拽住思維的“線頭”

朱宇

小學(xué)生在解答應(yīng)用題的過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：要么是找不到思路，不知道“從哪里想起”;要么是理不清思路，不知道“下一步往哪里想”;要么是打不開思路，不知道“還可以怎么想”。如果把應(yīng)用題看作一張“網(wǎng)”，其中的情境、情節(jié)、數(shù)量（已知的和未知的）等諸多信息就是網(wǎng)上的一條條“線”，教師要緊盯著問題，找到“線頭”，然后拽著這個線頭，順勢而為，條分縷析，精準(zhǔn)解答。

一、尋找“線頭”，知道“從哪里想起”

要形成解題的完整思路，通常要關(guān)注三個要素：思維方向、思維順序和思維方法。首先要確定思維方向，也就是知道“從哪里想起”。

1.從四則運算的意義想起。從建模的角度看，應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系都可以歸結(jié)為加、減、乘、除這四種運算關(guān)系。例如，“求比一個數(shù)多幾的數(shù)是多少”的簡單應(yīng)用題，求未知的數(shù)就是把“作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)”和“多出來的部分”合成一個數(shù)，體現(xiàn)了加法的意義。應(yīng)用題中的關(guān)鍵詞句固然值得深究，但是我們更需要準(zhǔn)確識別兩個已知數(shù)量與所求問題在運算意義上的關(guān)聯(lián)，在分析數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，將實際問題準(zhǔn)確納入相應(yīng)的運算模型。

復(fù)合應(yīng)用題雖然步驟多，但是每一步必然是加、減、乘、除關(guān)系的某一種。例如，求“一個數(shù)比另一個數(shù)多（少）百分之幾”的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，不管條件怎樣變化，我們都可以把百分?jǐn)?shù)的意義“表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”當(dāng)成思考的起點，而百分?jǐn)?shù)的意義直接反映的就是除法運算的意義。生活中一些常見的數(shù)量關(guān)系，例如單價與數(shù)量、總價之間的關(guān)系，工作效率與工作時間、工作總量之間的關(guān)系，速度與時間、路程的關(guān)系，歸根結(jié)底都是乘、除法問題的基本模型。

實踐表明，從四則運算的意義整體捕捉問題的本質(zhì)特征，可以有效避免見“多”就加、見“少”就減等望文生義的錯誤做法，有助于依托題目的條件和問題進行模式識別，順利地找到解題的切入點。

2.從事物的發(fā)展變化想起。應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系一般寓于情節(jié)之中，情節(jié)的發(fā)展通常體現(xiàn)了數(shù)量的變化。所以，情節(jié)也是解題的主要線索，教師要指導(dǎo)學(xué)生通過審題，把已有的生活經(jīng)驗嵌入應(yīng)用題描述的情節(jié)，尋找解題線索。

數(shù)量的變化通常有兩種呈現(xiàn)方式：一種與實際生活中事物發(fā)展變化進程相同，我們稱之為順向結(jié)構(gòu)題;另一種則相反，我們稱為逆向結(jié)構(gòu)題。例如：小紅要看一本180頁的故事書，第一天看了48頁，第二天看了32頁，剩下的準(zhǔn)備2天看完，每天要看多少頁？此題中變化的數(shù)量是頁數(shù)，頁數(shù)的變化與解題思路的走向一致，解題時只需沿題目敘述的事件進程展開，以“剩下的頁數(shù)”為切入點展開思考：是怎么剩下的？剩下多少頁？剩下的頁數(shù)幾天看完？

相比較而言，逆向結(jié)構(gòu)題的思維“線頭”就不那么明顯。例如：水果店有6筐蘋果，每筐重量相同。從每筐取出20千克后，剩下的蘋果重量相當(dāng)于原來2筐的重量。原來每筐蘋果重多少千克？本題需要對數(shù)量順序與運算過程的一致性進行再調(diào)整。本題變化的數(shù)量有兩個：重量與筐數(shù)。因為筐數(shù)原來和現(xiàn)在的數(shù)量已知，所以把筐數(shù)的變化作為思考的“線頭”——原來6筐，剩下2筐，少了幾筐？為什么少了？雖然存在聯(lián)系的數(shù)量順序有些“錯亂”，但是只要抓住數(shù)量的變化這個“線頭”，仍然能夠找到明確的思維方向，不會引起解題思路的混亂。

3.從與例題的關(guān)聯(lián)想起。為了幫助學(xué)生有效獲得解題步驟，盡可能增強識別問題中條件線索的能力，教材精心編選了一些典型例題。通過這些例題的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠形成解決某類問題的內(nèi)隱圖式，遇到新的問題，學(xué)生將之與例題進行匹配，把握兩者內(nèi)在關(guān)聯(lián)，通常能夠便捷地找到解題的突破口。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)五年級下冊“方程”單元有這樣的兩道題。

例題：一輛客車和一輛貨車同時從相距540千米的兩地出發(fā)，相向而行，經(jīng)過3小時相遇。客車的速度是95千米/時，貨車的速度是多少？

習(xí)題：兩艘輪船從一個碼頭向相反方向開出，8小時后兩船相距400千米。甲船的速度是26千米/時，乙船的速度是多少千米/時？

通過畫圖分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)習(xí)題的圖式與例題屬于一類，都是求一個運動物體的速度。學(xué)生如果從“未知”看“需知”，逐步向“已知”靠攏，通過圖式表征，可以發(fā)現(xiàn)，雖然出發(fā)地點、運動方向不同，但是解決兩個問題的充分條件是相同的：甲行的路程+乙行的路程=總距離。領(lǐng)悟了“相遇問題”的本質(zhì)，在此基礎(chǔ)上及時解決“反向行走”“環(huán)形跑道行走”等典型問題，學(xué)生在運用策略、對比反思的過程中感受到行程問題的“變”與“不變”，進一步積累了畫線段圖解決實際問題的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

二、厘清“線頭”，解決“下一步往哪里想”的問題

有了思維的“線頭”，為解題奠定了良好的基礎(chǔ)。但是，有時候雖然總有思維“線頭”冒出，卻不能深入;有時候很多的“線頭”在腦子里，卻雜亂無序。為此，在找到思路的第一步以后，我們還要借助思維導(dǎo)圖（思路圖）厘清思路，弄清先想什么，再想什么，然后由此又能想到什么，形成正確的思維順序。

1.著眼整體，導(dǎo)圖指路。學(xué)生思維順序受到干擾，很大程度上是因為小學(xué)生不能把握整體思路和具體步驟的平衡，經(jīng)常糾結(jié)于每一步的計算結(jié)果而忽略了解題目標(biāo)，制約了系統(tǒng)思路的形成。對此，在平時的教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生整體審視應(yīng)用題題意的習(xí)慣，借助“先想……再想……然后再想……”等程序性的表達(dá)方式，幫助學(xué)生明確解題邏輯，形成整合優(yōu)化的思路。

例如，要解決如下的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題：李師傅和張師傅同時加工數(shù)量相等的零件，當(dāng)李師傅加工了任務(wù)的[13]時，張師傅完成了任務(wù)的[27]，照這種效率，當(dāng)李師傅完成任務(wù)時，張師傅還剩200個沒有完成，張師傅應(yīng)完成多少個零件？此題在敘述中頻繁轉(zhuǎn)換數(shù)量，學(xué)生找不到已知數(shù)量“200個”的對應(yīng)分?jǐn)?shù)。我們可以讓學(xué)生摘錄關(guān)鍵句，勾勒思維導(dǎo)圖，梳理數(shù)量關(guān)系。

李師傅加工任務(wù)的[13]?張師傅加工任務(wù)的[27]

3倍 ?

李師傅完成“1”?張師傅加工任務(wù)的？

借助思路圖，學(xué)生輕松理解了應(yīng)用題當(dāng)中的隱含關(guān)系，即“張師傅還剩下200個沒有加工的時候，他實際完成了任務(wù)的[67]”。思路圖指引學(xué)生對煩瑣的思路進行整體審視，有利于其形成清晰的思路。

2.善用轉(zhuǎn)化，化難為易。對于數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的應(yīng)用題，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方法將復(fù)雜的問題向基本的問題靠攏。

一是化數(shù)為形，把隱蔽的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的圖形，利用示意圖分析數(shù)量關(guān)系，探索解題思路。例如，一個長方形花圃，長10米，現(xiàn)在把長增加2米，面積增加了12平方米，求現(xiàn)在花圃的面積。這是一道關(guān)于長方形的長增加面積隨之增加的實際問題，涉及的對應(yīng)關(guān)系包括長方形原來的長與面積、現(xiàn)在的長與面積、增加的長與面積，線索繁雜。學(xué)生可以結(jié)合圖示，從所求問題向已知條件推理。

二是把未知轉(zhuǎn)化為已知，借助結(jié)構(gòu)的力量破解難點。一般而言，學(xué)生遇到陌生的問題時，“識別—提取模型—重復(fù)應(yīng)用”的解題流程往往派不上用場，對此，教師需要“經(jīng)驗重組”，通過拆解、合并等手段帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷高級別的識別與應(yīng)用流程，擴展原有的知識結(jié)構(gòu)。例如，列方程解應(yīng)用題：今年水產(chǎn)養(yǎng)殖產(chǎn)值26萬元，比去年的2倍少3萬元，去年產(chǎn)值多少萬元？解題時，我們可以把“去年的2倍”看作“一個數(shù)”，原題就轉(zhuǎn)化為兩數(shù)相差關(guān)系的簡單應(yīng)用題，原來復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系隨之簡化為“一個數(shù)減3等于26”或“一個數(shù)減26等于3”。

3.及時反思，由表及里。數(shù)學(xué)解題活動是一個復(fù)雜的思維活動過程，整個過程離不開對解題步驟的反思。反思不應(yīng)該只發(fā)生在解決問題的檢驗環(huán)節(jié)，更應(yīng)該體現(xiàn)在解題思路的審視與調(diào)節(jié)過程中。例如，一個底面半徑是10厘米的圓柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入長和寬都是8厘米、高是15厘米的一個鐵塊，把鐵塊豎直插入瓶中，水面上升幾厘米？確立了“體積÷底面積=高”的主要關(guān)系之后，我們需要思考：鐵塊是全部沉入水中，還是部分沉入水中？通過分析，可知鐵塊是部分在水中。此時學(xué)生發(fā)現(xiàn)，無法獲知鐵塊在水中的體積，需要調(diào)整原有思路。經(jīng)過反思，學(xué)生找到了解題的突破口：當(dāng)鐵塊放入瓶中后，瓶中水所接觸的底面積因為被鐵塊“占據(jù)”，變成了3.14×10×10-8×8=250（平方厘米），體積還是3.14×10×10×8=2512（立方厘米）。于是，鐵塊部分沉入水中以后，水的高度是2512÷250=10.048（厘米），上升了10.048-8=2.048（厘米）。

三、開發(fā)“線頭”，解決“還可以怎么想”的問題

如前文所述，解應(yīng)用題需要拽住思維的已有“線頭”。有時候，我們還需要發(fā)現(xiàn)新的“線頭”，從不同的角度分析問題，開放解題思維。

1.擺脫思維定式。在解答應(yīng)用題的過程中，學(xué)生往往從習(xí)慣入手，或著眼于問題的局部去分析問題。我們要啟發(fā)學(xué)生延伸思維的觸角，實現(xiàn)思維角度的變換，探索新的解法。

在四年級數(shù)學(xué)練習(xí)中，有這樣一道與“單價、數(shù)量、總價”有關(guān)的應(yīng)用題：“小紅買5本同樣的筆記本，用去32元;小明要買15本同樣的筆記本，需要多少元？”按照常規(guī)思路，需要先求出每本筆記本的價錢，才能求出15本的總價。然而，32÷5的計算涉及小數(shù)除法，超出現(xiàn)階段水平，因而學(xué)生的解答止步于列出算式32÷5×15。其實，細(xì)細(xì)深究，此題思維的“線頭”不僅僅這一個。本題雖然與“單價、數(shù)量、總價”有關(guān)，但我們不必受此束縛。換個思路：從“5本”到“15本”，筆記本的數(shù)量擴大3倍，那么總價也應(yīng)該擴大3倍。于是，我們就有了新的解法：32×（15÷5）=32×3=96（元）。

2.嘗試不同組合。我們發(fā)現(xiàn)，如果把應(yīng)用題各個條件和問題進行不同的搭配與組合，能引發(fā)不同的思考，找到新的思維“線頭”。

例如，①一桶油連桶共重32千克，②倒出一半油后，③油連桶重18千克。桶重多少千克？

將條件①②③兩兩搭配，可以得到不同的思路。思路一：①和③組合，可知倒出的油32-18=14（千克），整桶油14×2=28（千克），桶重32-28=4（千克）。思路二：①和②組合，假設(shè)桶也減少一半，可知半桶油和半個桶共重32÷2=16（千克），再與③組合，可知半個桶重18-16=2（千克），一個桶重2×2=4（千克）。思路三：②和③組合，想到一桶油和2個桶共重18×2=36（千克），再考慮①，可知一個桶重36-32=4（千克）。

這種多種解法的應(yīng)用題，對于活躍學(xué)生思維、培養(yǎng)其積極探索的能力是有益的。

3.讓學(xué)生自主解釋。數(shù)學(xué)應(yīng)用題的思路不是教師的提示，也不是少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生的分析與解釋，而應(yīng)該是全體學(xué)生通過自己的思維活動，在尋找解題思路的過程中獲得意義的內(nèi)在建構(gòu)。

例如，3只貓頭鷹5天捉田鼠60只，每只貓頭鷹每天捉田鼠多少只？這是一道普通的除法應(yīng)用題，學(xué)生知道用連除60÷3÷5或者60÷5÷3，但并未真正理解每一步的思路，以至于對“60÷3”表示這一類的思路分析題亂說一通，有的說“每只貓頭鷹每天捉田鼠多少只”，有的說“3只貓頭鷹每天捉田鼠多少只”，都是錯誤的解釋。所以，在應(yīng)用題教學(xué)中，教師要習(xí)慣于深入追問：這一步算的是什么？你是怎么想到要這樣計算的？下一步應(yīng)該怎么想？學(xué)生對追問的解釋，從具體的算式深入思路的規(guī)劃，將脫節(jié)、零散的思維搭建成連貫的、結(jié)構(gòu)化的思維。

（作者單位：江蘇省高郵市天山小學(xué)）

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