組合L型變截面梁的自由振動特性分析

牛國華， 王剛鋒， 王 劍

(1. 長安大學 工程機械學院， 西安 710064； 2. 長安大學 道路施工技術與裝備教育部重點實驗室， 西安 710064)

作為工程結構基本構件，梁結構被廣泛應用于飛機、車輛等交通運輸產品[1-2]。組合梁結構一般由多根梁組成，且在各梁節點處具有連續條件。組合梁的振動問題是工程結構中的基本問題，得到組合梁振動的解析解對于產品設計及動力學分析具有重要的意義。

目前，有很多學者提出了一些組合梁結構振動特性的計算方法。王民等[3]提出了一種組合階梯梁振動特性的計算方法，并將其方法應用于刀柄裝夾銑刀系統的振動特性分析中。張文福等[4]以Timoshenko連續梁模擬索-桁架組合梁結構，利用能量變分法分析了索-桁架組合梁結構的固有振動。羅延忠[5]采用折算系數法建立了組合梁振動的運動微分方程，并分析了組合梁的振動特性。Wang[6]基于歐拉-伯努利梁理論，開發了一種用于求解微分方程得到固有頻率的算法，并將其運用與非對稱截面組合梁自由振動中。Georgiades 等[7-9]推導了考慮轉動慣量影響的結構的線性運動方程，并將其應用于L型梁結構進行非平面運動分析。以上方法在計算效率上已有很大提高，但大多數應用于結構簡單、截面形狀單一的組合梁中。

此外，也有很多學者提出了一些變截面梁振動特性計算方法。鮑四元等[10]基于譜幾何法和Hamilton原理，利用矩陣特征值問題研究了任意邊界條件下連續多段梁的振動特性。葛仁余等[11]基于Timoshenko梁理論，利用插值矩陣法計算軸向功能梯度變截面梁的固有頻率。王劍等[12]利用導納綜合法與改進的傳遞矩陣法，計算了存在質量偏心的階梯梁模型的彎縱耦合振動特性。馬一江等[13]基于傳遞矩陣法，提出了一種計算含多條裂紋變截面簡支梁固有頻率的方法。劉鵬等[14]基于歐拉-伯努利梁理論，利用樣條有限點法計算了截面高寬度沿軸線性變化的變截面梁振動特性。Li[15]提出了一種新的精確方法，并將其應用于具有任意數量裂紋和集中質量的階梯梁進行自由振動分析。Lee[16]利用基于歐拉-伯努利梁理論和Timoshenko梁理論的Chebyshev-tau方法，對階梯梁進行自由振動分析。Failla 等[17]提出了一種求解非連續歐拉梁振動特性計算方法，并將其應用于具有內部平移和旋轉彈簧的階梯梁。Mao[18]提出使用ADM分解方法來研究階梯梁自由振動，并將其應用到求解非均勻梁的振動問題。上述文獻針對變截面梁振動特性提出了多種計算方法，但還存在計算效率低、精度差及推導過程繁瑣等問題。另外，針對組合型變截面梁的研究還相對較少。

本文針對L型變截面梁的橫向自由振動問題，推導了其固有頻率及振型函數的求解過程并給出了相應算例。根據相鄰梁段的力平衡條件和位移連續條件，建立整個組合梁的特征矩陣，得到解析形式的頻率方程。通過求解頻率方程即可得到L型變截面梁橫向振動的固有頻率，進一步求得振型函數。通過給出具體算例并與有限元結果對比，驗證了本文方法的有效性。

1 L型梁自由振動的計算方法

1.1 梁的橫向振動微分方程

基于歐拉-伯努利梁理論，各段梁長度為Li，水平梁段數為m，總段數為n的梁，自由振動的運動微分方程為

i=1,2,…，n

(1)

式中：y(x,t)為梁的橫向振動撓度函數；Ei為第i段梁的彈性模量；Ii為第i段梁的截面慣性矩；ρiAi為第i段梁的的線密度。L型變截面梁模型如圖1所示。

圖1 L型變截面梁模型

由于梁每段的EiIi和ρiAi為常數，式(1)可表示為

i=1,2,…，n

(2)

使用分離變量法，式(2)的通解為

y(x,t)=φ(x)T(t)

(3)

其中

T(t)=e-iωt

(4)

式中，ω為橫向振動的固有圓頻率。

φ(x)為梁橫向振動的模態振型函數，可表示為

φ(x)=C1sinβx+C2cosβx+C3sinhβx+

C4coshβx

(5)

將第i段梁的模態振型函數寫成

(6)

1.2 邊界條件

L型變截面梁兩端的邊界條件分別為一端固定一端自由。固定端位移和轉角為零，可得到方程組

(7)

自由端彎矩和剪力為零，可得到方程組

(8)

式中：y′,y″,y′″表示對位移求一階、二階、三階偏導。

1.3 平衡和連續條件

L型梁的變截面處存在力平衡和位移連續條件，對于橫梁及豎梁，相鄰兩段梁連續處左側截面與右側截面的位移、轉角、彎矩、剪力均相等，可以得到矩陣

(9)

對于連接橫梁與豎梁處的直角連接點，平衡及連續條件如圖2所示。

圖2 直角連接點處的平衡及連續條件

由圖2所示的直角連接點處的連續條件，可得位移及轉角關系如下

(10)

由圖2所示的直角連接點處的平衡條件，可得彎矩及剪力關系如下

(11)

綜上可得到直角連接點處的平衡及連續條件如下

(12)

1.4 固有頻率及振型函數的求解

結合邊界條件和連續條件，構造特征矩陣H

(13)

矩陣H的各元素表達式如下推導。

由邊界條件式(7)、(8)可得

h11=h13=h22=h24=1

h3,4n-3=-cosβnLn，h3,4n-2=-sinβnLn

h3,4n-1=coshβnLn，h3,4n=sinhβnLn

由平衡及連續條件式(9)可得

h4i+1,4i-3=cosβiLi，h4i+1,4i-2=sinβiLi

h4i+1,4i-1=coshβiLi，h4i+1,4i=sinhβiLi

h4i+2,4i-3=-βisinβiLi，h4i+2,4i-2=βicosβiLi

h4i+2,4i-1=βisinhβiLi，h4i+2,4i=βicoshβiLi

h4i+1,4i+1=h4i+1,4i+3=-1，h4i+2,4i+2=h4i+2,4i+4=-βi+1

其中，i=1,2,…,m-1,m+1,m+2,…,n-1。

由直角連接處的平衡及連續條件式(12)可得

h4m+2,4m-3=-βmsinβmLm，h4m+2,4m-2=βmcosβmLm

h4m+2,4m-1=βmsinhβmLm，h4m+2,4m=βicoshβmLm

h4m+1,4m+1=h4m+1,4m+3=1，h4m+2,4m+2=h4m+2,4m+4=-βm+1

其余元素皆為0。

特征矩陣H滿足

Hψ=0

(14)

其中

(15)

為位移系數向量。為了求解系統的固有頻率，上式需有非零解，即矩陣H的行列式必須為零。通過令特征矩陣H的特征值為零，可以求解出固有圓頻率ω。將固有圓頻率ω代回特征矩陣并求解方程組，可以得到第1段～第n段的振型函數的待定系數，最終得到各段梁的模態振型函數。

2 算例分析與驗證

2.1 梁的主要參數

將表1中組合L型變截面梁的參數代入第一章所提出的公式及特征矩陣中，定義掃描初始頻率及終止頻率，使用MATLAB軟件掃描出組合梁的前10階固有頻率，再將固有頻率代回特征矩陣求出各段梁的振型系數，最后繪制出振型曲線，結果見下文。

表1 組合L型變截面梁的主要參數

2.2 收斂性分析

(1) 本文方法在建立特征矩陣時，隨著組合梁總段數n的增加，矩陣維數隨之增大且大多數元素為0，故針對此問題有必要做收斂性分析。

分別取n為10、16及20，即水平梁及豎直梁各5、8及10段時，對組合梁振動特性做收斂性分析。當n取10時，組合梁結構的物理參數如表1所示；當n取16、20時，組合梁結構的物理參數為水平梁為變截面(相鄰兩段相互交替，交替規律與n取10時相同)，豎直梁為等截面，各段梁長度、密度、及彈性模量均與表1相同。將3種組合梁的參數采用上述求解方法，得到前10階固有頻率，與有限元法相比各階頻率誤差如圖3所示。

圖3 本文方法與有限元法相比各階頻率誤差

由圖3可知，當n取10和16時，各階頻率與有限元法相比誤差均小于1%，但當n為20時，各階頻率與有限元法相比誤差有的已超出1%。因此為了確保計算精度，本文方法適用于n<16的組合梁模型中。

(2) 本文方法是基于局部坐標下建立的平衡和連續方程，針對該方法下的高階模態有必要作收斂性分析，結果如圖4所示。

圖4 收斂性分析結果

由圖4可以看出，固有圓頻率在48階之后出現發散。由相關文獻[19-20]分析可知，在車輛航天等機械結構中，低階模態對結構影響較為重要。因此本文方法在計算組合L型梁結構振動特性時仍具有較高的準確性和收斂性，是滿足實際工程需要的。

2.3 與有限元法的對比

使用表1中組合梁的參數，利用ANSYS對L型變截面梁建模及有限元分析。有限元計算中，采用beam188單元模擬。有限元分析結果與本文方法計算結果如表2所示。

表2 本文方法與有限元法固有頻率對比

從表2中可以看出，本文方法與有限元法固有頻率相比吻合良好，各階誤差均在0.063%以內，從而驗證了本文方法的有效性。

圖5給出了組合梁的前九階振型，可以看出本文結果與有限元結果振型曲線完全吻合，從而驗證了該方法的準確性。

(a) 一階振型

3 結 論

本文研究了組合L型變截面梁的自由振動特性，主要工作及結論如下：

(1) 基于歐拉-伯努利梁理論，提出了一種考慮截面變化的L型梁自由振動特性計算方法，通過分析組合梁相鄰梁段之間的平衡及連續條件，構建了整個組合梁的特征矩陣，通過求解特征矩陣得到了組合梁的固有頻率及振型曲線。

(2) 通過與有限元計算結果對比，驗證了本文所提出方法的有效性及準確性；并對計算結果進行了收斂性及有效性分析，結果表明本文方法適用于n<16的組合梁模型。

(3) 由于特征矩陣組裝方便的特點，使得本文所提出方法在處理幾何和物理參數變化的組合梁，如漸變截面L型梁的振動特性問題時具有較大的優勢，進而可以為組合梁結構的設計、分析及優化等問題提供理論基礎。

附錄A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

其中，i=1,2,…,m-1,m+1,m+2,…,n-1

(A.5)

(A.6)

(A.7)

其余各元素均為0。

角標含義: 例如H1:4,1:4中，前面的1:4表示第1行～第4行，后面的1:4表示第1列～第4列，其余同上。