基于IHT算法的EMT金屬探傷稀疏成像方法

孫春光， 何 敏， 曾星星， 馮肖維

(1.上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，上海 201306; 2.華北電力大學(xué)控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，北京 102206)

0 引 言

金屬探傷技術(shù)的目的是探測(cè)金屬材料表面或內(nèi)部的缺陷，是工業(yè)生產(chǎn)中大型金屬結(jié)構(gòu)安全運(yùn)行的重要保障措施，目前常見的探傷方法有射線探傷、磁粉探傷、超聲波探傷、電容層析成像等[1-3]，這些技術(shù)各有優(yōu)缺點(diǎn)。電磁層析成像[4](electromagnetic tomography,EMT)是一種基于電磁感應(yīng)原理、可將被測(cè)對(duì)象電磁特性的分布進(jìn)行圖像重建的技術(shù)，具有非接觸性、低成本、無輻射、可在線檢測(cè)、圖像化等優(yōu)勢(shì)，在冶金、軌道交通等方面應(yīng)用前景廣闊。該技術(shù)應(yīng)用于金屬結(jié)構(gòu)探傷中，金屬缺陷部分主要由空氣構(gòu)成，空氣電導(dǎo)率和金屬電導(dǎo)率相差較大，因此可以根據(jù)電導(dǎo)率分布判斷缺陷情況。首先施加一定的激勵(lì)電磁場，缺陷的存在會(huì)導(dǎo)致激勵(lì)電磁場發(fā)生變化，采集變化后的電磁場信息并采用圖像重建算法可以得到被測(cè)金屬結(jié)構(gòu)的缺陷分布圖像，通過信息提取進(jìn)一步可以得到缺陷的長度、寬度等信息。其中，圖像重建是EMT探傷成像過程中的重要一環(huán)，其精度直接影響整個(gè)檢測(cè)過程的準(zhǔn)確度。

裂紋是金屬結(jié)構(gòu)缺陷的最常見形式，實(shí)際檢測(cè)中發(fā)現(xiàn)，裂紋在金屬結(jié)構(gòu)構(gòu)件上的分布是稀疏的[5]，說明常見的帶裂紋金屬結(jié)構(gòu)可以被歸類為稀疏分布特性對(duì)象。目前在層析成像技術(shù)研究領(lǐng)域，多數(shù)研究從l1、l2范數(shù)約束的角度進(jìn)行求解。張玲玲等[6]研究了基于1范數(shù)的電阻層析成像圖像重建算法。王丕濤等[7]將l1范數(shù)作為圖像重建中的數(shù)據(jù)項(xiàng)和正則化項(xiàng)，對(duì)凸優(yōu)化問題進(jìn)行求解，同時(shí)也對(duì)l1范數(shù)和l2范數(shù)的4種組合進(jìn)行了仿真分析。Ye等[8]設(shè)計(jì)了一種擴(kuò)展靈敏度矩陣，將介電常數(shù)分布進(jìn)行稀疏表示。但在EMT用于金屬結(jié)構(gòu)探傷的應(yīng)用研究中，有關(guān)裂紋的稀疏性分析及其圖像重建很少。文獻(xiàn)[7]雖然對(duì)缺陷的稀疏性有一定介紹，但采用l1正則化約束，而研究表明l0正則化的稀疏性高于l1正則化[9]，對(duì)稀疏信號(hào)的成像效果更好。

針對(duì)金屬結(jié)構(gòu)裂紋的稀疏分布特性和l0范數(shù)更適合求解稀疏信號(hào)的特點(diǎn)，本文使用l0范數(shù)最小化約束。但直接求解l0范數(shù)是NP-hard問題，本文研究了稀疏信號(hào)重建理論中的貪婪類算法，該類算法在求解問題時(shí)，每一步都選擇最好或最優(yōu)的計(jì)算，使最終結(jié)果接近最優(yōu)解。其中迭代硬閾值(iterative hard thresholding,IHT)算法是一種較流行的解決非線性逆問題的方法，該算法通過l0范數(shù)將圖像重建的不適定逆問題正則化，通過IHT進(jìn)行求解得到被測(cè)量的分布。因此，本文將IHT算法用于EMT金屬探傷的圖像重建中。

1 EMT金屬探傷的圖像重建

1.1 EMT金屬探傷的理論基礎(chǔ)

EMT金屬探傷技術(shù)的數(shù)學(xué)模型[10]如下式所示：

式中：σ—被測(cè)物體的電導(dǎo)率分布矩陣，S/m；

v———檢測(cè)線圈的感應(yīng)電壓列向量，V；

F金屬缺陷情況與檢測(cè)線圈上感應(yīng)電壓之間的映射關(guān)系。

式(1)可以用佩亞諾型泰勒公式表示，如下式所示：

σ0被測(cè)金屬?zèng)]有裂紋時(shí)的電導(dǎo)率分布矩陣，S/m；

o( )——表示泰勒展開的余項(xiàng)。

當(dāng)電導(dǎo)率變化比較小時(shí)，泰勒公式的佩亞諾型余項(xiàng)部分可以省略，式(2)可以簡化為：

式中：B=v-F(σ0)——被測(cè)金屬電導(dǎo)率改變導(dǎo)致檢測(cè)線圈電壓變化的矩陣；

G——表征裂紋分布的被測(cè)金屬體電導(dǎo)率分布矩陣。

1.2 EMT金屬探傷中的常見圖像重建算法

根據(jù)先驗(yàn)信息靈敏度矩陣S和測(cè)量到的電壓列向量B求解方程（4），得到表征裂紋位置和大小信息的被測(cè)金屬體電導(dǎo)率分布矩陣，并由圖像形式將裂紋信息表現(xiàn)出來，這就是EMT探傷中的逆問題求解，即圖像重建。因?yàn)闇y(cè)量數(shù)據(jù)有限，而被測(cè)區(qū)域內(nèi)的像素點(diǎn)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于檢測(cè)的數(shù)據(jù)量，即方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于方程數(shù)，方程（4）的求解具有病態(tài)性。求解這種病態(tài)方程，常見的方法包括線性反投影（LBP）算法、Landweber迭代算法、Tikhonov正則化算法。

2 基于稀疏分析的迭代硬閾值圖像重建算法

2.1 EMT探傷圖像重建的稀疏性分析

傳統(tǒng)圖像重建算法往往根據(jù)問題的病態(tài)性，單純的從數(shù)學(xué)角度分析求解過程，如Landweber迭代算法由最速下降法演變而來，以最小二乘為依據(jù)，在數(shù)據(jù)殘差的負(fù)梯度方向修正計(jì)算結(jié)果，進(jìn)而求得該病態(tài)方程的優(yōu)化解，一些改進(jìn)的Landweber迭代算法也僅僅是改善解的限制條件[11]；Tikhonov正則化則是將不適定問題轉(zhuǎn)化為近似適定問題，將非凸解集轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題[12]。這些傳統(tǒng)算法都是建立在被測(cè)對(duì)象數(shù)理模型的既定基礎(chǔ)上，即：模型一旦確定，則不再考慮被測(cè)對(duì)象本身，圖像重建往往轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方程求解問題，因此傳統(tǒng)圖像重建算法紛紛從方程求解范圍、求解方向、求解速度等方面去做文章，以提高重建質(zhì)量。但正是傳統(tǒng)圖像重建過程中忽視了被測(cè)對(duì)象本身的特性，因此反而圖像重建質(zhì)量遭遇了瓶頸。如Tikhonov正則化算法，它基于l2正則化約束條件，所得到的解不是稀疏的，會(huì)造成重建的圖像在缺陷與非缺陷交界處過度平滑，圖像重建質(zhì)量受限。

本文對(duì)待測(cè)對(duì)象（帶裂紋的金屬結(jié)構(gòu)）進(jìn)行深入分析，發(fā)現(xiàn)金屬結(jié)構(gòu)特別是大型金屬結(jié)構(gòu)（比如港機(jī)），裂紋出現(xiàn)的位置通常為受力集中部位，且該部位往往出現(xiàn)單條裂紋，如圖1所示。因此作者認(rèn)為，港機(jī)金屬結(jié)構(gòu)上的裂紋分布并不是密集的，具備稀疏特性。

圖1 常見港機(jī)裂紋

2.2 基于l0正則化的IHT圖像重建算法

信號(hào)的稀疏性在信號(hào)處理和逼近理論中有悠久的歷史，在數(shù)據(jù)壓縮[13]、去噪[14]等方向有重要作用。從數(shù)學(xué)上來講，如果離散信號(hào)u中最多有K個(gè)非零元素，則該離散信號(hào)u是K階稀疏的，即 ‖u‖0≤K，K階稀疏信號(hào)的集合可以用下式表示：

稀疏信號(hào)的重建即為基于測(cè)量信號(hào)y，求解最具稀疏性的目標(biāo)信號(hào)，即得到稀疏分布的缺陷圖像，也就是求解下式：

式中：I? {1,···,N}——索引集；

φi——矩陣 Φ 的第i列。

因使用組合的方法直接求最稀疏的解是NP-hard問題，特別是N比較大時(shí)更不現(xiàn)實(shí)。但是，在經(jīng)典的稀疏逼近方法中，貪婪算法逐步選擇矩陣Φ的列來逼近y，進(jìn)而確定索引集I，其中迭代硬閾值(iterative hard thresholding,IHT)算法[15-16]常用于解決非線性逆問題。IHT計(jì)算結(jié)構(gòu)簡單，設(shè)初始重建目標(biāo)為x?0，通過下式得到預(yù)測(cè)值：

其中T(x,K)為保留x中K個(gè)較大值而將其他值置零的結(jié)果，循環(huán)計(jì)算中會(huì)收斂到最優(yōu)的固定點(diǎn)?。

目前，求解非線性不適定問題的主要方法有正則化和迭代兩種方法，研究發(fā)現(xiàn)，正則化是求解該問題的主要方法。正則化過程中常用的有l(wèi)2范數(shù)、l1范數(shù)、l0范數(shù)，作者分析了l2、l1、l0范數(shù)約束下的最小化問題求解，發(fā)現(xiàn)方程解的稀疏度按照l2、l1、l0范數(shù)約束的順序增加[17]；雖然l2和l1范數(shù)約束下的求解方法比較多，但是解的精度和稀疏性有待提高，而l0范數(shù)約束下的方程解的稀疏性較好、計(jì)算結(jié)果比較準(zhǔn)確。

因此，在IHT圖像重建算法中采用l0正則化，病態(tài)方程（4）的求解問題可以轉(zhuǎn)化為解的優(yōu)化問題，如下式所示：

優(yōu)化式(8)的目標(biāo)函數(shù)為：

直接優(yōu)化式(9)比較難，這里引入替代目標(biāo)函數(shù)，如下式所示：

如果 ‖S‖2＜ 1，則替代目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)的一種優(yōu)化，而且也是替代函數(shù)的極小化，即為Majorization-Minimization優(yōu)化算法。式(10)可以改寫為：

式中：G*=G′+ST(B-SG′)，為計(jì)算得到的電導(dǎo)率分布矩陣即，即為式(8)要解決的優(yōu)化問題，求解得到：

其中H為非線性算子。

也可以表示為：

式(14)中的G′=Gn,表示上一次迭代計(jì)算的結(jié)果，反復(fù)迭代式(15)即可求出像素矩陣G。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了對(duì)比使用不同算法時(shí)金屬缺陷的圖像重建效果，文中使用AnsoftMaxwell軟件進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，如圖2所示為6線圈傳感器結(jié)構(gòu)，所有線圈的軸線平行，檢測(cè)線圈可以得到較大的感應(yīng)電壓，同時(shí)線圈軸線垂直于被測(cè)金屬面，穿過被測(cè)金屬的磁通量最大，提高了測(cè)量精度。根據(jù)雷登變換，該傳感器結(jié)構(gòu)使用較少的線圈數(shù)，可以得到整個(gè)檢測(cè)區(qū)域的物場信息。傳感器的線圈匝數(shù)均為500，正弦激勵(lì)信號(hào)電壓的峰峰值為10 Vpp，仿真實(shí)驗(yàn)中選擇1 010低碳鋼，電導(dǎo)率為2 000 000 S/m，相對(duì)磁導(dǎo)率為1，實(shí)際應(yīng)用中一般檢測(cè)深度1.5 mm深度的缺陷，根據(jù)趨膚效應(yīng)公式計(jì)算得到激勵(lì)頻率為50 kHz，傳感器線圈外圓以內(nèi)作為有效檢測(cè)范圍。

圖2 EMT傳感器仿真模型

仿真實(shí)驗(yàn)中使用模型擾動(dòng)法測(cè)量得到靈敏度矩陣，然后分別使用Landweber迭代算法、Tikhonov正則化算法、IHT算法進(jìn)行圖像重建，如圖3所示（圖中右側(cè)0～1的圖例表示像素矩陣G的元素），半徑R分別為4 mm、3 mm、2 mm的圓形缺陷圖像重建效果。從圖3中可以看出Landweber迭代算法重建的圖像，缺陷邊緣部分比較模糊，干擾偽影較多，Tikhonov正則化算法的圖像重建效果比Landweber迭代算法稍微改善，而本文介紹的IHT算法圖像重建效果比Tikhonov正則化算法的圖像清晰度高，缺陷形狀的準(zhǔn)確度增加。

圖3 不同算法對(duì)不同尺寸缺陷重建效果

為了定量比較不同圖像重建算法下，不同尺寸的金屬缺陷圖像重建效果，這里使用圖像重建相對(duì)誤差RE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，其定義式為：

將圖3中設(shè)定的電導(dǎo)率分布和不同算法計(jì)算得到的電導(dǎo)率分布代入式(16)，即可計(jì)算得到使用不同圖像重建算法時(shí)，不同缺陷的圖像重建相對(duì)誤差，如圖4所示。

圖4 不同算法對(duì)不同尺寸缺陷重建的相對(duì)誤差

從圖4可以看出，Landweber迭代算法重建圖像的相對(duì)誤差最大，Tikhonov正則化算法的圖像重建相對(duì)誤差比Landweber迭代算法小一點(diǎn)，IHT算法的圖像重建相對(duì)誤差最小。相同算法情況下，隨著缺陷尺寸的減小，圖像相對(duì)誤差都有一定的增加。

4 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文采用了自行開發(fā)的EMT金屬探傷系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。該探傷系統(tǒng)由硬件電路、傳感器、上位機(jī)三部分組成，其中硬件電路包括控制器、激勵(lì)源、信號(hào)調(diào)理電路、通道選擇電路，如圖5所示。

圖5 EMT系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)工作原理為：控制器使激勵(lì)源產(chǎn)生正弦激勵(lì)信號(hào)，經(jīng)過信號(hào)調(diào)理電路和通道選擇電路后施加到激勵(lì)線圈上，檢測(cè)線圈的感應(yīng)電壓經(jīng)過信號(hào)調(diào)理電路后送入控制器，處理后傳送給上位機(jī)進(jìn)行圖像重建。傳感器在整個(gè)系統(tǒng)中具有重要作用，根據(jù)電磁感應(yīng)原理，線圈軸線平行時(shí)，通過線圈的磁通量最大，因此本文使用了如圖6所示的6線圈傳感器結(jié)構(gòu)，激勵(lì)線圈和檢測(cè)線圈復(fù)用，圓形虛線內(nèi)為有效檢測(cè)區(qū)域。

圖6 六線圈傳感結(jié)構(gòu)

實(shí)驗(yàn)中圓形缺陷半徑分別是5 mm、3 mm，長條缺陷寬度為2 mm，長度為6 mm，傳感器通入的激勵(lì)信號(hào)是50 kHz、10 V的正弦信號(hào)，傳感器線圈匝數(shù)為500，線圈內(nèi)半徑4 mm，外半徑6 mm。首先使用擾動(dòng)法獲得靈敏度矩陣，然后使用不同算法進(jìn)行圖像重建，得到的圖像如圖7所示。

圖7 不同算法對(duì)不同缺陷的重建效果

根據(jù)圖7中實(shí)驗(yàn)的不同算法對(duì)比不同尺寸缺陷重建效果，可以看出Tikhonov正則化算法比Landweber迭代算法圖像干擾少一點(diǎn)，但總體效果都沒有IHT算法的圖像重建效果好，符合仿真結(jié)果。使用相對(duì)誤差作為標(biāo)準(zhǔn)，得到的結(jié)果如圖8所示，可以看出，實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相符。

圖8 不同算法對(duì)不同缺陷重建圖像的相對(duì)誤差

為比較不同算法的收斂速度，對(duì)同一缺陷用相同算法計(jì)算20次，然后求平均計(jì)算時(shí)間，得到3種算法的計(jì)算時(shí)間如圖9所示。雖然重建圖像時(shí)間都大于3 s，但對(duì)于實(shí)時(shí)性要求不高的情況，如港機(jī)金屬在線監(jiān)測(cè)中，因裂紋變化是準(zhǔn)靜態(tài)情況，故滿足實(shí)時(shí)性要求。對(duì)于不知道缺陷位置的情況，可以將傳感器安裝在可移動(dòng)平臺(tái)上，傳感器在被測(cè)金屬表面移動(dòng)，即可快速檢測(cè)缺陷。

圖9 不同算法重建圖像時(shí)間

5 結(jié)束語

本文分析了金屬探傷中缺陷分布的稀疏性，結(jié)合l2、l1、l0范數(shù)最小化約束解的特點(diǎn)，采用了l0范數(shù)約束下的IHT算法進(jìn)行EMT金屬探傷的圖像重建。使用AnsysMaxwell軟件進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并將IHT算法與Landweber迭代算法、Tikhonov正則化算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明l0范數(shù)約束下的IHT算法圖像重建清晰度高、準(zhǔn)確性更好；在根據(jù)仿真模型搭建的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行探傷實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相符，為EMT探傷的實(shí)際應(yīng)用具有現(xiàn)實(shí)意義。