巧用換元法 妙證不等式

王 寵 陳 超

(中國人民大學附屬中學豐臺學校)

在證明不等式的過程中,將不等式中的變量進行適當代換,使不等式得以證明,這種方法稱為不等式證明中的換元法.不等式證明中的換元法是換元思想的重要體現.

換元法沒有固定模式,常用的方法是三角換元法和代數換元法,其中三角換元法有一定的規律性.若問題中含有“x2＋y2＝r2,x2＋y2≤r2,”,可以考慮用“sinα,cosα”進行代換,尤其是r＝1時,這樣代換的優勢更為明顯,進行這些代換的理論依據是sin2α＋cos2α＝1以及圓x2＋y2＝r2的參數方程為y＝rsinα,x＝rcosα;若問題中含有“|x|≤a”,可以考慮設“x＝asinα”或“x＝acosα”,其理論依據是|sinα|≤1,|cosα|≤1;類似地,對于“和“”可分別進行“x＝rtanα”和“x＝rsecα”代換.需要特別指出的是,當時,tanα可取全體實數,所以tanα可以代換任意實數.

對于代數換元法,雖然它的規律性不像三角換元法那么強,但是也有一些可以遵循的規律.如果題目中出現類似“已知a＞b＞c＞0”的條件,這時可以令x＝a－b,y＝b－c,z＝c,從而將原來關于a,b,c的式子轉化為關于x,y,z的式子,并且此時x,y,z只需為正實數即可.如果題目中出現類似“a,b,c是三角形的三邊”的條件,此時可以令x＝,從而得到a＝y＋z,b＝x＋z,c＝x＋y,并且此時x,y,z只需為正實數即可.

盡管換元法沒有固定的模式,但有一個原則是必須遵守的,那就是進行變量代換時,新變量的變化范圍必須確保原來變量的變化范圍不發生變化,這是換元法的重點,也是難點.下面結合一些具體的題目,談一談換元法在不等式證明中的應用.

例1求證:函數f(x)＝在x∈[0,1]上的最小值是1,最大值是

分析看到x和,注意到二者的平方和等于1,所以可以進行三角換元,令x＝cosα.因為題中要求x∈[0,1],所以α∈[0,],從而sinα,那么接下來就需要利用三角函數的相關知識來處理問題了.

證明令x＝cosα,α∈那么sinα,從而

例2已知x2＋y2≤1,求證:

分析x2＋y2≤1可理解為它所確定的平面區域為圓形區域{(x,y)|x2＋y2≤1},這樣的x和y可以表示為x＝rcosα,y＝rsinα,其中r∈[0,1],α∈[0,2π).

證明令x＝rcosα,y＝rsinα,其中r∈[0,1],α∈[0,2π).于是

例3已知0＜x＜1,求證:

分析注意到當0＜x＜1時,0＜1－x＜1,并且x＋(1－x)＝1.聯想到sin2α＋cos2α＝1,作變換x＝cos2α或sin2α,簡化運算.

證明考慮到0＜x＜1,令x＝sin2α,α∈(0,,則1－x＝cos2α,從而

例4已知|x|≤2,求證:|3x－x3|≤2.

分析由|x|≤2,可知||≤1,因此可以考慮對作“sinα,cosα”代換.

證明考慮到|x|≤2,令x＝2sinα,α∈[0,2π).從而

2|3sinα－4sin3α|＝2|sin3α|≤2.

例5已知a＞b＞c,求證:

分析因為a－c＝(a－b)＋(b－c),并且a＞b＞c,這時可以考慮設x＝a－b,y＝b－c,此時x和y均為正實數.

證明因為a＞b＞c,所以a－b＞0,b－c＞0,a－c＞0.令x＝a－b,y＝b－c,則x＞0,y＞0,并且a－c＝x＋y.從而原不等式轉化為即(x＋y≥4,亦即≥4.

而上述不等式成立是顯然的,并且當且僅當x＝y,即2b＝a＋c時取等號.

綜上,原不等式成立.

補充本題所證結論可推廣為一般情形:若n∈N,n≥2,a0＞a1＞a2＞…＞an,則

例6已知a,b,c是三角形的三邊長,求證:

而上述不等式成立是顯然的,并且當且僅當x＝y＝z,即a＝b＝c時取等號.

綜上,原不等式成立.

例7已知a,b,c為正實數,并且滿足a2＋b2＋c2＝1,求證:

分析注意到待證不等式形式較為復雜,考慮通過代數換元簡化其形式.

證明令.因為a,b,c為正實數,所以x＞0,y＞0,z＞0,并且a2＝xz,b2＝xy,c2＝yz,因此xz＋xy＋yz＝1.從而原不等式轉化為x＋y＋z≥,而上述不等式成立是顯然的.事實上,有

綜上,原不等式成立.

例8已知a,b,c為正實數,求證:的最小值為

分析對于分式,通過換元可以使分母的形式變得簡單,這樣處理起來會方便很多.

證明令x＝a＋2b＋c,y＝a＋b＋2c,z＝a＋b＋3c.因為a,b,c為正實數,所以x＞0,y＞0,z＞0,并且a＝5y－x－3z,b＝x＋z－2y,c＝z－y.從而

綜上,命題得證.

例9求證:

分析由于a∈R,所以可以考慮利用公式1＋tan2α＝sec2α換元.式中里面的“4”提示我們可以令a＝2tanα.當然,本題也可以用代數換元法來證明.

由函數的相關知識可知函數f(t)＝t＋在[2,＋∞)上單調遞增,所以當t＝2時,f(t)有最小值為.因此原不等式成立.

通過以上幾道例題,相信大家對利用換元法證明不等式有了一個較為籠統的認識.在利用換元法證明不等式的過程中,我們要善于觀察,通過引入新的變量,對題目進行轉化,使隱含的條件顯露出來,將已知和結論關聯起來,以便迅速找到解題思路.不等式的證明方法繁多,只有不斷總結和思考,才能融會貫通.

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(完)