反證法及其應用

彭長軍

(甘肅省嘉峪關市第二中學)

1 概念剖析

1.1 定義

反證法是從要證明結論的否定出發,以有關的定義、公理、定理為依據,結合命題的條件進行推理,直到推出矛盾,從而斷定命題結論的否定不能成立,也就斷定了命題成立.

1.2 反證法的基本思想

反證法的基本思想是否定結論就會導致矛盾,它可以用下面的程序來表示:

“否定”——假設所要證明的結論不成立,而結論的反面成立.

“推理”——從已知條件和假設出發,引用一系列的論據進行推理.

“矛盾”——通過推導,推出與實際不符,與公理、定理、定義、題設等矛盾.

“肯定”——由于推理過程正確,故矛盾是由假設所引起的,因此假設是錯誤的,從而肯定原結論是正確的.

1.3 反證法的步驟

否定結論—推出矛盾—否定假設—肯定結論,其中推出矛盾是關鍵.

1.4 應用反證法的原則

正難則反,即如果一個命題的結論難以直接證明可考慮用反證法.

1.5 宜用反證法證明的命題

適合用反證法的常見題型:1)易導出與已知矛盾的命題;2)一些基本定理;3)“否定性”命題;4)“唯一性”命題;5)“必然性”命題;6)“至少”“至多”型命題.

1.6 需要注意的兩點

1)反證法與分析法的區別.

分析法是從命題的結論出發,尋求使結論成立的(充分)條件;而反證法則是從結論的反面出發,推出矛盾.

2)應用反證法證明命題時,反設必須恰當,如“都是”的否定是“不都是”,“至少一個”的否定是“不存在”等.

在這里,我們也要把反證法和證明命題的“逆否命題”為真命題區分開來,兩者都是從“否定”結論開始,但證明命題的“逆否命題”為真命題時是從結論的否定出發,經過推理,推出條件的否定,如證明命題“若x2＋y2＝0,則x＝y＝0”時,可以證明它的逆否命題“若x,y中至少有一個不為0,則x2＋y2≠0”.此時,顯然要從結論的否定出發,即若x,y中至少有一個不為0,不妨設x≠0,則x2＞0,所以x2＋y2＞0,即x2＋y2≠0.于是命題得證.

2 典例剖析

2.1 結論是肯定型命題的證明

例1若a,b是自然數,且a與b的積是奇數,用反證法證明a與b都是奇數.

證明假設a,b不都是奇數,則a,b中必存在著偶數,不妨設a為偶數,則ab必為偶數,這與題設ab為奇數相矛盾,故a與b都是奇數.

【跟蹤訓練】若p∈Z,且p2是偶數,求證:p也是偶數.

證明假設p是奇數,則p＝2k－1(k∈Z),所以p2＝4k2－4k＋1為奇數,這與p2是偶數矛盾,故p是偶數.

例2已知函數f(x)在R 上單調遞增,a,b是實數,證明命題“如果f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b),那么a＋b＞0”.

證明假設a＋b≤0,即a≤－b,則由f(x)在R上單調遞增,知f(a)≤f(－b),同理,f(b)≤f(－a),所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b),這與已知條件f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)矛盾,故原命題成立.

例3已知p＞0,q＞0,且p3＋q3＝2,求證:p＋q≤2.

證明假設p＋q＞2,則p＞2－q,p3＞(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3,所以p3＋q3＞6q2－12q＋8,即2＞6q2－12q＋8,q2－2q＋1＜0,亦即(q－1)2＜0,這與(q－1)2≥0矛盾,故p＋q≤2.

【跟蹤訓練】若a＞0,b＞0,a3＋b3＝2.求證:a＋b≤2,且ab≤1.

證明假設a＋b＞2,則a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＞2(22－3ab),即2＞2(4－3ab),所以

另一方面,2＝a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)≥(a＋b)(2ab－ab)＝(a＋b)·ab＞2ab,所以

顯然,①與②矛盾,故a＋b≤2.

假設ab＞1,則

因為a3＋b3＝2,所以(a＋b)3－3(a＋b)－2＞0,即

所以(a＋b＋1)[(a＋b)2－(a＋b)＋1]－3(a＋b＋1)＞0,所以(a＋b＋1)[(a＋b)2－(a＋b)－2]＞0,從而(a＋b＋1)2(a＋b－2)＞0,a＋b＞2,這與a＋b≤2矛盾,所以假設不成立,故ab≤1成立.

綜上,a＋b≤2,且ab≤1.

例4已知定義在實數集R 上的函數f(x),對任意x,y都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)成立,且方程f(x)＝0存在最小正根c.求證:

(1)f(0)＝1,且f(x)是偶函數;

(2)|f(x)|≤1.

證明(1)令x＝y＝0,得f(0)＝[f(0)]2,所以f(0)＝0 或1.若f(0)＝0,則?x＞0,y＝0,有2f(x)＝0,即f(x)＝0,則f(x)無最小正根,則0為方程f(x)＝0的根,這與方程f(x)＝0存在最小正根c矛盾,所以f(0)≠0,故f(0)＝1.又令x＝0,得

即f(－y)＝f(y),所以f(x)是偶函數.

(2)當x＝y時,f(2x)＋f(0)＝2f2(x),即f(2x)＝2f2(x)－f(0)＝2f2(x)－1,又f(c)＝0,于是,假設存在實數x0使得|f(x0)|＞1,則逆用對應法則,有

又由f(c＋x0)＋f(c－x0)＝2f(c)f(x0)＝0,得f(c＋x0)＝－f(c－x0),所以

這與上式矛盾.故對任意x∈R,都有|f(x)|≤1.

2.2 結論是否定型命題的證明

A.有3個 B.有0個

C.至少一個 D.至多一個

例7已知a,b,c都是小于1 的正數,求證:(1－a)b,(1－b)c,(1－c)a不能都大于

由a,b,c成等差數列,得

例9等差數列{an}的前n項和為Sn,a1＝1＋S3＝9＋

(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn;

(2)設bn＝,求證:數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.

例10直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓Wy2＝1相交于A,C兩點,O是坐標原點.

(1)當點B的坐標為(0,1),且四邊形OABC為菱形時,求AC的長;

(2)當點B在W上且不是W的頂點時,證明:四邊形OABC不可能為菱形.

(1)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB互相垂直且平分.于是可設A(t,),代入橢圓方程,得＝1,即t＝,所以

(2)假設四邊形OABC為菱形,則AC⊥CB,因為點B不是W的頂點,所以k≠0.由

消y并整理,得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.

2.3 結論中含有“至少”或“至多”型命題的證明

例11已知函數f(x)對其定義域內的任意兩個實數a,b,當a＜b時,都有f(a)＜f(b),證明:函數f(x)至多有一個零點.

證明假設函數f(x)有兩個不同的零點x1,x2,且x1＜x2,則由零點的定義,知f(x1)＝0,f(x2)＝0,所以

又由題設條件知,當x1＜x2時,有f(x1)＜f(x2),這與式①矛盾,因此假設不成立,故函數f(x)至多有一個零點.

例12設有實系數二次方程ax2＋2bx＋1＝0與cx2＋2dx＋1＝0,若a,bd,c成等差數列,求證:上述兩個方程中至少有一個方程有實根.

證明假設兩個方程都無實根,則

且Δ2＝4d2－4c＜0,即a＞b2,且c＞d2,則

由a,bd,c成等差數列,得a＋c＝2bd,這與式①矛盾,因此假設不成立,故原命題得證.

例13若實數b1,b2,c1,c2滿足b1b2＝2(c1＋c2),求證:實系數一元二次方程x2＋b1x＋c1＝0和x2＋b2x＋c2＝0中至少有一個方程有實數根.

【跟蹤訓練】(1)設實系數二次方程ax2＋bx＋c＝0與dx2＋ex＋f＝0,且ac,be,df成等比數列,求證:上述兩個方程中至少有一個方程有實根.

(2)已知a≥－1,求證x2＋4ax－4a＋3＝0,x2＋(a－1)x＋a2＝0,x2＋2ax－2a＝0這三個方程中至少有一個方程有實數根.

例14設f(x)＝2x2＋ax＋b,求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個不小于1.

證明因為f(1)＝a＋b＋2,f(2)＝2a＋b＋8,f(3)＝3a＋b＋18,設

假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1,則

由f(3)＝2f(2)－f(1)＋4,得f(1)－2f(2)＋f(3)＝4,而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)－2f(2)＋f(3)|＝4,這與①矛盾,所以假設不成立,故原不等式成立.

注本例也可這樣得到矛盾:假設|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1,則f(1),f(2)∈(－1,1),所以f(3)＝2f(2)－f(1)＋4∈(1,7),這與假設|f(3)|＜1矛盾,所以假設不成立,故原不等式成立.

2.4 結論是判斷或確定型命題的證明

例16(2021年浙江卷8)已知α,β,γ是互不相同的銳角,則在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三個值中,大于的個數的最大值是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

例17如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值,試判斷△A2B2C2的形狀.

由條件知,△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0,所以△A1B1C1是銳角三角形.

假設△A2B2C2是銳角三角形,則由

3 小結

反證法是從結論的反面出發,即假設命題不成立(在原命題的條件下,結論不成立),經過一系列正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立.

當一個命題用直接法不易證明時,可考慮用反證法,尤其是結論中出現“至多”“至少”“唯一”或結論是否定形式的命題,最適宜用反證法證明.

用反證法證明命題的關鍵是:在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是與已知條件矛盾,與假設矛盾,與定義、公理、定理矛盾,與自身矛盾,與事實矛盾等,但推導出的矛盾必須是明顯的.

用反證法證明命題時,第一步否定結論必須恰當,這是證明命題的出發點,在這個基礎上,經過推理推出矛盾是關鍵.否定結論的實質就是假設結論的反面成立,為了能更好地否定結論,我們必須要熟記一些常見的否定表示(如表1).

表1

(完)