在猜想中發展學生數學推理能力

宋青青

推理建立在數學思維基礎上，貫穿于數學學習的整個過程。在小學階段，要重視猜想教學，依托猜想活動，探究數學的邏輯關系，發展學生的數學推理能力。在小學數學教學中，可通過觀察、實踐等方式，鼓勵學生從猜想中辨識數學邏輯關系，為發展數學推理能力奠定基礎。教師要重視猜想教學，營造猜想氛圍，在數學認知沖突中融入猜想教學，讓學生在猜想中去觀察、去探索、去經歷，讓推理能力在自然中發生，從中培養學生自主探索意識，發展學生數學推理能力，增強學生數學學科關鍵能力。

一、把握猜想教學的意義，創設探究猜想的條件

數學需要猜想，通過猜想可以讓學生認識數學知識，了解數學奧妙和趣味。在這個過程中，學生的數學思維得到拓展，學生也從猜想中更深刻地認識數學概念、定理、公式，為提升數學探究能力奠定基礎。在數學猜想活動中，學生是參與者，教師要構設輕松、和諧、開放的教學情境，鼓勵學生獨立思考、積極猜想，激發學生的數學學習熱情。在數學課堂中運用猜想教學，要基于學生已有的認知、經驗，調動學生從感性材料中啟發想象力。例如，“觀察60÷20=3該算式，請同學們思考，如果被除數、除數均同乘或同除以某一個數，它們的商會發生什么變化？”針對該問題，單純讓學生漫無目的地去探究，既費時也無效。對此，教師可以鼓勵學生嘗試讓被除數、除數同乘某一個數，同除以某一個數，這個數不能為“零”。學生在自己動手計算后發現，所得的商還是“3”。因此，在指導學生去猜想時，不能讓學生“瞎猜”“亂想”，而是要通過動手計算驗證自己的猜想。數學猜想中的歸納法，著重從個別性出發，猜想出一般性結論。在小學數學中，教師要善于歸納法猜想，指引學生從中找到解決數學問題的方法。比如，“學習了三角形的內角和為180°，那對四邊形、五邊形以及多邊形而言，其內角和是多少度？”通過解讀三角形內角和的方法，可以引出四邊形，分析四邊形的內角和，將之看作兩個三角形，從而得到內角和為360°。那以此類推，五邊形的內角和是否是三個三角形的內角和？學生在猜想中，通過對五邊形進行劃分為3個三角形來驗證所得結論，由此得到多邊形內角和為（n-2）三角形的內角和。教師要基于學生的認知特點，對學生的猜想進行引導，幫助學生銜接新舊知識點，引領學生從計算中不斷探索，積累數學經驗。

二、數學猜想在培養學生推理能力中的應用

（一）借助于數學猜想經驗，指向數學推理

猜想在數學課程中不是隨意、胡亂猜想，而是基于數學思維，關注學生的邏輯推理能力。通過聯想來展開猜想，可以表述為由熟悉的事物聯系到陌生的事物，通過對已知的分析來推測未知的結果。在數學教學中可以應用聯想法猜想，如我們學習了三角形的面積計算方法后，對梯形的面積計算，可以由三角形面積推導方法展開聯想，得出梯形的面積推導公式。同樣，對聯想法的解析，可以結合某一實例：甲、乙、丙三人中僅有一人會開車。甲說“我會開車”;乙說“我不會開車”;丙說“甲不會開車”。對三人的表述，僅有一人說真話。請判定誰會開車？對三人的表述展開聯想，甲說會開車，丙說甲不會開車，這兩種說法，只有一個人說真話。甲可能會開車，也可能不會開車。甲與丙的話是相矛盾的，則僅有一人說真話，必在甲和丙中的某一個人。由此，可以判定，乙說的是假話，即“乙會開車”。由此，通過運用聯想猜想，可以豐富學生對數學邏輯的真實體驗，增強學生的思維品質。通過類比來猜想，采用“由此及彼”的聯想手法，啟發學生從某一類事物特性，聯想類比另一類事物的特性，可以促進數學思維的觸類旁通。在小學數學活動中，類比猜想的應用很廣。如加法、減法的運算定律，類比到乘法、除法的運算定律，再類比到分數的基本性質等。比如，在學習“3的倍數特征”時，從簡單的“2的倍數”“5 的倍數”展開探討，讓學生去思考滿足“2的倍數”特征，以及滿足“5的倍數”特征。類比延伸，對“3的倍數”，不能僅限于個位是“3”“6”“9”這一猜想。如“13”“16”“29”等，不是“3的倍數”。由此，通過觀察、猜想、驗證等方式啟發學生深入探究，找到“3的倍數”特征。也就是說，不能用“數的個位特征”來判斷能否被“3”所整除，最終得到“一個數的各位上的數的和是3的倍數”時，這個數才能被“3”整除。

（二）正確對待數學猜想，指向學生推理能力

從數學教學實踐中，對數學猜想的認識，一些教師存在理解偏差。有教師將數學猜想等同于“想象”或“聯想”。其實，在數學邏輯里，猜想是一種思維方式，是基于已有信息，運用數學知識和方法，來對數學問題做出預測性推斷。一些教師在構設猜想活動時，會陷入“自由聯想”的誤區，對學生的表現，不分區別給予贊揚，導致一些學生“亂想”。如在認識“11～20”以內的數時，教師出示一張“草莓圖”，請同學們觀察該圖，猜猜看有多少個草莓，對圖示性信息，顯然用“猜想”是不合理的，偏離了數學猜想的學科特點。同樣，在運用猜想教學時，教師忽視對學生數學邏輯、數學推理思維的啟發。課堂活動的設計，要指向教學目標，教師在架設數學猜想情境時，也要考慮學情，基于學生認知經驗有序展開數學猜想活動。如“找規律”中，可以給出一些數讓學生觀察并思考，括號里應該填寫什么數。如2、4、6、8、（ ）、（ ）;再如5、10、15、20、（ ）。對上述練習題，猜想難度較低，第一題，考查的是學生對“偶數”的認識;第二題，考查的是學生對“5”的倍數的認識。相對而言，這種猜想活動缺乏對學生高階思維的啟發，降低了猜想教學成效。對前面的“除法60÷20=3，同乘或同除某一個不為零的數，其商會怎樣變化？”，學生進行了實踐探索羅列：6÷2=3、120÷40=3、3÷1=3、24÷8=3、36÷12=3、12÷4=3，等等。將這些算式進行對比，有學生發現疑問，為什么這些式子商都是3？教師可以啟發學生，“請同學們想一想，被除數、除數都發生了哪些變化？”對6÷2=3，被除數和除數都除以10，商還是3;對120÷40=3，被除數和除數都乘以2，商還是不變。對24÷8=3，被除數和除數都除以2.5，商還是不變。在類比分析后得到推論：對被除數和除數，都同乘以或同除以不為零的數，所得的商不變。

（三）搭設猜想空間，鼓勵學生主動推理

在數學課堂，引入數學猜想情境活動，教師要能夠抓住問題探究的興奮點，激發學生去主動猜想。數學猜想情境的創設，教師要給學生提供猜想的時間、空間。在學習“用計算器探索規律”時，該節課的主要內容，指導學生通過觀察，找出已知事物的相同點或相似點，在得出結論。如果讓學生僅結合問題展開觀察，學生會感覺沒有趣味，對問題的思考會缺乏深度。教師可以在課堂上，拿出一副撲克牌，挑選學生任意抽出一張，并將這個數，用計算器連續輸入9次，再除以“12345679”，教師根據結果，可以快速猜出所抽撲克牌的數字。這一猜牌游戲，瞬間調動學生的探究意趣。學生對教師的猜牌方法感到疑惑不解，迫切想要知道有什么訣竅，學生會提問：“為什么老師能夠在這么短的時間內計算出答案？教師是如何做到的？”由此，教師可以分步走，引領學生一步步探索“找規律”快速計算的方法。第一步，引出猜題內容，讓學生去觀察、感知有何規律？1÷11=0.0909……; 2÷11=0.1818……;3÷11=0.2727……;4÷11=0.3636……;5÷11=0.4545……。第二步，請同學猜想一下有何發現。有學生發現，商的結果中，都是循環小數;有學生發現，循環節都是9的倍數;有學生發現，被除數每增加1，循環節每次都增加“9”;還有學生發現，除數都是“11”，被除數擴大2倍、3倍，商也跟著擴大原來的2倍、3倍。第三步，得出結論。由此，通過計算器求商，讓學生對比所得結果之間關系，找出許多規律，可以加深學生對遞增關系、倍數關系的理解。

（四）經歷數學猜想過程，讓推理有理有據

在數學課堂上融入猜想教學，教師要重視學生的猜想過程，從學生的猜想體驗中抓住認知“生長點”，引領學生去展開數學邏輯思維，為獲得數學推理能力創造條件。例如，在學習“平行四邊形面積”時，教師在課堂上出示一張方格紙，畫出一個平行四邊形。接著引出猜想，“請同學們觀察平行四邊形，誰能猜測這個平行四邊形的面積？把你的猜想思路說一說?！庇袑W生猜想：平行四邊形的面積可以通過“底×鄰邊”來獲得;有學生猜想：平行四邊形的面積，可以通過“底×高”來獲得。對不同的猜想，誰的猜想是正確的？需要學生去推理驗證。有學生想到：可以利用數格子的方法，來計算每個格子的面積，再乘以平行四邊形所占的格數。有學生想到：可以利用轉化思路，將平行四邊形轉換其他圖形，利用拼湊法來轉換圖形。接著，通過驗證，可以得到“平行四邊形的面積=底[×]高”。對這個結論，教師可以再提問：“請同學們想一想，是否所有的平行四邊形的面積，都符合‘底[×]高’這一結論？”由此，引領學生動手，采用剪、拼、移、接等方式，嘗試不同的方法對平行四邊形進行轉換。有小組在討論中發現，只要在平行四邊形的底邊任意找一個點畫對邊的高，沿高剪下后將其中一部分平移到另一邊，就能拼成一個長方形。對此，可再提問：“平行四邊形與長方形兩者之間有何聯系？哪些是變了，哪些沒變？請同學們進行討論并猜想。”最后發現，所拼接的長方形，其長與平行四邊形的底相等;長方形的寬與平行四邊形的高相等，即“平行四邊形的面積=底[×]高”。讓學生在平行四邊形面積的探究中，從猜想到推理認證逐漸找到與長方形的關系，再對比“底與高”“長與寬”的關系，獲得了平行四邊形面積公式的推理過程。

（五）融入猜想方法，打造有深度的數學推理

對數學猜想方法的梳理，教師要根據數學內容來靈活選擇。數學學科中，概念的學習往往較為抽象，學生感到難以理解。對概念的講解，可以引入歸納猜想法，通過對相關數學材料的感性認知，逐步歸納出共性特征。比如，認識“軸對稱圖形”時，該節的難點是“判定軸對稱圖形”。教師可以出示幾個圖形，引導學生去觀察，并思考這些圖形中哪些是軸對稱圖形。要想得出準確判定，必須要明晰“軸對稱圖形”的概念。對此可以通過折紙活動讓學生動手，對一些常見圖形進行對折，觀察是否“重合”。如果能重合，則是“軸對稱圖形”;反之，不是“軸對稱圖形”。由此，在學生體驗并展開小組討論后，對“軸對稱圖形”的概念，逐漸歸納出“對稱軸”和“軸對稱圖形”的特點。教師也可以引入類比猜想法，顯然，通過對比歸類，學生可以從中積累數學知識經驗，得出猜想結論。比如，在學習“小數乘小數”時，先對前面的知識點進行回顧，整數與整數相乘、小數與整數相乘，計算的規則是什么。由此，可以再延伸小數與小數相乘，從規則的類比入手，讓學生總結計算方法。借助已有知識，從中提煉與之相似的新知識，運用數學猜想來展開對比學習，可以促進學生掌握數學解題方法。數學猜想體現了學生數學思維的活躍性，從數學猜想與數學推理銜接中，教師要多為學生創造猜想的機會。小學生形象化思維占主導，對數學的抽象性，教師可以從直觀教法中指引學生去觀察、去動手、去比較，激活猜想意識。操作猜想法。通過具體的操作實踐活動，讓學生去發現規律，猜想結果。比如，對“長方形、正方形面積”的計算教學，給出一些長方形，觀察長方形，并思考面積的計算方法。我們引入格紙，讓學生動手畫出長方形，數一數涵蓋多少個小方格。由此猜想，長方形的面積，與長方形的長、寬之間有何關系。結合猜想，對方格紙中的圖形面積進行驗證。數學的綜合性，對數學推理能力的培養，可以依托猜想訓練或邏輯思維訓練活動，讓學生感受到猜想的創造性。結合某一數學問題，如何更好地展示其內涵，猜想的運用為學生搭建新奇的數學情境。

三、結語

數學課程中，猜想是一種品質，更是一種數學思維。教師要重視學生猜想，借助于猜想，發展學生的數學推理能力。當然，猜想也不是隨心所欲的亂想，猜想要遵循數學邏輯關系。由特殊向一般進行推理，也可以由一般向特殊進行猜想?？梢?，數學猜想，作為研究數學、應用數學知識解決數學問題的重要方法，幫助學生找準數學基本點，促進學生數學推理思維的養成。因此，在小學數學課堂，將猜想意識作為啟發學生數學探究的有效途徑，教師要持之以恒，重視并積極引領學生參與數學邏輯推理活動。圍繞數學問題，有步驟地揭示數學條件，從題設條件向所求目標架設推理過程，從中發現數學規律。在數學教學中，猜想作為數學思維的一部分，不但豐富學生的數學理論，還能從數學中探究樂趣。教師要借助于猜想的“翅膀”，引領學生去探究數學知識的共性和特性，辨析數學量與量之間的邏輯關系，發展學生的數學推理能力，培養數學高階思維。

（吳淑媛）

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