基于Kahan方法的磁流變拋光凸元件幾何特性分析

楊 航,佘 娜,張?jiān)骑w,黃 文,賈 陽(yáng)

(1.遵義師范學(xué)院工學(xué)院,貴州 遵義,563006；2.中國(guó)工程物理研究院 機(jī)械制造工藝研究所,四川 綿陽(yáng),621900；3.華中光電技術(shù)研究所 武漢光電國(guó)家實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢,430073)

1 引 言

空間光學(xué)、天文光學(xué)、慣性約束聚變以及紫外光刻等高技術(shù)領(lǐng)域?qū)鈱W(xué)系統(tǒng)的要求不斷提高[1-2]。光學(xué)元件在以后的航空、國(guó)防、宇宙探索、核聚變等諸多鄰域都將起到越來越重要的作用,高精度的光學(xué)零件與高要求壓力場(chǎng)的光學(xué)元件對(duì)于某些領(lǐng)域更是具有不可替代的作用。為了一些光學(xué)元件的表面的精度、表面的質(zhì)量以及表面壓力場(chǎng)都能滿足需要的條件[3-4],世界上許多國(guó)家對(duì)光學(xué)元件的表面進(jìn)行了大量的研究,并找尋加工的方法,這些方法中包括了離子束加工、在線電解修整磨削拋光、Teflon法拋光、磁流變拋光(MRF)等[5-6],但是因?yàn)槠溲芯康墓ぷ鬟€不夠,有些技術(shù)不是很完善。在這些技術(shù)中,MRF技術(shù)是利用了拋光液在磁場(chǎng)中形成一段凸起的“柔性緞帶”[7-8],通過“柔性緞帶”在加工工件表面進(jìn)行拋光[9-10],為可控的柔性拋光技術(shù)[11]。MRF是用來獲得超高精度光學(xué)表面的技術(shù),運(yùn)用磁流變拋光技術(shù)加工光學(xué)元件將變得越來越廣泛。對(duì)于磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,董敏運(yùn)用磁流變拋光技術(shù)對(duì)微結(jié)構(gòu)動(dòng)壓平面進(jìn)行了研究[12]。對(duì)于一些壓力場(chǎng)控制嚴(yán)格的凸光學(xué)元件,特別是對(duì)于航空、航天、激光核聚變等領(lǐng)域?qū)ν构鈱W(xué)元件的壓力場(chǎng)控制極為嚴(yán)格時(shí),磁流變拋光區(qū)域的壓力場(chǎng)就變得極為重要。總的來說,磁流變拋光壓力場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)獲取方法存在三方面的困難:(1)因?yàn)榱鲌?chǎng)尺度小,與設(shè)備屬于同一量級(jí),不論是點(diǎn)式還是薄膜式的傳感器介入都會(huì)引起磁流變拋光區(qū)域壓力場(chǎng)畸變,導(dǎo)致測(cè)得的數(shù)據(jù)精度喪失或失效；(2)傳感器對(duì)壓力場(chǎng)的測(cè)定成本居高不下,且不能夠獲得實(shí)時(shí)、動(dòng)態(tài)、多參數(shù)耦合流場(chǎng)；(3)目前基于牛頓法、榮格庫(kù)塔方法開展的數(shù)值計(jì)算由于受到多因素、多場(chǎng)耦合產(chǎn)生的非線性積分特性,計(jì)算效率低下甚至無法計(jì)算。面向這些問題,本文提出基于Kahan方法的快速數(shù)值計(jì)算,使高效率磁流變拋光區(qū)域流場(chǎng)幾何特性獲取成為可能。

2 凸光學(xué)元件與磁流變拋光區(qū)域壓力分析

2.1 磁流變拋光過程

磁流變拋光是指被加工工件(本文所研究的凸光學(xué)元件)放置在一個(gè)運(yùn)動(dòng)拋光輪上方,加工工件與拋光輪的上部會(huì)形成一個(gè)很小的距離,使加工工件便于在運(yùn)動(dòng)的拋光輪上部形成一個(gè)很小的間隙,如圖1所示。

圖1 磁流變拋光加工凸光學(xué)元件的示意圖

在運(yùn)動(dòng)的拋光輪下方布置一電磁鐵磁極,與加工工件相互對(duì)應(yīng),就會(huì)在加工工件與拋光輪的小間隙附近產(chǎn)生一個(gè)非均勻的磁場(chǎng)。當(dāng)磁流變拋光液隨著拋光輪運(yùn)動(dòng)到加工工件與拋光輪形成的小間隙的附近時(shí),以附著在拋光輪上流動(dòng)的磁流變液轉(zhuǎn)變成一段凸起的“柔性緞帶”,拋光液受力凝聚、變硬,成為粘度很大的類似Bingham質(zhì)的流變液。當(dāng)這樣具有較高粘度的“柔性緞帶”Bingham介質(zhì)進(jìn)入狹小間隙時(shí),拋光液會(huì)與加工工件相接觸,使介質(zhì)對(duì)光學(xué)元件表面所相接觸的區(qū)域會(huì)產(chǎn)生一定的剪切作用,進(jìn)而把光學(xué)元件表面區(qū)域的部分材料去除,達(dá)到微量去除的目的,在加工工件的表面與拋光液相互接觸并被去除材料的部分被稱為拋光區(qū)。

2.2 凸光學(xué)元件曲率分析

本文研究凸光學(xué)元件曲率對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力場(chǎng)的影響,圖2為磁流變拋光過程中,磁流變液的中平面下凸光學(xué)元件與拋光液形成的拋光區(qū)在XOY坐標(biāo)下的參數(shù),定義拋光區(qū)任意一點(diǎn)為Q,Q點(diǎn)與凸光學(xué)元件頂點(diǎn)的距離為h(m),x為該點(diǎn)在X坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)值。

圖2 XOY坐標(biāo)示意圖

從圖中可以得到關(guān)于x的方程,其表達(dá)式如下:

x2=R2-(R-h)2=2Rh-h2

(1)

式中,R為凸光學(xué)元件的半徑,由公式可知x是關(guān)于R的函數(shù)。

考慮到影響x的不止凸光學(xué)曲率,還有光學(xué)元件的嵌入深度,而嵌入的深度又與嵌入的角度相關(guān),所以本文主要研究影響壓力的主要因素有光學(xué)元件的曲率R、光學(xué)元件在磁流變液中的浸入深度L、光學(xué)元件浸入磁流變液的角度A三個(gè)方面。

2.3 凸元件與磁流變液壓力場(chǎng)的形成

磁流變拋光的數(shù)學(xué)模型是以Preston方程為依據(jù)所建立的。凸光學(xué)元件拋光時(shí),磁流變拋光液對(duì)于加工工件的壓力P是由許多方面的因數(shù)來影響的參數(shù),但它主要由兩個(gè)部分組成:即磁場(chǎng)所產(chǎn)生的壓力和流體動(dòng)壓力。其中流體動(dòng)壓力,是在無滑動(dòng)的邊界條件、恒定粘度和可忽略的物體作用力的假設(shè)條件下由Reynolds方程所解出；磁場(chǎng)產(chǎn)生的壓力也包括兩部分:磁化壓力和磁致伸縮壓力,但由于本文所研究的磁流變拋光液在流動(dòng)過程中近似為不可壓縮流體,在梯度磁場(chǎng)中,隨著體積的變化,磁流變拋光液的磁致伸縮壓力可以近似為零,所以只考慮磁化壓力。則有:

(2)

式中,η0為拋光液粘度；h0為Q點(diǎn)在Y軸上的長(zhǎng)度；Ux為拋光輪轉(zhuǎn)速；μ0在真空下的磁導(dǎo)率；Mf為磁流變拋光液的磁化強(qiáng)度；H是在外加磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。其中磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式為:

(3)

式中,h1為磁極到工件的最小距離。

由式(2)與(3)壓力是關(guān)于x的函數(shù),再根據(jù)2.2小節(jié)得到的結(jié)論,可知壓力與光學(xué)元件的曲率R、光學(xué)元件在磁流變液中的浸入深度L、光學(xué)元件浸入磁流變液的角度A三個(gè)方面有關(guān)。

3 基于Kahan線性化的多場(chǎng)耦合積分的快速計(jì)算方法

3.1 Kahan線性化原理

對(duì)于一般形式的微分方程組:

(4)

其中:

f(x)?A(x)+B(x)+C

(5)

式中,A、B、C分別為n維二次型矩陣、n維方陣、n維列矩陣。采用固定點(diǎn)中心迭代,有:

xt+1=xt+s[A(xt+1,xt)+B(xt+1,xt)+C(xt+1,xt)]

(6)

其中,t為迭代步次；s為步長(zhǎng)。有:

(7)

顯然,該積分方法是對(duì)稱和線性隱式的。

3.2 壓力場(chǎng)多因素耦合快速計(jì)算方法

對(duì)于式可以看作具有一般形式:

p?f(Ux,h,x,M,R,μ0,η0)

(8)

因此,按照式(6)開展數(shù)值積分計(jì)算,可以將多物理場(chǎng)、多因素耦合的非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性隱式方程進(jìn)行求解。對(duì)多因素的獨(dú)立調(diào)控并不影響單次積分的迭代總時(shí)間。在時(shí)間效率上有極大的優(yōu)勢(shì)。這是開展幾何特性多工藝因素分析的基礎(chǔ)。

4 凸元件幾何特性計(jì)算

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了研究在磁流變拋光過程中磁流變拋光區(qū)域的壓力場(chǎng),除了本文主要研究的凸光學(xué)元件的曲率、嵌入深度與嵌入角度以外,其影響該過程的工藝參數(shù)還有很多,如磁流變拋光液入口的運(yùn)動(dòng)速度、壓強(qiáng)以及拋光液參數(shù)等。

由于磁流變液在附加磁場(chǎng)的作用下,磁流變液轉(zhuǎn)變成一段凸起的“柔性緞帶”,拋光液受力凝聚、變硬,形成具有一定屈服應(yīng)力的類固體。考慮到流動(dòng)狀態(tài)磁流變拋光液的流動(dòng)特征,流體模型選取的是k-epsilon的湍流模型,由于磁流變液在梯度磁場(chǎng)下成為粘度很大的類似Bingham介質(zhì)的磁流變液可以近似由Herschel-Bulkley模型來代替,所以可采取Herschel-Bulkley模型參數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)。具體磁流變液各關(guān)鍵參數(shù)如表1。

表1 選取的磁流變拋光各參數(shù)

確定了以上參數(shù)進(jìn)行分析時(shí),共分為三組實(shí)驗(yàn):

(1)第一組實(shí)驗(yàn)是以拋)輪轉(zhuǎn)速150 r/min、嵌入深度為1 mm、嵌入角度為0°作定值,改變凸光學(xué)元件的曲率的情況下來分析磁流變拋光區(qū)域的壓力場(chǎng),具體參數(shù)如表2所示。

表2 光學(xué)元件曲率在50 mm至500 mm的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

(2)第二組實(shí)驗(yàn)是以拋)輪轉(zhuǎn)速150 r/min、凸光學(xué)元件曲率為200 mm、嵌入角度為0作定值,改變凸光學(xué)元件的嵌入深度的情況下來分析磁流變拋光區(qū)域的壓力場(chǎng),具體參數(shù)如表3所示。

表3 嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

(3)第三組實(shí)驗(yàn)是以拋)輪轉(zhuǎn)速150 r/min、凸光學(xué)元件曲率為200 mm、嵌入深度為1 mm作定值,改變凸光學(xué)元件的嵌入角度的情況下來分析磁流變拋光區(qū)域的壓力場(chǎng),具體參數(shù)如表4所示。

表4 光學(xué)元件嵌入角度在0.5°至3.5°之間的實(shí)驗(yàn)參數(shù)

4.2 凸元件曲率對(duì)凸面的壓力影響

在磁流變拋光的過程中,由于凸光學(xué)元件的曲率的不同會(huì)對(duì)拋光區(qū)域內(nèi)磁流變拋光液的壓力產(chǎn)生變化,以嵌入深度為1 mm與嵌入角度為0°作定值,凸光學(xué)元件不同的曲率作為研究對(duì)象,圖3為不同曲率時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)所得出的對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力對(duì)應(yīng)的結(jié)果。

圖3 曲率在50 mm至500 mm的磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖

由曲率在50 mm至500 mm經(jīng)過計(jì)算到數(shù)據(jù),得到在磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件曲率不同時(shí),拋光液的壓力分布曲線圖,如圖4。

圖4 凸光學(xué)元件曲率在50 mm至500 mm的壓力分布曲線圖

從圖4中可以看出,凸光學(xué)元件曲率對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力的影響具有規(guī)律,由單個(gè)曲線可知,磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的x不斷增加,其壓力減小；這與工程經(jīng)驗(yàn)一致,浸入長(zhǎng)度出口方向存在較高的壓力梯度,邊緣部分存在急劇的壓力泄露現(xiàn)象。這也是磁流變拋光邊緣部分難以去除的原因。并由圖4可知,拋光液進(jìn)入光學(xué)元件的前段壓力緩慢減小,中段壓力減小較快,后段壓力緩慢減小。由圖4中不同曲率壓力曲線的變化可知,磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的曲率不斷增加,其壓力不斷增大；在拋光區(qū)域中拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的前段時(shí),凸光學(xué)元件曲率的增加使壓力增大更為顯著；在后段時(shí)變化微小,特別是在磁流變拋光液與凸光學(xué)元件出口的位置,凸光學(xué)元件曲率越大壓力反而較小。

4.3 相同曲率下凸元件嵌入深度對(duì)凸面的壓力影響

在磁流變拋光過程中,由于凸光學(xué)元件嵌入深度的不同會(huì)對(duì)拋光區(qū)域壓力產(chǎn)生變化,以凸光學(xué)元件曲率為200 mm與嵌入角度0°為定值,以不同的嵌入深度作為研究對(duì)象,圖5是不同的嵌入深度下計(jì)算出的對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖。

圖5 嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖

由嵌入深度在0.3～1.1 mm下經(jīng)過計(jì)算得到數(shù)據(jù),得到在磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件嵌入深度不同時(shí),拋光液進(jìn)入的壓力分布曲線圖,如圖6。

由圖6可知,當(dāng)深度一定時(shí),磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的位移不斷增加,其壓力減小；拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的前段壓力緩慢減小,中段壓力減小較快,后段壓力緩慢減小。由圖6中不同深度曲線的變化可知,磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入深度不斷增大,其壓力不斷增加；當(dāng)嵌入深度越小時(shí),拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的位移壓力曲線越平緩,即變化速率越小；當(dāng)嵌入深度越大時(shí),拋光區(qū)域的壓力曲線越陡峭,即變化速率越大；當(dāng)拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件前段時(shí),凸光學(xué)元件嵌入深度的增大使壓力增加更為顯著,在后段時(shí)變化微小,特別是在磁流變拋光液與凸光學(xué)元件出口的位置,圖中所有線合為一點(diǎn),即凸光學(xué)元件嵌入深度改變時(shí)其壓力不變。這也就揭示了拋光過程入口區(qū)域與出口區(qū)域壓力場(chǎng)變化的不一致性,出口區(qū)域梯度較高,對(duì)于不同曲率條件并不能產(chǎn)生明顯的壓力差異。而入口區(qū)域由于有較長(zhǎng)的壓力接觸區(qū),因此能夠明顯看到壓力的變化。

圖6 凸光學(xué)元件嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的壓力分布曲線圖

4.4 相同曲率下凸元件嵌入角度對(duì)凸面的壓力影響

在磁流變拋光過程中,由于凸光學(xué)元件的嵌入角度的不同會(huì)對(duì)拋光區(qū)域產(chǎn)生影響,以凸光學(xué)元件曲率為200 mm與嵌入深度為1 mm為定值,不同的嵌入角度作為研究對(duì)象,圖7是不同的嵌入角度時(shí)計(jì)算所得出的拋光區(qū)域壓力分布圖。

圖7 嵌入角度在0.5°至3.5°的磁流變拋光區(qū)域壓力分布圖

由嵌入角度在0.5°～3.5°的計(jì)算得到數(shù)據(jù),得到在磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件嵌入角度不同時(shí),拋光液進(jìn)入的壓力分布曲線圖,如圖8。

由圖8可知,當(dāng)角度一定時(shí),當(dāng)磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的位移不斷增加,前段壓力緩慢減小,中段壓力減小較快,后段壓力緩慢減小。受到壓力場(chǎng)形成機(jī)制的影響,前端與后端出現(xiàn)明顯的壓力角度響應(yīng)機(jī)制。由圖8中不同嵌入角度的變化曲線圖可知,磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入角度越小,其位移壓力曲線圖越平緩,即壓力減小速率越慢；凸光學(xué)元件的嵌入角度越大,其位移壓力曲線圖越陡峭,即壓力減小速率越快；當(dāng)磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件前段時(shí),磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入角度不斷增大,其壓力不斷增加；在拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件最深點(diǎn)附近,也就是凸光學(xué)元件的頂點(diǎn)位置(X軸的0點(diǎn)位置)靠左段,拋光區(qū)域壓力曲線相交,即壓力趨于相等；當(dāng)磁流變拋光區(qū)域中拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件后半段時(shí),磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入角度不斷增大,其壓力不斷減小,最終在磁流變拋光液與凸光學(xué)元件出口的位置,圖中所有線合為一點(diǎn),即凸光學(xué)元件嵌入角度改變時(shí)其壓力不變。

圖8 凸光學(xué)元件嵌入角度在0.5°～3.5°的壓力分布曲線圖

5 結(jié) 論

本文依賴于Kahan方法對(duì)變拋光區(qū)域壓力場(chǎng)進(jìn)行快速多因素耦合計(jì)算研光學(xué)元件幾何特性對(duì)磁流變液拋光區(qū)域壓力場(chǎng)影響機(jī)制的問題。該方法較為方便的處理多場(chǎng)耦合計(jì)算問題。主要結(jié)論如下:

(1)無論凸光學(xué)元件曲率、嵌入深度、嵌入角度怎么變化,磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的位移不斷增加,其壓力減小。

(2)基于嵌入深度10 mm為定值,凸光學(xué)元件曲率在50 mm至500 mm的變化下對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,當(dāng)拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的曲率不斷增大,其壓力不斷增加；當(dāng)拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的不同位移下,位移較小時(shí)壓力變化顯著,壓力隨曲率的增大而增加；當(dāng)位移較大時(shí)壓力變化變化微小,特別是在磁流變拋光液與凸光學(xué)元件出口的位置,凸光學(xué)元件曲率越大壓力反而較小。

(3)基于曲率200 mm為定值,凸光學(xué)元件嵌入深度在0.3 mm至1.1 mm的變化下對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,當(dāng)拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入深度不斷加大,其壓力不斷增加；當(dāng)嵌入深度越小時(shí),壓力的變化速率越?。划?dāng)拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件的不同位移下,隨嵌入深度的增大；當(dāng)位移較小時(shí)壓力變化顯著,位移較大時(shí)壓力變化趨于零。

(4)基于曲率200 mm與嵌入深度1 mm為定值,凸光學(xué)元件嵌入角度在0.5°至3.5°的變化下對(duì)磁流變拋光區(qū)域壓力的研究,當(dāng)拋光區(qū)域中磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件前段時(shí),磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入角度不斷增大,其壓力不斷增加；當(dāng)磁流變拋光區(qū)域中磁流變拋光液進(jìn)入凸光學(xué)元件后半段時(shí),磁流變拋光區(qū)域中凸光學(xué)元件的嵌入角度不斷加大,其壓力不斷減小；當(dāng)磁流變拋光液與凸光學(xué)元件出口的位置時(shí),壓力變化為零。