用先進思想促進高中生數學解題能力的發展
——以數形結合為例

王 莉

(江蘇省海安市實驗中學 226699)

數形結合可以說一方面屬于一種數學思想，而又是一種比較典型的、有突出實用價值的解題方法，它可以讓學生在解題期間，比較自然地擁有抽象與形象思維，并使二者有機結合.在針對高中生的解決數學問題指導期間，教師需要有意識地使用數形結合思想，則可使之依附于具體的問題，實現學生解題效率提升的目標.

1 數形結合思想的解題能力發展重要性

1.1 保持學生的解題熱情

高中數學問題有時本身過于枯燥，其抽象性與邏輯性特征，讓相當一部分學生出現手足無措之感.然而正所謂萬變不離其宗，只要使學生了解數、形這兩種數學基本概念，并使其對立與統一的關系被靈活應用，則不但解題時的瓶頸被突破，而且還可以讓學生更加輕松與高效地應對問題處理任務，從而讓學生體會到問題中的數學知識呈現之靈活性，并以生動有趣的視角，將這種靈活性在解題過程中還原出來.

1.2 發展學生的解題能力

高中代數問題之中，“形”的建立有越來越廣闊的應用空間，而幾何問題之中，“數”的運算也有越來越深入的應用機會，二者的有機結合，實際上給學生的數學應用能力提出了更為嚴格的要求.教師借此機會，進行數和形快速、合理轉化思想的嘗試，以及構建更為直觀數量關系的思考，可對發展學生解題能力提供平臺支持.學生將在轉化數量關系期間，同步感受到“數”的運算功能與“形”的直觀功能，讓二者的完美結合更好地服務于自我解題時的推理、演算、總結及歸納工作，從而保證數學問題的完美解決.

1.3 拓展學生的思維能力

高中數學課程改革所提要求中，涉及到教師教學時需持續進行學生發散思維能力開發的努力，關注學生創造思維能力等方面的內容，以及對學生數學核心素養加以培養的內容.若教師忽略數學思維方面的訓練，只注意問題解決及考試技巧，那么解題指導過程難免會陷入于不利的境地，使學生的創造性與創新性思維被局限.為此，教師需要意識到引入數形結合觀念的價值，使之在解題期間，因生動和靈活等特點，為學生帶來全新的思維體驗，受此影響，學生會掌握數與形的構建，還有融抽象數學問題于形象化處理情境的有效策略，從而激發自身數學學習的大量潛在能力.

2 數形結合思想促進解題能力發展的原則

在面對比較具體的數學問題時，若學生達到對于問題題干的合理分析要求后，便可以以直接或者間接的方式，將數學知識朝圖形角度轉化與調整，并使這種轉化過程變為問題解決的途徑，而教師在此期間則應將數形結合觀念滲入工作做好，以確保學生得以更順利地整合形和數的關系，實現高效解題的目標.在此過程中，師生應當共同遵守如下幾個原則.

2.1 等價原則

所謂等價原則，即運用數形結合思想時，需要保證題目之中的條件和關系，在利用外形呈現時，不會出現背離和偏差，始終以精細化的態度加以處理.如果違背這一原則，學生將有可能在賦形時，變化題目條件內容，如擴大或者縮小定義域、值域等，從而導致結果的失之毫厘，謬以千里.

2.2 雙向原則

雙向原則即在應用數形結合思想時，應當始終保持以形助學，用數解形的基本態度.一般來講，即需要學生從兩個角度關注問題，而并不是僅于單一方面展開努力，從而防止在解題時誤入錯誤渠道.對于相當一部分高中數學題目來講，它們通常都有復雜化和綜合化的傾向，這便要求學生要利用圖形和運算的同步認知來帶動題目的處理.

2.3 簡化原則

數形結合思想的應用，從本質上講，其宗旨在于讓數學問題變得更加簡單.若以數形結合思想為指導，并對具體操作模式進行調整后，未能讓數學題變得更簡單，甚至出現了趨于復雜化的傾向，那定然是解題出現了問題.例如在方程求解時有漏洞，或者圖形展示時有不足，這種非但不能解決問題反而制造了新問題的做法是不可取的.

2.4 實用原則

數形結合思想在解題時的使用，目的在于解題，所以無論教師還是學生，在啟用本思想時，需要保證實用性原則的自始至終貫徹，也就是只有在滿足實踐需求的指引下，才能使數和形相結合，所以，在難度不是特別大，或者內容不適宜的情況下，應當避免該思想及對應方法的使用.

3 數形結合思想促進解題能力發展的方向

3.1 集合問題

當面對集合問題時，借鑒數形結合思想，具有內容和方法上的便利性.例如下題：已知集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|(x+1)(x-5)≤0}，試求A∩B.針對這個問題，學生可先化簡集合，再于數軸內把集合A、B所表示的區域繪制出來，接下來找到公共區域值，得出A∩B={x|-1≤x<2或3

3.2 統計問題

在進行統計相關知識教學時，高中數學教師時常需要讓學生依據實際給出的數據，判斷各變量間的實際聯系，而學生若面對計算量極大的數據時，采用逐個展開計算的辦法，很顯然會影響到解題效果，同時使其畏難、抵觸心理升溫.這時教師如果借助數形結合的思想，則能夠助力學生產生對于本類問題的高效、優質處理意識.

3.3 向量問題

在進行高中數學教學時，向量是不可忽略的關鍵性內容，它的自身本來已經顯現出較為顯著的幾何意義，也就是可以依靠向量展開對于幾何對象的描述，像：a·b=0的幾何意義為向量a、b擁有彼此垂直的關系，此外，a·a可以表達為向量|a|的平方.在解決問題時，教師利用數形結合思想應用的策略，會在具體的向量教學活動期間，有效引導學生完成向量數量積的認識，以及向量幾何意義的把握任務，以此突破向量代數性質的難點.

3.4 函數問題

函數在高中數學課程體系中的作用可謂舉足輕重，既屬于考試必選題目，又會在學生數學思維能力檢測方面發揮出獨特價值.而在相當多的函數解題中，也均會應用函數圖像，使之成為復雜問題簡單化的載體形式.但同時，函數知識并非常見生活體驗范疇，學生學習并理解函數問題出現困難是一種比較常見的現象，此時高中數學教師可以把數軸、坐標軸等看作學習者深刻感受函數方程式的必要工具，用構建圖形的做法，形象化地展現出數字意義，防止學生理解困難問題的不易化解.

4 數形結合思想促進解題能力發展的策略

4.1 數與形的直接結合

高中數學學習期間，部分數學問題在數量關系上是比較抽象的，這一點人所共知，這在實際操作中，確實給學生的求解實際問題增加了難度，此時便應當做好針對問題條件的充分分析與有效理解.例如教師提示學生：是否能夠探索到其中的明顯幾何意義，若是可以利用數形結合的策略來解決最好.在教師的提示下，學生便可以直接利用畫圖的形式，從已知條件出發，完成對于數量關系的重新審視，并依題目所給數量關系、限制條件突破解決障礙，這種策略在前述集合問題中，有比較生動的體現.

4.2 數與形的轉化結合

高中數學學習時，將面對很多的數學問題，此類數學問題無法直接看到其中所具有的幾何意義，因此可采取先變形再數形結合的方式，將題目之中的數量關系向與圖形相結合的角度轉化，確保抽象問題變得具象化，使題目擁有順利求解的可能性.關于這一點，直線斜率模式比較具有代表性，對于此類型數學問題的解決，如果可以把所求問題轉化成(a+d)/(b+c)的形式，便能夠更加接近于直線斜率公式，依斜率幾何解釋完成規律變化的探索，從而突破解題的瓶頸.

4.3 數與形的聯想結合

這里所說的聯想，是在對題目信息中的數形結合可能性進行挖掘過程中，增加類比環節，通過類比的形式，找到隱含的數形結合關鍵點，在此之后通過轉化數學圖形模型的形式，對數學問題加以解決.此種類比聯想形式能夠讓原本復雜的解題步驟被簡化，同時也將便利于高中生的問題思考過程.例如問題：已如0

數與形是數學學科內的兩項比較古老和基本的研究對象，它們能夠于一定情況下做到相互轉化.在高中數學教學期間，利用它們的這種轉化可能性，以及由此體現出來的數學思想，將讓學生在課堂上擁有更大的收獲.正是由于數形結合思想意義突出，因此需要教師在未來工作中投入更多關注目光.