積分數拓撲優化后行星輪軸撓度曲線對比

2.2 尺寸優化

通過前文知道，拓撲優化后，行星架的剛度有所降低，故本節通過對行星架臂板厚度尺寸優化，使各個優化程度下的撓度值達到拓撲優化前的水平。

2.2.1 優化變量設置

以拓撲優化后的行星架組件的體積為目標函數；以行星架臂板的厚度為設計變量，由于拓撲優化后行星輪軸撓度增大，所以臂板厚度采用向上搜索的方法進行；以行星輪軸撓度值不超過拓撲優化前行星輪軸撓度值為狀態變量；采用目標函數最小化方法進行尺寸優化。

圖8 不同體積分數拓撲優化后的行星輪軸最大撓度

2.2.2 尺寸優化結果匯總

各組行星架均得到滿足條件的最合理的厚度值，各行星架臂板尺寸優化后厚度值如表1所列，表中f為模型拓撲優化時的體積分數，f=1表示為未經任何優化的初始模型；H為尺寸優化后的臂板厚度。

表1 尺寸優化后的行星架臂板厚度

圖9為各體積分數的模型要達到初始模型的撓度值時，臂板需增加的厚度值，可看出，拓撲優化保留材料體積分數越低，想要達到初始模型的剛度，行星架臂板需要增加的厚度越大；還可看出，隨著拓撲優化保留材料體積分數的越低，曲線的斜率絕對值越來越大，這表明，拓撲優化保留材料體積分數的越低，通過增加臂板厚度補償剛度損失變得越來越難。

圖9 不同體積分數的行星架臂板厚度增加量

2.3 最終模型

在2.1節中利用拓撲優化可以降低行星架的質量，在2.2節中為了讓行星架達到初始模型的剛度進行了尺寸優化，增加的行星架的質量。圖10給出了6組行星架模型經過聯合優化后的質量變化曲線，通過曲線可以看出，拓撲優化體積分數取0.5時，再配合尺寸優化，使行星架剛度達到初始模型，可以使行星架的最終模型質量降到最低。聯合優化后的最佳模型如圖11所示。

圖10 各組行星架組件聯合優化后的質量

圖11 聯合優化后的行星架組件最佳模型

3 結 語

文中通過拓撲優化和尺寸優化相結合的方法進行了行星架的輕量化設計，確定了最合理的優化路線，即：先進行保留體積分數為0.5時的行星架臂板拓撲優化，獲得最佳的材料分布，拓撲優化后建立行星架組件的幾何模型，以最小化行星架組件體積為目標，以行星輪軸剛度為狀態變量，以行星架臂板厚度為設計變量，最后得到行星架臂板厚度為61.6 mm。此時行星架組件質量為45.727 kg，初始行星架組件質量為59.085 kg，通過聯合優化，在滿足行星架剛度不變的前提下，行星架組件的質量降低了22.6%，取得了顯著的減重效果。