“數”之嚴謹 “形”之直觀

康葉紅

方程是研究已知量和未知量關系的模型。求方程的解，就是利用等式的基本性質和代數式的運算，將方程化成最簡形式“x=a”。此外，我們還可以從“形”的角度來求方程的解，下面從圖形解法和函數圖像解法兩個方面來談談方程的解法。

一、圖形解法與方程

蘇科版數學教材九年級上冊第12頁“數學實驗室”中有這樣一個問題：

例1 用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0，配方法的過程可以用拼圖直觀地表示。

【分析】求一元二次方程的解常用的方法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。此外，我們還可以用拼圖的方法（如圖1）直觀地描述配方法的過程，在操作中感受數與形的結合。

變式 請用圖形求解一元二次方程x2+2x-24=0的正根。

【分析】求解一元二次方程x2+2x-24=0的正根的過程，可以這樣來思考：①變形，得x（x+2）=24;②畫4個長為x+2，寬為x的矩形，構造一個邊長為（x+x+2）2的正方形（如圖2）;③圖2中的大正方形面積可以表示為（x+x+2）2，或4個長為（x+2）、寬為x的矩形的面積之和，加上中間邊長為2的小正方形面積，即4x（x+2）+22。

解：（x+x+2）2=4x（x+2）+22，

因為x（x+2）=24，

所以（x+x+2）2=4×24+22，（2x+2）2=100，

因為x>0，所以x=4。

【總結】利用圖形直觀表示配方法求解過程，充分體現了數形結合的思想方法。借助于形的直觀和數的嚴謹兩方面求解問題，拓寬了解題思路。

我們還可以將這個過程一般化，求關于x的一元二次方程x（x+b）=c（b>0，c>0）的正根的過程，就是利用4個長為x+b、寬為x的矩形，構造邊長是x+x+b的正方形（如圖3），則圖中的大正方形面積可以表示為（x+x+b）2，或4個長（x+b）、寬x的矩形的面積之和，加上中間邊長為b的小正方形面積，即4x（x+b）+b2。由此可得方程的正根是x=[4c+b2-b2]。

二、圖像解法與方程

蘇科版數學教材八年級上冊第161頁向大家介紹了利用一次函數的圖像可以求二元一次方程組的解，具體如下：

例2 利用一次函數的圖像解二元一次方程組[x+2y=4，2x-y=3。]

【分析】我們可以借助代入消元法或者加減消元法來求二元一次方程組的解，得[x=2，y=1。]我們還可以用一次函數的圖像來求二元一次方程組的解，即一次函數y=[-12]x+2和y=2x-3的圖像交點坐標是（2，1），那么二元一次方程組[x+2y=4，2x-y=3]的解是[x=2，y=1。]

變式 解方程x3-2x2-9x+18=0。

解法1：x2（x-2）-9（x-2）=0，

（x-2）（x2-9）=0，

（x-2）（x+3）（x-3）=0，

所以x1=2，x2=-3，x3=3。

【總結】類比之前已學過的各類方程的解法，應把一元三次方程通過降次轉化為一次方程來進行求解。

解法2：由x3-2x2-9x+18=0，

得x3=2x2+9x-18。

在同一個平面直角坐標系中，畫出函數y=x3和函數y=2x2+9x-18的圖像（如圖4），它們的交點坐標為A（2，8），B（-3，-27），C（3，27），所以x1=2，x2=-3，x3=3。

【總結】利用兩個函數的圖像可以求解方程，將方程的解轉化為兩個函數圖像的交點坐標，這里可以看成函數y=x3和y=2x2+9x-18的圖像的交點坐標。

數形結合思想是研究數學問題的有效方法之一，利用數量與圖形、數量與圖像之間的關系，“以形助數”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，強化代數推理意識，無疑也是求解問題的良策。

（作者單位：江蘇省南京市致遠初級中學）

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