細(xì)說基本不等式在求最值時(shí)的“變形”

丁偉偉（江蘇省六合高級(jí)中學(xué)）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是概念。基本不等式知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含了換元思想，命題者正是運(yùn)用這種思想，通過先換元再變形，加強(qiáng)知識(shí)應(yīng)用的難度。因此，從解題者的角度來看要學(xué)會(huì)逆向思考，如何變形成為解題的關(guān)鍵。

一、基本不等式求最值的原理

基本不等式求最值的原理是：積定和最小，和定積最大，用符號(hào)語言表述為：已知a＞0，b＞0，P為常數(shù)。

（1）若a+b=P，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)

（2）若ab=P，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)

二、從基本不等式求最值的原理談變形

G.波利亞在《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》一書中強(qiáng)調(diào)，理解題目，包括未知量是什么，已知數(shù)據(jù)是什么，條件是什么。基本不等式求最值的原理本身也是一個(gè)命題，它呈現(xiàn)的題設(shè)和結(jié)論涉及兩種運(yùn)算（和與積）、一個(gè)不等號(hào)、一個(gè)定值、兩個(gè)正對(duì)象，而變形的設(shè)置往往也從這幾個(gè)方面談起。

1.從兩種運(yùn)算和不等號(hào)方向談變形

下面是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5 必修》“13.4 基本不等式”的課后習(xí)題及其變形，變形正是從兩種運(yùn)算和不等號(hào)的方向入手。

（1）若x＞0，y＞0，且2x+5y=20，求lgx+lgy的最大值。

（2）若x＞0，y＞0，且log3x+log3y=2，求的最小值。

第（1）小題求和的最大值，與原理中不等號(hào)的方向相反，可以嘗試變形目標(biāo)為積運(yùn)算；第（2）小題求和的最小值，與不等號(hào)方向一致，利用積定和最小，變形條件為積是定值。

因此，當(dāng)條件和目標(biāo)中只涉及一種運(yùn)算時(shí)，可以結(jié)合原理中不等號(hào)的方向變形。

2.從定值條件談變形

我們先來看這組例題。

（1）已知x＞0，求的最小值。

（2）已知x，y同號(hào)，求的最小值。

解析：本組例題隱藏了定值，結(jié)合兩種運(yùn)算和不等號(hào)方向，嘗試尋找積為定值。

上述例題雖然簡單，但是立意卻很深遠(yuǎn)。以第（2）小題為例，首先，令第（2）小題轉(zhuǎn)化為第（1）小題，體現(xiàn)了換元思想；其次，它提供了一類隱藏定值條件的模型——倒數(shù)型，這種模型不僅常見，而且具有一般性。看下面筆者編排的題組。

題組1：

（1）已知x∈( -2，+∞)，求的最小值。

（2）已知x∈( -2，+∞)，求的最大值。

題組2：

（1）已知x，y同號(hào)，求的最小值。

（2）已知x，y同號(hào)，求的最小值。

（3）已知正數(shù)x，y滿足x+y= 1，求的最小值。

題組1和題組2表明：對(duì)于分式函數(shù)和二元齊次分式，若能運(yùn)用基本不等式求最值，最終都能化為形如或的倒數(shù)型求最值問題。

3.從兩個(gè)正對(duì)象談變形

基本不等式求最值的原理中只涉及兩個(gè)正對(duì)象，為了考查學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，往往會(huì)隱藏研究對(duì)象，如下面的題目。

（1）若a＞0，b＞0，且，求ab的最小值。

（2）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，2x+3y+z=1，求的最大值。

（3）已知x，y，z均為正實(shí)數(shù)，x-2y+3z=0，求的最小值。

第（1）小題中已有定值條件，已知和求解中涉及兩種運(yùn)算，但是研究的兩個(gè)正對(duì)象不一致，由條件和為定值我們可以直接求出的最大值，從而間接求出ab的最小值。

第（2）小題中涉及三個(gè)字母，顯然不能孤立地作為研究對(duì)象。目標(biāo)求的是積運(yùn)算的最大值，條件中是和為定值，從運(yùn)算和不等號(hào)方向來看均無矛盾，但是兩個(gè)對(duì)象前后不統(tǒng)一，結(jié)合目標(biāo)分析，可以通過換元最終統(tǒng)一研究對(duì)象。

第（3）小題可以從以下兩個(gè)角度實(shí)現(xiàn)研究對(duì)象的一致。一是從定值條件入手，此題定值條件不明顯，可以變形為，這樣研究對(duì)象即為和目標(biāo)可以變形為。二是從不等號(hào)方向出發(fā)，目標(biāo)是積運(yùn)算的最小值，可以嘗試變?yōu)楹瓦\(yùn)算，結(jié)合條件中等式消去y，可以將目標(biāo)變?yōu)檗D(zhuǎn)化為倒數(shù)型。

由此，當(dāng)未知量較多時(shí)，往往通過減元或換元，結(jié)合其他變形角度，確定研究的兩個(gè)正對(duì)象。

綜上可知，運(yùn)用基本不等式求最值，變形不外乎從兩種運(yùn)算和不等號(hào)方向、定值條件、兩個(gè)正對(duì)象入手，變形的目的最終是為了換元，從而明確研究的兩個(gè)正對(duì)象。