建立在無窮概念上的微積分

劉美玲

（上海電機學院文理學院 上海 201306）

1 微積分課程

微積分課程充滿了大量的定理，公式和計算。而這些幾乎都建立在“無窮”這個概念上。微積分是一種簡潔優美的學科和科學，題目的計算復雜和精妙，往往能使具體的問題快速有效而簡潔的解決好。比如求最值問題，傳染病模型，幾個數學函數，幾步計算就能得到很好的結果。微積分出色的模擬了大自然，用數字和符號定義了這個世界，認識了宇宙，闡述了邏輯之美。最終利用它的神奇力量預測未來，創造世界。無窮是微積分中一度難以逾越的難關，因為無窮帶來了悖論，使得一向邏輯嚴謹的數學科學產生了哲學災難。最初數學家們從曲線、運動及其變化中尋求規律和解決之道。天文學家從宇宙中找尋萬物運轉的規律和秘密，試圖用嚴謹的數學推導使人信服，推動文明的進程[1]。天文學的研究客觀上促進了數學和物理學的發展，對人們的生活產生了深遠的影響。二維碼結賬，GPS導航，天文學和數學無處不在。

曲線和曲面形式豐富，隨處可見。它們不像直線和平面容易計算和想象，面積和體積的計算變得難以下手，造成了概念上的困惑。古代數學家曾花了很大力氣想要求解圓的面積，然而上千年無數數學家鍥而不舍的研究卻進展緩慢。

2 不規則量計算中的無窮應用

微積分的應用廣泛，曲線、質量、引力，時間等都可以作為分析對象。最開始的微積分學科是作為數學分析課程產生的。初等數學是從幾何發展來的，在規則圖形的研究已比較完備后，不規則形狀的圓形，球狀，甚至完全不規則形的物體的面積、體積及相關的其他測量阻礙了數學的發展。微積分在數百年對帶曲線形狀體的研究中誕生了。先哲們以直代曲，以不變代變，以若干線段代替曲線，用已有的方法研究未知的曲線性質。問題很快出現了，近似代替的精度越高，線段越接近無窮小，線段數量越接近無窮多，通過無窮求和，積分學首先誕生了。無窮的思想歷經多個世紀，歷經眾多最偉大的數學家的共同努力，終于于17-18世紀取得了進展。積分學誕生后，人們對以曲線為基本元的不規則體，以及以非均勻變量為基本特征的不規則量的研究達到了狂熱的程度。這些研究使微積分理論迅速豐富起來，并產生了相關的很多分支學科，比如概率論與數理統計，運籌學，矩陣理論，微分方程等，已經被廣泛應用到了工程領域各學科，使現代科學進入了微積分研究時代，現代科學得到了突飛猛進的發展。

在幾何領域取得突破進展后，積分學自然地被用來進行運行之謎的探索。當然牛頓也是在運動規律的找尋中發現了微積分。這促成了微分學的誕生。它準確刻畫了不規則運動時無窮小時間和距離變化之間的關系。

牛頓和萊布尼茲把代數的符號與無窮的力量結合起來，他們把積分學甚至公式化了，任何運動都變成了無窮求和。20世紀初愛因斯坦將微積分應用于一個原子躍遷模型，從而預測了一種受激發射的奇特現象，基于這樣的基礎理論，最終激光器被發明了。微積分甚至用到了醫學領域，從病毒的傳播機制與人體免疫的模型入手，分析預測病毒的傳播機制，控制病毒，從而使一些絕癥變為慢性疾病。

最早在公元前200多年，古希臘數學家們就執著于研究曲線之謎。他們希望將曲線形狀和直線形狀聯系起來，然后實際計算中困難重重。如何定義“無窮”，它是數字，變量還只是一個概念？這個思想最開始被應用到了圓的面積求解中。數學家們把圓分割成曲邊三角形，首先分成了四等分，但是曲邊用直線近似顯然很粗糙。繼續分割成16等份，每一份更加接近三角形，顯然分割的份數越多，曲邊三角形的曲邊就越扁平，越接近圓面積的真值。如果能夠無窮分割，則所有曲邊三角形面積之和就是圓的面積，這是一個極限的思想。但極限太抽象了，似乎是一個無法達到的目標。一千多年里數學家一直想解決極限的問題，用數學語言描述無限接近的意思，直到微積分產生后，才給極限有了一個嚴格的定義。這都是因為無窮難以定義。中文中有很多關于無窮的詞匯，無窮無盡，后患無窮，回味無窮等，也許中文和數學上的無窮本來也是同一種意思，然后數學需要定量分析，無窮需要數學化，用變量描述，最好能賦值。我們小學階段就學過除不盡的分數，比如三分之一，寫成小數就是0.333……，后面有無限重復的3，這里就有了無窮，實際計算中或許我們取幾個3就行了，所以沒有啟發我們進一步考慮如果精確取值怎么處理。然而類似圓的面積這樣的用無窮近似求極限值計算的，我們還是希望能解決無窮之后的極限如何求解。把圓分割的越來越細，每一份的面積都越來越小，接近0了，分數來自分配或者分割，無窮分割似乎就是給0個做分割，大膽從除數為0引出了無窮的數學表達，除數不能為0，最開始，用了接近0的數字試探，比如0.01，0.001，0.000001，隨著除數接近0，商變得越來越大，趨于無窮了。除數為0導致了經典數學的動蕩，無法從實際意義上理解。亞里士多德曾警告說在無窮的問題上犯錯會導致各種邏輯悖論。兩千多年的初等數學都是研究有限的理論，無窮在哲學上遭到了抵制。

芝諾悖論，阿喀琉斯的烏龜悖論都蘊含了無窮的思想。無窮思想之所以難以理解，是因為數學來自實際生活，都是有限的測量需求，無窮難以和實物聯系起來，有虛無縹緲的感覺，使得一千多年以來的哲學家數學家們難以接受，甚至拒絕接受，覺得有悖于現實，沒有任何價值。無窮只能存在于理想化的假想世界中，假裝一切事物可無線分割，微積分就是建立在這樣的假設基礎上，如果沒有它，無法定義極限，經典數學、天文學、物理學都停滯不前。圓的面積的計算，無法除盡的分數的存在，無理數的客觀存在，使我們不得不面對無窮。不能只研究有限，即使包含有理數，也難以使數軸上連續充滿數，必須有無理數，用實數才能定義連續。無窮使得很多研究得以繼續，也簡單明了了。

阿基米德也曾研究過圓的面積，他將幾何學與力學結合在一起，先用六邊形代替圓，六邊形包含6個等邊三角形，每條邊長都等于圓的半徑r，圓的周長大于6r,圓周率被認為是圓的周長和直徑之比。繼而用24邊形，48邊形，96邊形近似圓，最終得到了圓周率大約在3.1408和3.1428之間，這種方法后來被稱作窮竭法。在我國的九章算術注當中亦有記錄“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。隨著邊數增加，圓周率可以更加精確下去，直到小數點后面無窮位，既沒有可見的終點也沒有可知的極限，但它的定義和描述已經很清晰了，它是秩序和混沌之間的平衡，為后面微積分的產生奠定了非常好的理論基礎[2]。阿基米德的窮竭法說明了任何想要測量曲線長度，曲面面積，不規則形體體積的方法，都必須面對無窮小部分的無窮級數和的極限問題。窮竭法和無窮在現代應用中無處不在，甚至被用到了動畫中，動畫師用幾千萬個多邊形創造出了怪物史萊克，阿凡達等，視頻用靜止的上千萬幀組成。德國應用數學家們通過CT掃描的人面部顱骨三維結構，把微積分和計算機建模結合，預測復雜的面部模型。用幾十萬個四面體形成了皮膚、肌肉等軟組織，在醫學上都很有價值。

3 微積分中的無窮應用

除了早期的數學家哲學家外，天文學家和物理學家們對數學的力量更為推崇。伽利略認為只有用數學才能認識世界。開普勒用圓錐曲線描述太陽系，哈利奧特將數學應用于光學、航海技術，笛卡爾將代數和幾何聯系起來，用于研究光，彗星等[3]。經典物理學研究了物體運動的規律，用數學方程來描述。天體運動的規律經過對空間和時間的無窮分割似乎也可以用普通物理學的知識研究。中世紀的學者們一直研究和探討這些問題。艾薩克牛頓無疑是其中最優秀之一。他用“流數”定義了流體的變化率，萊布尼茲用微分表達了無窮小時間內的變化量。這就是最早的導數概念。牛頓在他的著作《自然哲學的數學原理》一書中用最初的微積分思想解釋了運動定律和太陽系運轉的秘密。伯努利兄弟也開始學習和研究微積分，許多學者以極大的熱忱參與了微積分的完善和傳播。一生勤奮的歐拉是其中最偉大的數學家之一，歐拉對數學有很高的造詣，并將之熟練應用到了天文學、工程領域甚至哲學里。他撰寫了《微積分預修》教科書，發表的論文和著作不計其數，其中《無窮小分析引論》是最著名最有影響力的數學經典著作。這本書具有里程碑的意義，它把函數作為主要研究對象，從純代數的角度研究微積分，使無窮小分析不再依賴幾何性質。自此代數學脫離了幾何學，從初等數學躍升到了高等數學。這本書是現代很多微積分教科書的范本。歐拉提出了無窮級數的概念，用無窮多項式逼近無窮階可導的任意函數。他定義三角函數為無窮級數，并表述了歐拉公式，使得很多函數值可以精確計算。

然而雖然很多學者用到了無窮的思想，在計算中嚴謹或者不嚴謹的使用了無窮小量，牛頓和萊布尼茲也都提到了無窮小量，但他們都認為它是虛無的存在，只有極限狀態時用來輔助描述一下。物理學家認為無窮小不對應實物，在數軸上不存在，所以涉及的計算沒有數值解，它應該被看作是一種思維方式。在函數關系中自變量的微小變化被認為是無窮小，這個變化量一般會引起函數值的一個較小的變化量，它們都趨近于零。但是把自變量的微小變化量和函數值的微小變化量作比較，卻能得到一個相對巨大的數值。也就是說變化率并不微小。這讓數學家們理解了曲線上一點的斜率，瞬時速度，曲線長度和曲面面積等?，F代教科書把無窮小定義為極限為零的變量。它是微分的本質，它使得計算變得簡單了，甚至程序化了。比如計算一個曲邊三角形的面積，初等數學需要分割，近似，逐個部分計算，煩瑣而復雜，而使用微積分的話，只是一個公式，兩三個步驟即可。

現在微積分被廣泛應用于工程學，天文學，醫學，管理學，農業科學等各領域，是大學階段必修課程，已被普遍理解和接受，關于它的理論還應用還在持續被挖掘中，它的未來還會更加大放光彩。