變截面柔性機械臂固有頻率測定方法研究

夏瑞強，任 豪，梁開旭

(長安大學工程機械學院，陜西 西安 710064)

0 引言

為了增加剛度，傳統的機械臂尺寸較大，導致其不能應用于輕量化、高靈活性、高精度的場合。為了滿足各行業的實際需求，并實現機械臂功能的多樣化，現在越來越多的機械臂采用變截面結構和具有柔性的材料。與剛性機械手相比，柔型機械臂具有更高的速度、更好的能量效率、更高的機動性和更高的有效載荷與臂重比等優點。同時，變截面結構在滿足了機械梁臂承載能力的前提下，較好的實現了結構內部優化，減輕了重量，節省了材料和成本[1-5]。然而，變截面柔性臂是一個復雜的分布參數系統，具有高度耦合性，這就使得其系統變得非常復雜，特性參數難以確定。因此本文以航空鋁材變截面柔性機械臂為研究對象，建立數學模型，并對其固有頻率測定方法進行研究。

1 柔性機械臂動力學建模

針對機械臂的建模研究一般都將機械臂等效為變截面梁[4]，同時變截面梁材料具有等效果的柔性，使得變截面梁滿足機械梁臂的承載能力的同時，降低了系統的重量，增加了靈活性，減少了成本。

由振動力學[11]可得本文的研究對象屬于歐拉-伯努利梁，其橫向自由振動微分方程為：

(1)

其中，變截面機械臂中橫截面積A(x)和截面慣性矩I(x)是隨長度x變化的函數[6]，EI表示臂的抗彎剛度。

(2)

將機械臂的運動簡化為如圖1所示的[8]運動模型，則由數學知識可知臂上任意一點的坐標可表示為：

(3)

則可得到系統的動能T和勢能V分別為：

(4)

(5)

式中：In為旋轉中心轉動慣量，E為彈性模量，L為臂長，ρ、A分別為機械臂材料密度和橫截面積，θ為柔性機械臂的旋轉角度。

應用Lagrange動力學方程可得：

(6)

式中：u為廣義力向量；qi為廣義位置向量，L=T-V。

聯立上式可得動力學方程為[9-10]：

(7)

式中：σi為模態阻尼系數，Wi(l)為形狀函數。

2 微元法求解固有頻率

由上述可得變截面柔性臂橫向自由振動微分方程以及動力學方程，且由高等數學微分方程求解可設：

y(x，t)=Y(x)M(x)

(8)

Y(x)=Asinφ+Bcosφ+Csinhφ+Dcoshφ

(9)

為了方便解出該四階自由振動微分方程，采用微元法將變截面機械臂劃分為無數個近似等截面小段，如圖2所示[5]，則單位長度的彎曲剛度和線密度表達式如下[1]：

(10)

此時，梁上第i段自由振動的方程為：

(11)

由公式(8)、公式(9)可知：

yi(x，t)=Yi(x)Mi(x)

(12)

Yi(x)=Aisinφ+Bicosφ+Cisinhφ+Dicoshφ

(13)

聯立上式可得：

(14)

由于采用微元法將機械臂分成n個小段，當n足夠大時，每個小段可近視看成等截面機械臂，并且相鄰兩個小段在邊界處的各項參數近似相等，故有：

Yi(xi)=Yi+1(xi+1)

(15)

本論文研究的航空鋁材機械臂屬于懸臂結構，則在x=0，x=L處分別有：

(16)

(17)

將式(15)轉換成矩陣形式[5]有：

(18)

聯立上式即可得到：

MiHi=Hi+1

(19)

其中：

Hi=[AiBiCiDi]T，

Hi+1=[Ai+1Bi+1Ci+1Di+1]T

(20)

式中，Mi為中間的傳遞矩陣，Hi和Hi+1為臂上第i段和第i+1段臂之間的待定系數向量。

聯立上式，并結合邊界條件公式(16)、公式(17)即可求得固有頻率。

以本論文研究對象航空鋁材柔性機械臂為例進行計算，材料參數如表1所示[8]，結合上述方法以及邊界條件即可求得前三階固有頻率分別為4.892 Hz、26.321 Hz、70.546 Hz。

表1 航空鋁材機械臂各項參數

3 機械臂固有頻率測定

對于比較簡單的運動系統，一般會利用牛頓第二定律法、動量距定理法、拉格朗日法和能量守恒法等方法求其固有頻率。求解方法通常都是對系統進行分析得出系統的微分方程，求解該方程所對應的特征方程的特征根，得到系統的固有頻率。本章節首先通過衰減曲線法利用實驗平臺測其固有頻率，然后利用ANSYS Workbench進行仿真驗證研究。

3.1 影響固有頻率的因素

一般將柔性機械臂的彈性動力學方程表述為如下形式[7]：

(21)

對式(21)求解，由振動力學[11]和數學知識推導可知，固有頻率的表達式如下：

|F2E-M-1K|=0

(22)

式中：F為固有頻率，E為單位矩陣。

由公式(22)可知，質量矩陣M和剛度矩陣K決定了其系統的各階固有頻率，質量矩陣M與研究對象的材料參數和幾何參數相關，而剛度矩陣K與材料本身的慣性矩、橫截面積、彈性模量等物理性質以及本身的幾何形狀有關，而與本身受力和支撐情況無關。因此，柔性機械臂的這些因素決定了其固有頻率的大小。

3.2 振動-衰減曲線法測固有頻率

系統的固有頻率是指系統在受迫而產生運動時產生的共振頻率，因此，對臂施加外力，使其產生受迫運動，然后采用NI CRIO-9046嵌入式控制器和NI9237采集卡組成的數據采集系統將應變片上的應變數據利用串口通訊的方式傳遞到上位機。利用Labview控制軟件將其變化波形實時顯示，并將實時數據保存，如圖3所示，之后利用Matlab軟件對采集到的數據進行處理后，對處理后的數據進行快速FFT變換，即可得到柔性機械臂相應的固有振動頻率，如圖4所示，前三階固有頻率分別為4.883 Hz、26.07 Hz、70.69 Hz。

3.3 仿真驗證

利用有限元仿真軟件ANSYS對上文利用微元法的計算值以及實驗測出的固有頻率值進行仿真驗證。首先打開Workbench中的模態分析Modal模塊，如圖5所示。由表1 可知本文研究的航空鋁材機械臂各項參數，然后依據各項參數在Engineering Data模塊設置材料屬性，如圖6所示。在Geometry中建立模型。然后對其進行網格劃分、施加相應的固定約束，最后進行各階固有頻率的分析，分析結果如圖7所示，前三階的固有頻率分別為5.0995 Hz、26.692 Hz、70.849 Hz。

由以上方法得出變截面柔性機械臂固有頻率，結果如表2。經實驗和仿真得到的固有頻率，與利用微元法計算的值相比誤差均在5%以內，表明所用方法的正確性。

表2 固有頻率計算結果(單位：Hz)

4 結論

本文以航空鋁材變截面柔性機械臂為研究對象，首先建立了動力學模型并基于微元法對其固有頻率進行計算，求出前三階固有頻率，并分析影響固有頻率的因素，然后利用實驗的仿真微元法求出的值進行驗證，數據表明方法的正確性。