基于2.5維有限元法的有限長波導結構模態密度計算

張淑敏， 圣小珍， 楊世均

(1.山東職業學院 鐵道學院，濟南 250104;2.上海工程技術大學 城市軌道交通學院，上海 201620;3.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

統計能量分析(statistical energy analysis,SEA)方法[1-2]作為研究復雜系統高頻動態聲振響應的一種重要方法，已廣泛應用于飛機、輪船、高速列車等行業。模態密度作為統計能量分析子系統的主要參數之一，定義為單位頻率下結構的模態數，能夠表征結構對外界寬頻激勵產生共振響應的能力。模態密度越大，結構越容易從寬帶激勵中吸收能量。文獻[3]表明，子系統模態密度的精度對SEA模型的預測結果有較大影響。

簡單子系統(如桿、梁、板、圓柱殼等)的模態密度可通過系統的頻率方程進行求解。Lyon等指出，當頻率較高時，子系統的模態密度與邊界條件無關。Xie等[4]基于波數積分法和相位閉合原理研究了邊界條件對一維和二維結構模態密度的影響。對曲板、三明治板、蜂窩板等結構的模態密度獲取，Langley等[5-8]分別給出了詳細的推導過程和計算公式。

不同于簡單結構的模態密度，復雜結構的模態密度一般通過試驗測試獲取。根據測試手段的不同，可將其分為模態計數法和點導納法[9-10]。模態計數法是對結構導納的峰值進行計數，相對比較簡單，但由于復雜結構在高頻區域的模態重疊數較大，因此該方法對高頻不再適用[11]。點導納法是基于結構激勵點導納實部的平均值(對測點進行平均)來計算模態密度，但該方法容易受到諸如激勵形式，傳感器附加質量等因素的影響，需進行一定的修正或者改進[12-14]。

此外，工程中還存在很多典型結構，如周期性結構和波導結構等，獲取這類結構的模態密度時，可從波動角度進行考慮。針對周期性結構，Langley[15]通過與傳播波相關聯的相位常數推導了一維和二維結構的模態密度一般表達式；Cotoni等[16]綜合應用周期結構理論、有限元法、和部件模態綜合法(CMS)給出了周期性結構的模態密度表達式。

波導結構的主要特點是它在長度(x)方向上不論是材質還是幾何形狀都是均勻的，但橫截面的形狀可以是任意的。這種結構可以允許特定的結構波(特征波)在長度方向上自由傳播。Aalami[17]研究波在任意截面桿中的傳播特性時提出了2.5維有限元法(波數有限元法)，隨后該方法被廣泛應用于鋼軌[18]、復合板[19]、型材[20]等結構上。Renno等[21-22]利用2.5維有限元法計算了波導結構的受迫響應。Finnvede[23]利用2.5維有限元法推導了波導結構的群速度和模態密度的表達式，以組合梁結構和風洞結構為例，計算了結構的模態密度。

本文在文獻[23]的基礎上，以單板和高速列車鋁型材為例，利用2.5維有限元法計算了結構的群速度和模態密度，通過提出波形置信度的概念，對波導結構頻散曲線的特征波進行了分類，計算了不同特征波的群速度和模態密度。以薄板為例，從2.5維有限元法的模態密度公式出發，推導得到了經典薄板的模態密度理論公式，驗證了利用2.5維有限元法計算有限長波導結構模態密度的合理性。

1 無限長波導結構特征波的頻散方程

沿x方向無限長的波導結構如圖1所示，那么結構的自由振動微分方程一般可表示為[24]

(1)

圖1 沿x方向的無限長波導結構，其中曲線箭頭表示沿+x和-x傳播的振動波

式中：M和K2為3n×3n正定對稱矩陣;K0為3n×3n對稱非負矩陣;K1為3n×3n反對稱矩陣。

假設結構在x方向存在波數為β，頻率為ω的簡諧波(即在空間和時間上均是簡諧的振動波)，即假定上述微分方程存在如下形式的解

(2)

將式(2)代入式(1)，可得

(3)

det[-ω2M+K0+iβK1+β2K2]=0

(4)

2 無限長波導結構頻散曲線和群速度

2.1 特征波頻散曲線的分類

(5)

WAC矩陣的各元素代表兩個波形之間的相關程度，其值位于[0,1]之間，越接近于1，說明兩種波的波形越相似，可定義為同一類型的波。

2.2 波導結構特征波群速度的一般表達式

為求解無限長波導結構內特征波的群速度，對式(5)兩邊關于波數求導，得：

(6)

(7)

由于矩陣A=-ω2M+K0+iβK1+β2K2為Hermit矩陣，則由式(5)可得

(8)

此時，式(7)可寫為

(9)

進一步得到結構的群速度為

(10)

特別地，第m條頻散曲線(其與頻率的關系記為gj(ω))對應的群速度為

ω≥ωj0

(11)

3 有限長波導結構的模態密度

3.1 結構總的模態密度

對于長度為L的桿、軸或梁結構，其振動模態可以看成是該結構為無限長時的兩個特征波的干涉結果。這兩個特征波幅值相同，相位滿足特定關系，沿相反方向傳播。高頻時第j個特征波的波數βj與相應的模態階數Nj近似滿足如下關系

(12)

那么頻帶[ω1,ω2]間的平均模態密度可近似表示為

(13)

其中，Ntot(ω)可根據下式計算

(14)

而βj(ω)通過頻散方程得到。

需要說明的是，該公式在頻率ω1和ω2處的模態密度變化平穩時成立，如果頻率ω1和ω2恰好位于結構截止頻率附近，那么模態密度的計算可參考3.2節。

通過式(13)可以看出，結構總的模態密度可以通過求解特定頻率下總的模態數得到，而SEA模型大多數是在三分之一倍頻程內進行計算，因此只需對三分之一倍頻程的上下頻率進行模態數的計算即可。

3.2 結構特征波的模態密度

建立SEA預測模型的首要工作是對子系統進行合理的劃分，振型相似準則是劃分SEA子系統的準則之一，即將結構的一群具有相似共振的模態劃分成一個子系統，這就有必要對結構內存在的不同波形進行劃分。按照模態密度的定義

(15)

式中，cg為上述特征波的群速度。

對于長度為L的波導結構，其振動模態可以看成是該結構為無限長時的一系列成對特征波的干涉結果。每一對特征波幅值相同，相位滿足特定關系，沿相反方向傳播。那么對于第m種特征波來說，其模態密度可表示為

(16)

式中，cgm為第m種特征波的群速度。

此外，結構中可能存在某些振型相似的特征波，在SEA中，可將這些相似的特征波劃分為一個子系統。假設結構中存在M條振型相似的特征波，那么，這種特征波的模態密度可表示為

(17)

可以看出：群速度較低的部分對模態密度貢獻比較大，尤其是當群速度為零時，模態密度變得無窮大，這時對應一個新的特征波的出現(cut-on)。換句話說，按照式(17)，在截止頻率處的模態密度總是為無窮大。因為群速度可以為負值，而模態密度不能為負，因此可把式(17)寫成

(18)

將式(11)代入式(18)，可得

(19)

3.3 有限頻帶內的平均模態密度

對于第m種特征波來說，其模態密度由式(16)給出。假定在頻帶[ω1,ω2]內該特征波存在一個截止頻率ω0，那么在頻帶[ω1,ω2]上的平均模態密度由下式給出

(20)

其中，Δω是一個小的正數。式(20)中的第二個積分的被積函數是連續的，因此積分是有限的。第一個積分的被積函數在ω0處為無窮大，但該積分依然是可積的。因為cgm(ω0)=0，而當ω∈[ω0,ω0+Δω]時，cgm(ω)是光滑連續的，因此cgm(ω)可以近似為cgm(ω)≈μ(ω-ω0)α,μ,α(0<α<1)是正常數。

(21)

由式(21)可以看出，該積分是有限的。這說明即使結構在截止頻率處的模態密度為無窮大，但其有限頻帶內平均模態密度仍然是一個有限值。

3.4 長方形薄板的模態密度

對于面積為S的薄板，其模態密度通常按如下公式計算

(22)

式中：k為同材質同厚度無限大板的特征波數；cg為特征波的群速度。下面從薄板的振動微分方程出發，推導得到式(22)。

考慮寬為b、在x方向無限長的薄板。薄板的兩邊假定為簡支邊界條件，頻率為ω時的傳播波可表示為

(23)

將式(23)代入板的運動微分方程，即可得到板的頻散方程

(24)

式中：β為波數；D為板的彎曲剛度；ρ為密度；h為厚度。

通過式(24)可解得對應的波數β為

(25)

進而求得板的群速度為

(26)

對于給定頻率ω，板內特征波的數量就是使得式(24)為實數的最大m(記為M(ω))

(27)

根據式(24)，對于長度方向為L的有限長薄板來說，此時模態密度可表示為

(28)

將上述求和用積分代替，可得

(29)

可以看出，上面的求和用積分來代替了，相當于將M(ω)個波的模態密度的求和均分到[0，M(ω)]區間內進行積分，進而消除了模態密度在截止頻率處的奇異性，使得所求出的模態密度是頻率的連續光滑函數。

4 算 例

本節以工程中常見的鋁板和高速列車用鋁型材為例，計算結構的頻散曲線，分析其波動特性。根據頻散曲線對不同特征波進行分類，計算結構的群速度和模態密度。

4.1 鋁單板

均質鋁板的截面如圖2所示，寬1 m，厚0.01 m，密度為2 700 kg/m3，泊松比為0.33，彈性模量為7.1×1010Pa。網格采用四節點實體單元，單元長度為0.01 m。板兩邊的邊界條件為自由邊界條件。

圖2 單板橫截面示意圖

圖3給出了根據式(4)計算得到的單板的頻散曲線，曲線上的某點(對應的波數為β、頻率為ω)表示結構內存在波數為β、頻率為ω的特征波。圖 4給出了當波數為4 rad/m時對應的不同頻率(43 Hz，59 Hz，435 Hz，1 627 Hz，2 469 Hz，4 167 Hz)下板的二維和三維波形圖。從圖中可以看出，板內存在很多不同種類的波，如壓縮波，剪切波，彎曲波等。

圖3 單板的頻散曲線

圖4 波數為4 rad/m時不同波對應的波形

根據2.1節中提出的WAC值對不同種類的特征波頻散曲線進行分類，圖5給出了識別后的頻散曲線和MAC值，其中圖5(a)和(c)中的點劃線代表識別后的第1和第5種波的頻散曲線，圖5(b)和(d)表示對應的WAC值。可以看出，WAC值基本都在0.9以上，說明該方法可以很好的區分結構內存在的不同類型的波。

(a)

圖6 板的面外波和面內波的群速度

圖7給出了板在自由邊界條件下，長度方向為1 m時，分別根據有限元-模態計數法、2.5維有限元法和板的模態密度的近似公式(即式(22))得到的板的總模態密度。可以看出，對于100 Hz和160 Hz這兩個頻帶，采用有限元-模態計數法得到的頻帶內的模態密度為零(即板在這兩個頻帶內事實上是沒有模態的)，而基于2.5維有限元法得到的模態密度和近似公式得到的值相差不大。這是因為，雖然這兩個頻帶的頻率比較低，但后兩者都對板的振動場均做了混響的假定。隨著頻率的增大，三種方法得到的模態密度吻合較好。而2.5維有限元法只需對結構的橫截面方向進行有限元離散，通過計算三分之一頻帶上下限處的模態數，即可快速計算結構的模態密度。

圖7 長度為1 m時的板的總模態密度

根據圖6給出的不同特征波的群速度，可根據式(11)求出板內不同特征波的模態密度，如圖8所示，可以看出，第14和19個波存在負的模態密度。此外，圖中的峰值對應于每個波的截止頻率。頻率一旦跨過此截止頻率，一個新的模態波將出現，理論上截止頻率處的模態密度為無窮。同時，根據對板的面內波和面外波的分類，可分別得到面內波和面外波的模態密度，如圖9所示。可以看出，板的面外波的模態密度要遠大于板的面內波的模態密度。

圖8 單板不同特征波的模態密度

圖9 單板面外和面內波的模態密度

前面已經指出，在結構的截止頻率處，群速度為零，模態密度為無窮大。在截止頻率處，頻率間隔的不同可能會導致模態密度不同。圖10給出了不同頻率間隔(0.5 Hz，1 Hz，10 Hz)的模態密度相對于頻率間隔為0.1 Hz的模態密度的相對誤差，可以看出，隨著頻率的增加，相對誤差減小，在[100，10 000] Hz內，相對誤差基本控制在5%以內。

圖10 不同頻率間隔對模態密度的影響

4.2 鋁型材

本節以某高速列車地板鋁型材為例，其截面如圖11所示，可以看出，該型材由上下面板和22個加筋板組成，截面尺寸為0.970 m×0.050 m，上下兩個面板厚度均為4.2 mm，筋板厚度為2.5 mm，實測密度為2 752 kg/m3，彈性模量為7.1×1010Pa，泊松比為0.33。截面網格采用四面體實體單元，單元長度不超過8 mm。兩端設置為自由邊界條件。

圖11 型材截面示意圖

圖12為根據式(4)計算得到的該型材的頻散曲線。可以看出，相對于單板，型材的頻散曲線更為復雜。圖13給出了波數為4 rad/m時對應的不同頻率下的波形圖，可以看出，頻率較低時，型材表現為整體變形，隨著頻率的增加，型材開始出現局部變形。

圖12 鋁型材頻散曲線

根據2.1節中給出的WAC準則，可對圖11的頻散曲線進行特征波的分類，結果如圖14(a)所示。與單板不同的是，型材不同的頻散曲線之間存在很多交叉點。圖14(b)給出了頻散曲線的某一部分區域，可以看出，放大后頻散曲線有些是交叉在一起的，如圖14(b)中的1和2點，這些交叉點的相速度相同，而群速度不同。有些曲線之間并沒有交叉在一起，如圖14(b)中的3點，這種點一般稱之為聚散點(veering point)，聚散點處的群速度會發生突變，如圖15所示。文獻[27]中指出，結構的聚散點對結構的動力學特性有重要影響。在對該點附近的特征波進行分類時，可通過增加波數間隔來實現。

(a)

圖15 波形2和和波形11對應的群速度

圖16給出了分別用本文方法和用有限元-模態計數法得到的長為0.985 m的鋁型材的模態密度，其中模態計數法是通過在ANSYS中對型材進行模態分析(單元類型為solid 45，單元尺寸不超過5 mm，邊界條件定義為自由邊界)得到固有頻率，之后通過模態計數法計算三分之一倍頻程內的模態數得到，有限元模型在文獻[28]中給出。可以看出，基于有限元-模態計數法的模態密度在某些頻帶內為0，但基于2.5維有限元法計算得到的模態密度則不為0。隨著頻率的增加，兩種方法得到的模態密度吻合越來越好。造成這種差異的原因在于用2.5維有限元法計算結構的模態密度時，利用了梁的群速度和模態密度的近似關系。

圖16 長度為0.985 m的鋁型材的模態密度

為了對比兩種方法的計算效率，在相同配置的計算機上計算了該型材[0,10 000] Hz內的模態密度，結果表明，有限元-模態計數法用時為8 703 s，而2.5維有限元法用時為1 427 s，由此可以看出本文的方法具有較高的計算效率。

5 結 論

本文基于2.5維有限元法研究了有限長波導結構的波動特性和模態密度，給出波導結構群速度和模態密度的表達式。以單板和型材分析為例，得到以下結論：

(1) 2.5維有限元法從結構的波動特性出發，通過對結構的特征波進行分類，能夠實現不同特征波的模態密度的計算。

(2) 頻散曲線上波數為零的點為結構的截止頻率，一旦超過該頻率，一個新的波將出現。截止頻率處群速度為零，模態密度為無窮大，但在任何一個有限的頻率區間內的積分是有限的。

(3) 在某些截止頻率附近，結構的某些特征波可能存在負的群速度和模態密度，這意味著波的傳播方向和波所攜帶的能量的傳播方向相反。

(4) 基于2.5維有限元法推導單板模態密度的公式，將有限個波的模態密度疊加變換到有限區間內進行積分，可消除模態密度在截止頻率處的奇異性，使得所求出的模態密度是頻率的連續光滑函數。

(5) 隨著頻率的增加，本文方法計算得到的模態密度和其他方法吻合較好，驗證了本文方法的有效性。